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• calcolo di Malliavin
• greche
• processi di Poisson

Nei modelli piu' comunemente usati in finanza il prezzo del sottostante e' X(t), un processo markoviano che verifica un'equazione stocastica della forma: dX(t) = r(t,X_t)dt + s(t,X_t)dW(t), in cui W(t) e' un processo di Wiener e r e s sono tali da garantire l'esistenza e l'unicita' della soluzione dell'equazione precedente. Inoltre si puo' scegliere una versione di X(t) che abbia traiettorie continue.

Nell'ipotesi di assenza di arbitraggio il prezzo u di un prodotto derivato dipende esclusivamente da X, piu' precisamente si calcola come la speranza u(x)=E[ f(X) | X(0)=x ], in cui la funzione f e' detta payoff. Il valore di u viene approssimato numericamente con il metodo Monte-Carlo, mentre le sue derivate rispetto a x, r e s possono essere approssimate in vari modi: il piu' semplice e' il metodo delle differenze finite, che pero' ha lo svantaggio di essere lento nel caso in cui il payoff sia discontinuo o si vogliano calcolare derivate di ordine superiore al primo. L'applicazione del calcolo di Malliavin, invece, permette di esprimere le greche sotto la forma: E[ f(X)p | X(0)=x ], dove p e' una variabile aleatoria che non dipende dal payoff. E' ora possibile calcolare numericamente ogni greca con un metodo Monte-Carlo: cio' permette di raggiungere la velocita' di convergenza massima possibile per questo metodo.

Nella tesi abbiamo esteso questi ragionamenti ad un modello piu' generale, considerando il caso in cui il prezzo del sottostante abbia delle discontinuita'. In particolare abbiamo studiato il processo X(t) che verifica:
dX(t) = X(t-)[r(t)dt + s(t)dW(t)+ d(\sum_{j<=P(t)}U(j)-tl E[U(j)])],
dove, come prima, W(t) e' un processo di Wiener, P(t) e' un processo di Poisson di parametro l e U(j) una successione di variabili aleatorie indipendenti equidistribuite a valori in ]-1, +infinito[ e le tribu' generate rispettivamente da W(t), P(t) e U(j) sono indipendenti.

In questo caso l'aleatorieta' e' espressa non solo dal processo di Wiener W(t), ma anche da quello di Poisson P(t), che determina gli istanti di discontinuita' nel prezzo del sottostante, e dalla successione U(j) che definisce l'ampiezza di queste discontinuita'.
Diventa dunque naturale estendere il calcolo di Malliavin anche ai processi di Poisson, mentre per derivare e integrare rispetto all'ampiezza dei salti si puo' solo definire un calcolo di Malliavin in dimensione finita, che, per ogni n, fornisce il peso p sull'insieme {P(t)=n} che e' sufficiente per il calcolo numerico delle greche.