• condizione uniforme al bordo
• volume simpliciale
• volume simpliciale foliato intero

L’oggetto da cui si sviluppa il lavoro svolto in queste pagine è il volume
simpliciale. Il volume simpliciale è un invariante omotopico numerico che
misura la complessità dei cicli fondamentali di una varietà M. Fu introdotto da Gromov per una dimostrazione del Teorema di rigidità di Mostow e in seguito sviluppato nel suo lavoro pionieristico Volume and bounded cohomology del 1982. Nonostante la definizione sia intuiti-
va, il calcolo esatto del volume simpliciale è conosciuto solo in pochi casi (ad
esempio per le varietà iperboliche). Il fatto è che, ad eccezione dei casi più semplici (come ad esempio il cerchio), applicare direttamente a definizione per il calcolo si rivela infruttuoso. Per questa ragione si sono sviluppati parallelamente al volume simpliciale altri strumenti che agevolano lo studio di questo oggetto.
Uno di questi strumenti è la coomologia limitata, che fu introdotta duran-
te gli anni settanta, ma solo dopo l’articolo di Gromov diventò oggetto
di largo interesse. Intuitivamente, la coomologia limitata di uno spazio to-
pologico M , è la coomologia del complesso formato delle cocatene limitate, ovvero delle cocatene che assumono valori uniformemente limitati sull’insieme dei simplessi singolari di M . Un celebre
risultato afferma che la coomologia limitata di un CW-complesso numerabile è univocamente determinata dal gruppo fondamentale del CW-complesso.
Da ciò si capisce che un ruolo fondamentale per la coomologia limitata e quindi anche per il volume simpliciale l’avranno le caratteristiche dei gruppi fondamentali.
Un concetto legato alla teoria dei gruppi che riveste un ruolo centrale in questo campo è quello di gruppo amenabile. Ad esempio la coomologia limitata di una varietà con gruppo fondamentale amenabile svanisce, e come conseguenza si ha che il suo volume simpliciale è zero.
Un’altra via per comprendere il volume simpliciale consiste nell’affiancargli delle varianti, in qualche modo più semplici da maneggiare, che con una certa precisione lo approssimino. Il primo esempio di questo tipo si ottiene considerando coefficienti interi nella definizione del volume simpliciale. Quel-
lo che si ottiene è chiamato volume simpliciale intero.
Per via della sua natura più combinatoria
esso si presta meglio ai calcoli, ma a dispetto della maneggiabilità non offre
una buona approssimazione del volume simpliciale; ad esempio per ogni va-
rietà il volume simpliciale intero è maggiore o uguale a uno, mentre capita
di frequente (ad esempio nel caso con gruppo fondamentale amenabile) che
il volume simpliciale si annulli.
Un’altra approssimazione del volume simpliciale è detta volume simpli-
ciale intero stabile che sopperisce a una grave mancanza del volume simpliciale intero, cioè di non essere
moltiplicativo rispetto a rivestimenti finiti, e si ottiene un’approssimazione
migliore del volume simpliciale.
Esiste un’altra variante del volume simpliciale detta volume simpliciale fo-
liato intero. Quest’ultima
rivestirà un ruolo centrale nel nostro lavoro. Fu introdotta da Gromov con lo scopo di studiare una sua congettura, che mette in
relazione il volume simpliciale di una varietà asferica con la caratteristica di
Eulero. La definizione del volume simpliciale foliato intero è assai elaborata
e passa per concetti che vengono dalla teoria ergodica della misura; questa
variante mescola infatti la rigidità dei coefficienti interi con la flessibilità degli
spazi di misura. Seppur a prima vista la definizione differisca molto da quella
classica, il volume simpliciale foliato intero offre uno strumento efficace per
lo studio del volume simpliciale: infatti si rivela essere un’approssimazione
migliore di questo rispetto alle due versioni definite sopra.
Vista la proficuità di questo modo di agire, in questi ultimi anni lo studio
di queste varianti è stato approfondito, portando a risultati importanti in
proposito. Oltre ad approfondire il legame
con il volume simpliciale classico, sono state studiate anche le caratteristiche
proprie di queste varianti (soprattutto per il volume simpliciale foliato intero).
Principalmente questo si è fatto nel modo ovvio: cercando cioè di riprodurre
i risultati noti nel caso classico anche per questi nuovi oggetti.
Abbiamo accennato sopra a come la coomologia limitata, utilizzata come
strumento per studiare il volume simpliciale, produca risultati importanti.
Purtroppo la stessa strategia non porta ad altrettanti traguardi nel caso
intero.
Lo scopo principale di questa tesi è quello di descrivere un metodo alternativo alla dualità per studiare il caso intero. In particolare ci concentreremo sul
lavoro fatto da Löh e Fauser: passando attraverso una caratterizzazione
geometrica dell’amenabilità si propone un metodo più diretto (senza cioè
passare ai complessi duali) e perciò più geometrico, per dimostrare alcuni
risultati per varietà con gruppo fondamentale amenabile, applicabile anche
al contesto intero.