• algebre semplici centrali
• Brauer
• campo locale
• coomologia
• factor set
• invariante di Hasse

In questa tesi introduciamo il gruppo di Brauer di un campo, un importante invariante utilizzato in algebra e nella teoria dei numeri.

Nella prima parte trattiamo le nozioni base per definire il gruppo di Brauer, fornendo informazioni sulle algebre, sui moduli e sul prodotto tensore.
In particolare definiamo le algebre finite, semplici e centrali (C.S.A.) su un campo e dotiamo l'insieme delle algebre semplici centrali di una relazione d'equivalenza.
Solo in seguito definiamo il gruppo di Brauer come l'insieme delle algebre semplici centrali quozientato per la relazione d'equivalenza.
Infine dotiamo l'insieme dell'operazione indotta dal prodotto tensore di algebre ottenendo così il gruppo (abeliano) di Brauer.
Inoltre parliamo brevemente di campi di spezzamento di algebre e del polinomio caratteristico ridotto di un elemento di un'algebra.

Nella seconda parte iniziamo lo studio del gruppo di Brauer di un campo qualsiasi.
Per fare ciò introduciamo i factor set, funzioni dal gruppo di Galois di un’estensione di campi nel campo esteso con particolari proprietà.
Per ogni factor set si riesce a costruire un'algebra semplice centrale; risulta naturale introdurre una relazione d'equivalenza sui factor set tale che due factor set sono equivalenti se e solo se generano algebre equivalenti.
Il punto fondamentale è mostrare che ogni elemento del gruppo di Brauer è della forma particolare generata da una classe d'equivalenza di factor set.
Arriviamo a caratterizzare il gruppo in base alle estensioni di Galois del campo base e alle classi dei relativi factor set.
Nel caso di gruppi di Galois ciclici possiamo scegliere rappresentanti di una classe di factor set molto semplici.

Per comprendere meglio il gruppo di Brauer si osserva, senza dimostrare, che i factor set non sono altro che i due cocicli del secondo gruppo di coomologia del gruppo di Galois e che la relazione introdotta non è altro che il quoziente per il sottogruppo dei cobordi.

In seguito definiamo i campi locali, campi dotati di una valutazione discreta, completi rispetto alla metrica indotta e con campo dei residui finito.
In questo caso le algebre su campi locali sono dotate di una valutazione e dimostriamo che le estensioni finite di campi locali sono ancora campi locali.
Infine caratterizziamo le estensioni non ramificate di campi locali e i loro gruppi di Galois.

Solo nell'ultimo capitolo definiamo l'invariante di Hasse per un campo locale: un isomorfismo canonico tra il gruppo di Brauer di un campo locale e il gruppo delle radici dell'unità ($\faktor{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$).

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Una profonda conoscenza dei gruppi di Brauer oltre a fornire un invariante per i campi e classificare le algebre su un determinato campo, è necessaria anche in teoria dei numeri.
Alcune applicazioni si trovano nella risoluzione del problema inverso di Galois tramite forme quadratiche; infatti è importante conoscere la due-torsione del gruppo di Brauer del campo su cui si vuole risolvere il problema inverso.

Inoltre alcune nozioni sui gruppi di Brauer hanno permesso di trovare controesempi al fatto che una varietà algebrica unirazionale sia anche birazionale (ostruzione di Brauer-Manin).