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Tesi etd-03212014-162845


Thesis type
Tesi di laurea magistrale
Author
ARMIENTO, AURORA
URN
etd-03212014-162845
Title
Understanding the world through Mathematics: Modelization and Data Assimilation Methods for Protein Polymerisation
Struttura
MATEMATICA
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Gueorguiev, Vladimir Simeonov
Parole chiave
  • Variational Method
  • Kalman Filter
  • Amyloid
Data inizio appello
11/04/2014;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
Al giorno d&#39;oggi, si riscontra sempre piu la necessità di creare dei team di ricerca interdisciplinari, con i quali avanzare parallelamente in diversi campi di ricerca per poter,<br>in ne, allargare le nostre conoscenze. Questo lavoro vuole essere un esempio di come i<br>matematici possono trovare il proprio posto in questo contesto di interdiscipinarieta. Si<br>presenta, infatti, un lavoro svolto tra l&#39;instituto di ricerca di matematica e informatica<br>Inria (Rocquencourt, France) e l&#39;instituto di ricerca biologica Inra (Jouy-en-Josas,<br>France).<br>Il processo biologico al centro di questo studio e la polimerizzazione di proteine.<br>Questo fenomeno fu riscontrato la prima volta negli anni 60 ed identi cato solo vent&#39;anni<br>dopo, nel 1982. Da allora, un crescente interesse ha spinto la comunita scienti ca ad<br>analizzare il fenomeno. La principale ragione di tale interesse e da ricercarsi nella singolare<br>natura, a carattere \ infettivo &#34;, che contraddistingue questi ammassi proteici. Si<br>ipotizza, infatti, che esso sia alla base dell&#39;insorgenza di alcune malattie, costituenti la<br>classe delle amiloidosi. In questa classe di malattie gurano l&#39;Alzheimer, il Parkinson,<br>l&#39;Encefalopatia spongiforme bovina (comunemente conosciuta come la mucca pazza),<br>l&#39;aviaria e il diabete di tipo II.<br>Il possibile contributo dei matematici alla ricerca sulle amiloidosi e vasto. In particolare,<br>con questo lavoro, si a ronta in un primo momento il problema della formulazione<br>di un modello matematico. Ci si ispira, inizialmente, al lavoro del 1935 di<br>Becker Doring per descrivere un processo di aggregazione-frammentazione. In seguito,<br>grazie ad una serie di ipotesi, si ottiene un modello di equazioni di erenziali ordinarie<br>sempli cato, ma comunque capace di descrivere i tratti principali del processo.<br>In un secondo momento, si a ronta il problema della formulazione del problema<br>inverso e i metodi per risolverlo. Si parla di problema inverso ogni qual volta, partendo<br>dagli e etti, si cerca di risalire alle cause. Nello speci co, chiamiamo i le quantita che<br>vogliamo conoscere. Consideriamo  il vettore di componenti i. Inoltre, chiamiamo z<br>il vettore che ha come componenti le osservazioni derivanti dagli esperimenti. Il vettore<br>z dipende dal tempo e dalle variabili descritte dal nostro modello, chiamate x. Quindi,<br>possiamo riassumere il sistema modello-osservazioni come segue<br>8&lt;<br>:<br>x_ ((t); t) = A(x(t); (t); t) + B!(t); t 2 R+<br>x((0); 0) = x} + 0;<br>z = z(x((t); t); (t); t)<br>1<br>dove A e l&#39;operatore del modello e il termine B! rappresenta l&#39;errore di modello, ovvero<br>l&#39;insieme dei contributi dei processi non considerati nella formulazione del modello.<br>Nel nostro caso, l&#39;osservazione e una misura della massa totale dei polimeri. Essa ci da<br>un&#39;idea su quale fenomeno tra aggregazione e frammentazione sia dominante nel corso<br>dell&#39;esperimento. Si considerano, tra le componeti di , i coecienti cinetici legati a<br>tali reazioni.<br>Si presentano, in seguito, due metodi di assimilazione dati. Tali metodi si occupano<br>di determinare la migliore stima del vettore .<br>Il primo metodo e il Metodo Variazionale, nel quale si utilizzano algoritmi di minimizzazzione<br>per cercare il minimo di un dato funzionale, J(). Tale minimo viene<br>raggiunto, per costruzione, dai valori di  tali che l&#39;osservazione generata dalla funzione<br>x((t); t) sia una buona approssimazione di z(t). Tale metodo costruisce iterativamente<br>una successione minimizzante per J, indicata con fngn0. Per ogni termine<br>della successione, viene calcolata la soluzione x(n(t); t), per ogni t appartentente alla<br> nestra d&#39;osservazione. A partire da questa, viene generata un&#39;osservazione che viene<br>confrontata con i valori della misura empirica. L&#39;algoritmo si conclude quando l&#39;esito<br>di tale confronto soddisfa dei criteri ssati.<br>Il secondo metodo e un Metodo di Filtraggio. In particolare, viene utilizzato il Filtro<br>di Kalman Esteso, dove il termine \esteso&#34; deriva dal fatto che si considera un metodo<br>ispirato dal Filtro di Kalman ed esteso al caso di sistemi nonlineari. Tale metodo calcola,<br>per ogni tempo ssato t, uno stimatore ^x(t) del valore x(t). Tale stima e svolta in<br>due passi. Nel primo si calcola un predizione, grazie al modello, e nel secondo si calcola<br>una correzione, che modi ca la predizione utilizzando le informazioni dell&#39;osservazione,<br>ovvero z(t). Quindi, la soluzione ^x, restituita dall&#39;algoritmo, partendo da un dato valore<br>iniziale, corregge la sua traiettoria nel tempo no a ritrovare la traiettoria di x. Nel<br>caso di modello lineare le due traiettorie coincidono alla ne della nestra temporale<br>di osservazione, invece, nel caso non-lineare non ci sono tali garanzie.<br>In questo lavoro, sono inoltre presentate alcune simulazioni numeriche. Esse sono<br>state eseguite a partire da dati sintetici, generati grazie al modello diretto e sulla base<br>delle osservazioni reali. I due metodi di assimilazione dati, sono stati implementati a<br>partire dalle funzioni della Biblioteca Matlab VerdandInMatlab sviluppata dal team<br>dell Inria, M9DISIM.
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