• geometria di contatto
• esistenza strutture di contatto

Questo lavoro presenta un risultato molto recente elaborato da Etnyre nell’articolo ”Contact structures on 5-manifolds”, nel quale si afferma che ogni 5-varietà chiusa ed orientata ammette una struttura di contatto.
È possibile definire una struttura di contatto esclusivamente in dimensione dispari; una tale struttura su una varietà M 2n+1 orientata è data da un campo di iperpiani, vale a dire un sottofibrato 1-codimensionale del fibrato tangente, che è definibile come il nucleo di una 1-forma α, detta appunto forma di contatto, definita su M , che soddisfa la seguente condizione:
α ∧ (dαn ) = 0 in ogni punto di M .
È ancora un problema aperto verificare quali varietà di dimensione dispari ammettano una struttura di contatto. Il caso tridimensionale è ben noto, e presentato a grandi linee nel terzo paragrafo del primo capitolo di questa tesi: grazie ad un teorema dovuto a Martinet, ogni 3-varietà chiusa ed orientata ammette una struttura di contatto. Per entrare più nel dettaglio
del teorema notiamo che se definiamo una struttura di contatto ξ = kerα su
M 2n+1 , dα definisce una forma simplettica su ξ; allora è possibile definire una struttura complessa Jξ su ξ compatibile con la forma simplettica e indipendente dalla forma α che la definisce grazie alle ipotesi di orientazione.
Abbiamo dunque una coppia (ξ, Jξ ). In generale una coppia (η, J) dove η è un campo di iperpiani coorientato e J è una struttura complessa su di esso è detta struttura di quasi contatto.
Il teorema afferma che, su una 3-varietà chiusa e orientata, una qualsiasi struttura di quasi contatto (η, J) è omotopa ad una struttura di contatto con l’associata struttura complessa.
Il teorema di Etnyre è una generalizzazione del caso di dimensione 3, anche se le argomentazioni dimostrative sono quasi del tutto differenti: partendo da una struttura di quasi contatto definita su una 5-varietà chiusa ed orientata si cercherà di costruirne una di contatto nella stessa classe di omotopia. Questa costruzione effettiva è fatta nel capitolo 5 di questa tesi,
che racchiude la dimostrazione vera e propria del risultatato in questione.
Per tale costruzione risulterà essenziale una particolare decomposizone della 5-varietà, la decomposizione a libro aperto, presentata e discussa nel sottoparagrafo 1.3.3 del primo capitolo; questa decomposizione, che esiste sempre grazie ad un teorema di Quinn, è quella che permette di dividere la varietà in parti e di definire delle strutture di contatto su di esse che risultino compatibili, sfruttando inoltre la geometria di contatto sulla 3-varietà derivante
dalla decomposizione.
Nello stesso capitolo vengono anche introdotte le nozioni e definizioni basilari di geometria di contatto, della teoria dei corpi con manici, e viene studiata la teoria dell’ostruzione.
Nel secondo capitolo si studiano i campi di iperpiani e le strutture di quasi contatto su una 5-varietà, e come questi siano in corrispondenza con quelli della 3-varietà data dalla rilegatura della decomposizione a libro aperto.
Nel terzo capitolo sono enunciati dei risultati di esistenza di particolari cobordismi di 4-varietà dovuti a Cieliebak ed Eliashberg e contenuti in [3]; anche questi sono risultati molto recenti che in questo trattato varranno però solo enunciati.
Nel quarto capitolo, infine, si discute di una particolare decomposizione a libro aperto, e, per ottenerla, vengono utilizzati degli strumenti di Teoria di Cerf, presentati nella prima parte del capitolo.
Il teorema centrale di questo lavoro è importante non solo perchè risponde in un caso, quello della dimensione 5, alla questione aperta dell’esistenza di strutture di contatto, per altro già in parte affrontato da altri matematici in casi meno generali (si veda per esempio il risultato di Geiges in [9] sulle 5-varietà semplicemente connesse o l’estensione al caso in cui il gruppo
fondamentale sia finito, sempre dovuta a Geiges e Thomas, contenuta in [10] e [11]); gran parte degli argomenti qui presentati, si possono estendere a dimensioni arbitrarie, la speranza è quindi che questa costruzione possa essere una breccia per affrontare anche i casi di dimensione maggiore.