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Tesi etd-09042018-214555


Tipo di tesi
Tesi di laurea magistrale
Autore
AFELTRA, CLAUDIO
URN
etd-09042018-214555
Titolo
Equazioni subellittiche omogenee su gruppi di Carnot
Struttura
MATEMATICA
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Malchiodi, Andrea
Parole chiave
  • gruppi di carnot
  • equazioni differenziali
Data inizio appello
21/09/2018;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
In questa tesi verrà studiata l'equazione −∆u = |u|^{n+2/n-2}u su Rn e su gruppi di Carnot.

Nel primo capitolo vedremo che su Rn essa è soddisfatta dagli ottimizzatori della diseguaglianza di Sobolev, e quindi troveremo la costante ottimale e una famiglia di minimizzatori di essa usando il riarrangiamento radiale per ricondurci ad un problema unidimensionale.

Nel secondo capitolo vedremo che su Rn trovare le soluzioni positive dell'equazione equivale a risolvere il problema di Yamabe, che consiste nel trovare una metrica con curvatura scalare costante conformemente equivalente ad una data, e che in varietà generali al suo posto compare un'equazione simile.
All’inizio del capitolo verranno illustrate alcune delle idee della soluzione del problema di Yamabe.
Dopo troveremo le soluzioni positive regolari dell’equazione usando il metodo delle moving spheres, e quelle singolari in un punto con il metodo dei moving planes.

Nel terzo capitolo verranno introdotti i gruppi di Carnot, ed il loro sublaplaciano, che è l’analogo, per i gruppi di Carnot, del laplaciano. Attraverso la sua decomposizione spettrale ne definiremo le potenze frazionarie su L2, e attraverso il flusso da esso generato ne definiremo le potenze frazionarie su Lp. Grazie a ciò potremo definire sui gruppi di Carnot gli analoghi degli spazi di Sobolev, e generalizzare i teoremi di immersione di Sobolev.

Infine nel quarto capitolo studieremo l’indice di Morse delle soluzioni dell'equazione, dimostrando che la sua finitezza è equivalente all'integrabilità in L^{2n/n−2}, ed implica altre proprietà.
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