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Oggetto di questa tesi sono le opzioni, uno tra gli strumenti finanziari derivati più noti e scambiati. L'analisi prenderà forma gradualmente: si partirà dalla storia di questo particolare strumento, dalla definizione nelle sue varie declinazioni e successivamente saranno spiegate le funzioni che il derivato ha all'interno del mercato, i possibili utilizzi e i suoi limiti. Studieremo quali sono i fattori che influenzano le opzioni e in che modo il loro valore varia al variare di questi ultimi.
A questo punto entreremo nel cuore della tesi affrontando il problema del pricing delle opzioni. In particolare verranno presentati due modelli per il pricing: il modello Black-Scholes-Merton, che è sicuramente il più noto in campo finanziario e ha portato gli autori ad essere insigniti del premio Nobel per l'economia nel 1997 e il modello di Leland che si propone quasi come una miglioria del primo; le ipotesi sottostanti sono infatti identiche fatta eccezione per quella sui costi di transazione. Il modello di Leland, a differenza di quello di Black-Scholes-Merton, non ipotizza costi di transazione pari a zero. Entrambi i modelli saranno derivati attraverso un approccio hedging, ossia si baseranno sulla creazione di un portafoglio detto "di replica" in quanto in un mondo senza possibilità di arbitraggio si propone di replicare il ritorno di un asset privo di rischio. Questo approccio ci permetterà di arrivare ai problemi e alle rispettive soluzioni per il pricing secondo i due modelli. Nella derivazione delle formule saranno utilizzati strumenti del calcolo stocastico, quali ad esempio il Lemma di Ito.
La tesi si concluderà dunque con l'implementazione dei due modelli attraverso il software MATLAB. I risultati saranno messi a confronto tra di loro e soprattutto con i dati di mercato, al fine di trarre le conclusioni finali riguardo all'affidabilità e alla solidità dei due modelli nel valutare le opzioni.