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Tesi etd-01122009-115510


Thesis type
Tesi di laurea specialistica
Author
CASTALDO, ELEONORA
URN
etd-01122009-115510
Title
Un'applicazione del Calcolo di Malliavin a Processi con Salti in Finanza
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
Relatore Prof. Pratelli, Maurizio
Parole chiave
  • finanza
  • calcolo di Malliavin
  • greche
  • processi di Poisson
Data inizio appello
30/01/2009;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
Nei modelli piu&#39; comunemente usati in finanza il prezzo del sottostante e&#39; X(t), un processo markoviano che verifica un&#39;equazione stocastica della forma: dX(t) = r(t,X_t)dt + s(t,X_t)dW(t), in cui W(t) e&#39; un processo di Wiener e r e s sono tali da garantire l&#39;esistenza e l&#39;unicita&#39; della soluzione dell&#39;equazione precedente. Inoltre si puo&#39; scegliere una versione di X(t) che abbia traiettorie continue.<br><br>Nell&#39;ipotesi di assenza di arbitraggio il prezzo u di un prodotto derivato dipende esclusivamente da X, piu&#39; precisamente si calcola come la speranza u(x)=E[ f(X) | X(0)=x ], in cui la funzione f e&#39; detta payoff. Il valore di u viene approssimato numericamente con il metodo Monte-Carlo, mentre le sue derivate rispetto a x, r e s possono essere approssimate in vari modi: il piu&#39; semplice e&#39; il metodo delle differenze finite, che pero&#39; ha lo svantaggio di essere lento nel caso in cui il payoff sia discontinuo o si vogliano calcolare derivate di ordine superiore al primo. L&#39;applicazione del calcolo di Malliavin, invece, permette di esprimere le greche sotto la forma: E[ f(X)p | X(0)=x ], dove p e&#39; una variabile aleatoria che non dipende dal payoff. E&#39; ora possibile calcolare numericamente ogni greca con un metodo Monte-Carlo: cio&#39; permette di raggiungere la velocita&#39; di convergenza massima possibile per questo metodo.<br><br>Nella tesi abbiamo esteso questi ragionamenti ad un modello piu&#39; generale, considerando il caso in cui il prezzo del sottostante abbia delle discontinuita&#39;. In particolare abbiamo studiato il processo X(t) che verifica:<br>dX(t) = X(t-)[r(t)dt + s(t)dW(t)+ d(\sum_{j&lt;=P(t)}U(j)-tl E[U(j)])],<br>dove, come prima, W(t) e&#39; un processo di Wiener, P(t) e&#39; un processo di Poisson di parametro l e U(j) una successione di variabili aleatorie indipendenti equidistribuite a valori in ]-1, +infinito[ e le tribu&#39; generate rispettivamente da W(t), P(t) e U(j) sono indipendenti.<br><br>In questo caso l&#39;aleatorieta&#39; e&#39; espressa non solo dal processo di Wiener W(t), ma anche da quello di Poisson P(t), che determina gli istanti di discontinuita&#39; nel prezzo del sottostante, e dalla successione U(j) che definisce l&#39;ampiezza di queste discontinuita&#39;.<br>Diventa dunque naturale estendere il calcolo di Malliavin anche ai processi di Poisson, mentre per derivare e integrare rispetto all&#39;ampiezza dei salti si puo&#39; solo definire un calcolo di Malliavin in dimensione finita, che, per ogni n, fornisce il peso p sull&#39;insieme {P(t)=n} che e&#39; sufficiente per il calcolo numerico delle greche.<br>
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