• Calcolo di Malliavin
• Malliavin Calculus
• Metodi Montecarlo
• Montecarlo Methods
• Riduzione della varianza
• Variance reduction

I metodi Montecarlo sono un'ampia classe di metodi numerici che usa tecniche probabilistiche per la risoluzione di problemi di varia natura, sono largamente usati nelle applicazioni quando c'è bisogno, ad esempio, di stimare $\E[X]$ dove $X$ è una variabile aleatoria integrabile: in questo caso il metodo propone di considerare $X_{1},\dots,X_{N}$, variabili aleatorie indipendenti con stessa legge di $X$, e di prendere come stimatore della speranza la variabile
\[
\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_{i}.
\]
La convergenza di un tale metodo è assicurata, sotto certe condizioni, dalla legge dei grandi numeri ed è notoriamente lenta, inoltre il teorema limite centrale cattura alcune proprietà statistiche dell'errore di approssimazione, che per $N$ grande, si può considerare essere distribuito come una variabile aleatoria
\[
\sqrt{\frac{\Var(X)}{N}} Z , \quad \mbox{dove} \quad Z \sim \mathcal{N}(0,1).
\]
Per accelerare la convergenza è conveniente, allora, usare il metodo su una variabile $Y$ con stessa media di $X$ ma varianza sperabilmente più bassa: su questa idea si fondano le tecniche di riduzione della varianza per metodi Montecarlo. L'obiettivo di questa tesi è analizzare alcune di queste tecniche, applicazione diretta di certe idee del calcolo di Malliavin. L'elaborato è organizzato in questo modo:
\textbf{Nel primo capitolo} introdurremo alcune nozioni riguardanti il calcolo di
Malliavin: per prima cosa definiremo l'operatore derivata di Malliavin e
l'operatore divergenza, suo aggiunto, poi ci concentreremo sulle formule
d'integrazione per parti, formule che hanno trovato grande applicazione in alcuni procedimenti
numerici, tra cui alcune applicazioni a problemi di finanza.
\textbf{Nel secondo capitolo} svilupperemo una formula d'integrazione per parti utile per
i nostri scopi di riduzione della varianza. Affronteremo poi il caso in cui si
voglia stimare numericamente una quantità del tipo $\E[T(X)]$ dove la variabile $X$
sia di difficile simulazione: in questo caso ci verranno in aiuto alcuni risultati
di approssimazione per funzionali sullo spazio di Wiener. Questo ci permetterà, nel caso in cui
$T=\delta_{x}$ delta di Dirac nel punto $x$, di implementare un metodo Montecarlo con riduzione
della varianza per la stima della densità del valore finale di un processo di
diffusione.
\textbf{Nel terzo capitolo}, dopo aver ricordato alcune nozioni finanziarie, introdurremo
una generalizzazione della greca vega nota come indice locale vega: la possibilità di
esprimere alcune quantità di interesse legate a questo indice come media di
specifiche variabili aleatorie ne permetterà la stima numerica tramite procedura
Montecarlo e offrirà la possibilità di testare le nostre tecniche di riduzione della
varianza.