• problem solving
• task-based interview
• codici
• categorie
• fattori di innesco
• consapevolezza
• processi
• generazione di esempi

Nel corso degli ultimi decenni la ricerca in didattica della matematica ha evidenziato come l’attività di generazione di esempi sia ricca di potenzialità per l’insegnamento-apprendimento della matematica. Data l’importanza e la varietà delle implicazioni, la produzione di esempi viene tuttora studiata da diversi punti di vista. In particolare, i lavori di Samuele Antonini si focalizzano sull’individuazione di una serie di processi coinvolti nella generazione di esempi da parte di studenti esperti in matematica.
Il lavoro oggetto della tesi si inserisce in questo filone con l’obiettivo di identificare i processi coinvolti nella generazione di esempi da parte di studenti non esperti in matematica nell’ambito della geometria piana e dell’aritmetica, di comprendere i fattori che contribuiscono all'innesco o all'abbandono di processi e di indagare in che misura gli studenti sono consapevoli dei processi attivati.
Per conseguire questi scopi, ho considerato le attività di produzione di esempi come vere e proprie attività di problem solving e, utilizzando come metodo di indagine la task-based interview, ho intervistato 13 studenti frequentanti il corso di studi di Scienze della Formazione Primaria. Tra i diversi quesiti proposti, i seguenti due sono stati assegnati in quasi tutte le interviste:

1. Sapresti darmi un esempio di un numero naturale avente esattamente tre/cinque
divisori? (Problema sui divisori)
2. Sapresti darmi un esempio di un esagono/pentagono avente tutti gli angoli congruenti, ma
non tutti i lati congruenti? (Problema sui poligoni non regolari)

L'analisi dati che ho sviluppato si ispira al modello analitico di Powell et al. (2003) e si articola nelle seguenti fasi non consecutive: attenta visione delle registrazioni audio e video, riconoscimento e descrizione/trascrizione degli eventi significativi rispetto all'obiettivo della tesi, determinazione dei codici da assegnare agli eventi significativi, raggruppamento di codici collegati in categorie, sintesi e discussione dei risultati.
Al termine dell’analisi dei dati, sono stati individuati diversi tipi di processi coinvolti nella generazione di esempi:

Prove ed Errori: lo studente sembra mirare a risolvere il quesito precedendo per tentativi: considera un oggetto, lo esamina, e se ritiene che soddisfi tutte le richieste lo riconosce come esempio accettabile, altrimenti lo scarta ed effettua un nuovo tentativo considerando un nuovo oggetto.

Trasformazione: lo studente modifica un oggetto che soddisfa solo parte delle proprietà richieste tramite una o più trasformazioni successive, con l'obiettivo di ottenerne uno che possieda tutte le caratteristiche richieste.

Costruzione: lo studente suddivide oppure amplia una figura geometrica ausiliaria con lo scopo di produrne una che soddisfi tutte le richieste del problema.

Ricerca di Condizioni: lo studente ricerca delle condizioni sufficienti che garantiscono l'esistenza di oggetti coinvolti nella produzione dell'esempio richiesto, delle condizioni necessarie che essi devono possedere ed, eventualmente, prova a giustificare la validità di queste condizioni.

Formulazione di una congettura: sulla base dell'esplorazione del problema, lo studente formula una congettura inerente all'esempio da generare. Successivamente, verifica la congettura e, in funzione dell'esito della verifica, la conferma, la raffina oppure la rigetta.


Inoltre, al termine dell'analisi dei dati, ho riconosciuto i seguenti fattori che sembrano contribuire all'innesco o all'abbandono di processi:

Insoddisfazione e/o fiducia in un processo: durante l'attività di generazione di un esempio, gli studenti possono acquisire fiducia verso un processo non ancora attivato oppure divenire insoddisfatti di un processo già mobilitato. L'insoddisfazione e/o la fiducia verso un determinato processo può indurre gli studenti a cambiare il processo risolutivo mobilitato. Più precisamente, qualora gli studenti siano insoddisfatti di un processo già intrapreso, possono decidere di abbandonarlo, mentre qualora ripongano fiducia in processo non ancora mobilitato, possono decidere di innescarlo.

Emergere di un nuovo problema: durante l'esplorazione di un problema, gli studenti si possono trovare ad affrontare un nuovo problema. Il nuovo problema può essere auto-posto dagli studenti stessi oppure può emergere come una loro rielaborazione di un intervento dell'intervistatore. L'emergere di un nuovo problema può essere considerato un fattore di cambiamento nei processi mobilitati. Infatti, la necessità di affrontare una diversa situazione problematica può indurre gli studenti a mobilitare nuovi processi.

Pianificazione generale: gli studenti effettuano una pianificazione generale delle strategie che intendono adottare per produrre un esempio richiesto. In altre parole, gli studenti esplicitano una sequenza di azioni, fisiche o mentali, che intendono compiere per risolvere una situazione problematica. La pianificazione generale può essere considerata un fattore che contribuisce all'innesco o all'abbandono di strategie, nella misura in cui costituisce l'innesco della prima strategia stabilita nella sequenza e, in base del proseguo dell'esplorazione, può condizionare l'adozione o l'abbandono delle successive strategie.

Per indagare la consapevolezza degli studenti rispetto ai processi mobilitati, ho confrontato i processi da loro attivati nel contesto di situazioni che richiedono la produzione di esempi simili e ho analizzato eventuali espressioni esplicite degli studenti che possano informare sul loro grado di consapevolezza. Inizialmente avevo ipotizzato che la produzione di una serie esempi simili potesse indurre lo studente a mobilitare gli stessi processi diverse volte e che, col procedere di un’attività di questa forma, lo studente potesse riflettere indirettamente sui processi già attivati, incrementando così la sua consapevolezza rispetto alle strategie adottate. Tuttavia, dall'analisi delle interviste è emerso che gli studenti non sempre sembrano acquisire maggiore consapevolezza dei processi attivati, man mano che l'attività di generazione di esempi simili procede.