Soluzione ai minimi quadrati al problema dell'identificazione degli asteroidi persi
Dipartimento
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Relatori
relatore Prof. Milani Comparetti, Andrea
Parole chiave
asteroidi
identificazione
minimi quadrati
Data inizio appello
27/01/2005
Consultabilità
Completa
Riassunto
Quando, durante una campagna osservativa, viene scoperto un nuovo oggetto ad esso viene assegnata una denominazione provvisoria e si calcola un'orbita preliminare, adatta cioe' a ritrovare l'oggetto nell'immediato futuro (al massimo un mese). I metodi che vengono usati comunemente producono o un sottoinsieme degli elementi orbitali o l'insieme completo di tali elementi, ma in questo caso l'incertezza risulta molto elevata. Tale insieme di elementi orbitali viene quindi considerato solo come una rappresentazione del moto apparente dell'oggetto durante un periodo di tempo limitato. In ogni caso, l'errore della predizione cresce con il tempo e, se tale errore e' maggiore del campo di osservazione di un dato telescopio, puo' accadere che, ad un certo tempo stabilito, non sia possibile osservare nuovamente l'oggetto. Se anche l'oggetto fosse ritrovato per caso, non e' detto che possa essere riconosciuto come gia' scoperto oppure potrebbero esistere piu' candidati per l'identificazione. In questi casi l'oggetto viene definito perso. Attualmente il catalogo riguardante gli asteroidi contiene informazioni che si riferiscono a circa 33000 oggetti. Di questi circa 20000 si considerano persi: la probabilita' di osservarli di nuovo, secondo la posizione predetta dalla determinazione iniziale dell'orbita, e' molto bassa. Il problema dell'identificazione degli asteroidi riguarda la possibilita' che insiemi separati di osservazioni appartengano o meno allo stesso oggetto. Il problema puo' essere classificato come "identificazione dell'orbita" quando le osservazioni relative ai due archi sono sufficienti per trovare separatamente due orbite, una per ogni arco [Sansaturio et al. 1996]. Il lavoro di questa tesi e' stato rivolto alla ricerca ed alla successiva implementazione di un algoritmo efficiente per selezionare le coppie da esaminare per un'eventuale identificazione dell'orbita.
L'osservazione della posizione di un asteroide, al tempo $t_0$, fornisce la sua ascensione retta e declinazione nel sistema equatoriale. La conoscenza dell'orbita permette di prevedere questi dati. Nel caso di differenza tra previsioni e osservazioni si utilizza un metodo di correzione, che a partire da questo scostamento residuo permetta di migliorare la conoscenza dell'orbita. Adottando il metodo dei minimi quadrati l'obiettivo diventa quello di trovare il minimo di una "funzione costo", quadratica nei residui, che si puo' esprimere come $Q=Q(X)$, nell'ipotesi in cui i residui dipendano solo dal vettore $X$ degli elementi orbitali relativi al tempo $t_0$. Perche' due orbite rappresentino lo stesso oggetto, osservato in tempi diversi, occorre trovare un minimo sufficientemente piccolo per la funzione obiettivo congiunta, che assume la forma: $Q=Q^*+Delta Q$, dove $Q^*$ e' il valore corrispondente ai due minimi separati e $Delta Q$ misura l'incremento della funzione obiettivo dovuto all'utilizzo della stessa orbita per il primo ed il secondo asteroide e puo' essere espressa per mezzo di una forma quadratica con matrice $C=C_1+C_2$ ($C_1$ e $C_2$ " matrici di covarianza"relative ai due asteroidi). Per proporre una coppia di asteroidi per un'eventuale identificazione e' necessario che l'incremento $Delta Q$ della funzione obiettivo dovuto all'identificazione delle due orbite, sia piccolo.
L'incertezza della soluzione, adottando questo tipo di "identificazione non vincolata", risulta elevata, a causa degli effetti non lineari dovuti alla propagazione delle matrici di covarianza $C_1$ e $C_2$. Poiche' tali effetti interessano gli elementi delle matrici che riguardano la longitudine, e' stato introdotto anche un metodo di "identificazione vincolata", in cui la longitudine viene vincolata ad aussumere solo un insieme di valori .
Utilizzando una trattazione matematica simile e' inoltre possibile proporre attribuzioni, cioe' partire da un grande catalogo di orbite e da un altrettanto grande catalogo di archi per cui non e' stato possibile calcolare un'orbita significativa, e selezionare un numero ragionevole di possibili accoppiamenti , da confermare successivamente con un'analisi dettagliata.