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Il calcolo di Malliavin è uno strumento importante nella moderna analisi stocastica il quale studia il calcolo differenziale infinito-dimensionale sullo spazio di Wiener. Introdotta per la prima volta da Paul Malliavin negli anni ’70 con l’obiettivo iniziale di dare una dimostrazione probabilistica del teorema di Hörmander sulla caratterizzazione degli operatori ipoellittici, questa teoria fu poi ulteriormente sviluppata divenendo di centrale importanza anche in campo applicativo. Gli elementi base della teoria sono la definizione di operatore derivata secondo Malliavin (o gradiente), il suo operatore aggiunto (detto integrale di Skorohod o divergenza) e la relativa formula di integrazione per parti. I più recenti sviluppi riguardano il tentativo di definire un calcolo differenziale stocastico, più in generale, per processi con salti.
In questo lavoro ci siamo quindi posti l’obiettivo di estendere il calcolo di Malliavin sullo spazio di Poisson, focalizzandoci in particolar modo sulla formula di integrazione per parti, la quale costituisce lo strumento chiave della maggior parte delle applicazioni del calcolo di Malliavin, e sulle sue conseguenze in campo finanziario e attuariale. Questo ha richiesto uno studio più delicato soprattutto per il fatto che, al momento, non esiste una teoria unificata a riguardo. Il lavoro è stato sviluppato come segue: inizialmente è stata ripresa la definizione di Processo di Poisson e sue generalizzazioni (P. di P. composto e compensato) e sviluppata la teoria dell’integrazione stocastica per processi continui con salti attraverso l’introduzione del concetto di Semimartingala, strumenti necessari nel proseguo del lavoro. A questo punto, partendo dallo studio del noto caso dello spazio di Wiener, abbiamo tentato di costruire un’analoga teoria per il particolare caso dello spazio di Poisson. Come già accennato, la letteratura, in questo caso, propone vari approcci che, diversamente dal caso gaussiano, conducono alla definizione di diverse teorie. Sostanzialmente siamo riusciti ad individuare due direzioni principali. La prima si basa sulla definizione degli integrali stocastici multipli e sulla decomposizione in caos dello spazio. Sebbene, a partire da questo approccio, possa essere costruita una teoria concettualmente bella e completa come quella sullo spazio di Wiener, ciò conduce alla definizione di operatori gradiente alle differenze finite i quali non soddisfano le proprietà di derivazione, come ad esempio la regola del prodotto e la regola della catena, le quali sono largamente usate nelle applicazioni. Abbiamo allora preferito procedere nell’altra direzione, la quale, invece, si basa sulla definizione di operatori differenziali L su X, dove, nel caso più generale, X è una varietà Riemanniana, i quali vengono sollevati ad operatori differenziali D^L su Ω^X, spazio delle configurazioni su X. Nel nostro caso ci siamo limitati a lavorare sulla semiretta reale e a considerare l’operatore gradiente su essa, motivati dalle applicazioni che avremmo trattato in seguito. Abbiamo quindi analizzato alcuni esempi di operatori derivanti dal suddetto approccio.
Ottenuta una formula di integrazione per parti per tali operatori, abbiamo esaminato, attraverso degli esempi tratti dal contesto finanziario e assicurativo, due sue importanti conseguenze: l’analisi della sensibilità e il calcolo della densità. In particolare ci siamo focalizzati su
• il calcolo della densità di probabilità del processo di riserva di rischio di una compagnia assicurativa e l’analisi della sensibilità della probabilità di rovina ad una data fissata;
• il calcolo delle greche di un’opzione Asiatica in un modello di mercato con salti.
In tali applicazioni, così come in molte altre, si considerano quantità della forma E[f(F^ξ)] in cui F^ξ è una famiglia di v.a. differenziabili q.o., indicizzate su un parametro ξ, e f è una opportuna funzione. Per studiare la sensibilità di questa quantità rispetto al parametro ξ, si dovrebbe dimostrare che ξ → E[f(F^ξ)] è differenziabile e valutarne la derivata. Nel caso in cui f sia differenziabile sappiamo che ∂_ξE[f(F^ξ)] = E[f'(F^ξ)∂_ξF^ξ ].
Alternativamente si può approssimare il valore della derivata con il metodo alle differenze finite come (1/2h)E[f(F^(ξ+h)) − f(F^(ξ−h))] ma tale approssimazione produce risultati di convergenza non soddisfacenti quando è combinata al metodo Monte Carlo. La formula di integrazione per parti permette, invece, di ottenere una formula del tipo ∂_ξE[f(F^ξ)] = E[f(F^ξ)W_ξ] la quale non richiede alcuna ipotesi di differenziabilità su f . La variabile aleatoria W ξ che compare nella formula è detta peso. Possiede l’enorme vantaggio di non dipendere dalla funzione f e sotto opportune ipotesi, che nelle applicazioni saranno sempre verificate, è esplicitamente calcolabile.
Allo stesso modo, si può ottenere una formula per la stima della densità di un funzionale aleatorio F rispetto alla misura di Lebesgue del tipo φ_F(y)=∂_y P(F ≤ y) = E[W_y 1_{F ≤y}] ottenuta dalla formula precedente considerando f = 1_(−∞,0) e F_y = F − y. In questo caso il peso W_y è indipendente anche da y. Diventa dunque naturale chiedersi se il metodo ottenuto tramite il calcolo di Malliavin possa essere considerato una valida alternativa al metodo alle differenze finite. Infine, attraverso simulazioni numeriche ottenute utilizzando il software ROOT, abbiamo cercato di rispondere a quest’ultima domanda, mettendo a confronto le formule ottenute da entrambi i metodi. I grafici analizzati hanno effettivamente confermato che la formula di Malliavin permette di ottenere una buona approssimazione utilizzando un numero molto inferiore di campionamenti rispetto al metodo alle differenze finite, il che risulta essere un grande vantaggio dal punto di vista computazionale.