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Si può schematizzare il moto di una particella soggetta agli urti con le
particelle che la circondano come un random walk; il suo limite
continuo è un moto browniano, caratterizzato da un termine di deriva e un
termine di diffusione.
La densità di probabilità di tale processo è una soluzione particolare
dell'equazione differenziale di Fokker-Planck.

Anche il più semplice modello non banale di mercato finanziario, costituito
da un'azione ed una obbligazione, è un modello binomiale e la dinamica del
titolo rischioso può essere descritta, nel limite di tempo continuo, da
un'equazione differenziale stocastica.
In assenza di arbitraggio, anche la dinamica di qualsiasi titolo derivato si
può ricondurre, mediante la definizione di un portafoglio di replica, a quella
del suo sottostante e dell'obbligazione.
Nel caso particolare in cui il coefficiente di diffusione, che in questo
contesto è detto ``volatilità', sia costante, si ricava l'equazione di
Black e Scholes.
I dati tick-by-tick a nostra disposizione consistono
negli scambi di un titolo
derivato, il futures sul MIB30, detto FIB30, negli anni 2000-2002.
Dopo un'analisi preliminare dei dati, abbiamo studiato la distribuzione
delle quantità di interesse: tutti gli indici della quantità di scambio
definiti, volume totale, numero di contratti, volume medio e valore nominale,
hanno una distribuzione con un'andamento della coda di tipo legge a potenza inversa, al di fuori del
regime di Lévy; lo stesso vale per le fluttuazioni dei prezzi, registrate
attraverso la volatilità o i rendimenti.
Le proprietà ``dinamiche' delle stesse grandezze sono state indagate
tramite il calcolo diretto della funzione di autocorrelazione, l'analisi
dello spettro e lo studio della Detrended Fluctuation Analysis,
che meglio degli altri metodi riesce a descrivere il lungo range di correlazione
della volatilità, come delle diverse forme di volume; i rendimenti, come è
noto dalla letteratura, sono, almeno alla nostra scala temporale, scorrelati.

Le ipotesi del modello di Black e Scholes di volatilità costante e rendimenti gaussiani,
alla base del nostro modello, non sono affatto verificate dai nostri dati.
Una delle possibili interpretazioni di tale comportamento delle fluttuazioni
dei prezzi è il modello a mescolanza di distribuzioni, introdotto da Clark,
da cui si deduce un rapporto di dipendenza fra la volatilità ed il volume di
scambi; il numero di contratti, più di altri indici, sembra ben descrivere il
flusso di informazione nel mercato.
È ancora aperta la questione se a determinare la volatilità sia solo
l'informazione che gli investitori portano, attraverso i loro scambi, sul
mercato o se essa sia influenzata anche dalla asimmetria informativa tra
i diversi investitori.
Un segno di quest'ultimo contributo si può forse rilevare
nel coefficiente significativamente positivo del volume medio, in una
regressione, stimata sui nostri dati, che mette in relazione il logaritmo della
volatilità al volume, diviso
nelle due componenti del numero di contratti e del volume medio.

Non tutti gli investitori, però, hanno a disposizione la stessa quantità e
qualità di informazioni sull'andamento
del mercato. Daigler e Wiley trovano che la relazione volume-volatilità
è positiva se si considerano gli investitori che lavorano fuori dal
mercato, negativa quando si selezionano le transazioni effettuate dagli
agenti presenti fisicamente nel mercato.

Nei nostri dati non è registrato chi ha sottoscritto la
transazione.
Abbracciando un modello di mercato competitivo, abbiamo cercato nella size
della singola transazione una possibile traccia del tipo di investitore.
Se, per il calcolo delle diverse forme di volume, si considerano soltanto le
transazioni con size maggiore di un certo soglia, il volume medio mostra un
comportamento peculiare: la sua correlazione con la volatilità diventa
negativa e il processo che lo descrive presenta una memoria più lunga.