Università degli Studi di Pisa

Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Matematica

Tesi di Laurea Specialistica 23 Febbraio 2007

Il problema inverso di Galois

Candidato Luca Demangos

Relatore Prof. Roberto Dvornicich Università di Pisa

Controrelatore Prof.ssa Ilaria del Corso Università di Pisa

Anno Accademico 2005/2006

ii

Introduzione

Il problema inverso di Galois consiste, molto semplicemente, nel domandarsi se, dato un qualsiasi gruppo finito, esista una estensione finita e di Galois di un campo fissato k avente proprio tale gruppo, a meno di isomorfismo, quale suo gruppo di Galois. Tale problema è a tutt’oggi aperto e se ne conosce risposta affermativa solo relativamente a particolari scelte di campi k i quali, in generale e per gli scopi di questo lavoro, saranno considerati a caratteristica zero. In pratica, comunque, il problema inverso è riferito, nella sua forma più nota, al campo dei razionali ℚ, su cui è maggiormente interessante per la particolare maneggevolezza di tale campo e, sotto un altro punto di vista, anche perchè è proprio l’analisi delle equazioni algebriche a coefficienti razionali il punto di partenza storico dello sviluppo della Teoria di Galois classica.

Vi sono, naturalmente, diverse classi di gruppi finiti per le quali il Problema Inverso è facilmente risolvibile mediante metodi diretti, per esempio i gruppi abeliani. In tal caso, infatti, grazie al Teorema di Struttura dei Gruppi Abeliani Finiti, si ha che, dato un gruppo abeliano finito G, esso è della forma

G ≃ C_{1} × ... × C_{m}

per C_{i} gruppi ciclici di ordine, rispettivamente, n_{1}, ..., n_{m}. Per il Teorema di Dirichlet sui primi nelle progressioni aritmetiche, possiamo trovare m primi distinti p_{1}, ..., p_{m} tali che, per i = 1, ..., m,

p_{i} ≡ 1(n_{i}).

Scelta, allora, ζ_{k} radice k−sima primitiva dell’unità, si ha che ℚ(ζ_{k})/ℚ è estensione di Galois con gruppo di Galois isomorfo a (ℤ/kℤ)^{∗}. Se, inoltre, h e k sono tali che (h, k) = 1, si ha che, allora, ℚ(ζ_{h}) ∩ ℚ(ζ_{k}) = ℚ. Pertanto, G(ℚ(ζ_{p_{i}})/ℚ) ≃ ℤ/(p_{i} − 1)ℤ. Indicato con H_{i} il suo unico sottogruppo di indice n_{i}, si ha che ℚ(ζ_{p_{i}})^{H_{i}} è estensione di Galois di ℚ con gruppo di Galois C_{i}. Essendo, ora, le estensioni ℚ(ζ_{i}) linearmente disgiunte (poichè i primi p_{i} sono tutti distinti) anche le loro sottoestensioni ℚ(ζ_{i})^{H_{i}} saranno linearmente disgiunte tra loro e, dunque, il loro composto ha proprio G come gruppo di Galois su ℚ. Il primo passo significativo nell’attaccare il problema è stato effettuato nel 1891 grazie ad un risultato dovuto al lavoro di Hilbert, che permette di realizzare su ℚ ogni gruppo simmetrico finito S_{n}, gruppo delle sostituzioni su n elementi, per n opportuno. Il risultato fondamentale di tale lavoro va sotto il nome di Teorema di Irriducibilità di Hilbert (H.I.T.), la cui dimostrazione sarà lo scopo del primo capitolo. Esso afferma che il campo ℚ dei numeri razionali è un campo Hilbertiano, cioè, in poche parole, è un campo k tale che ogni polinomio irriducibile a coefficienti in una sua estensione puramente trascendente k(x), avente per radice un elemento primitivo di una estensione finita e di Galois della estensione precedente, rimane irriducibile per una infinità di scelte di suoi specializzati ottenuti sostituendo a x una stringa di elementi di k e, cosa ancora più importante, l’estensione di k prodotta da tali specializzati è ancora normale e conserva lo stesso gruppo di Galois di quella originaria. Essendo realizzabile il gruppo simmetrico S_{n} su ℚ(s_{1}, ..., s_{n}), dove s_{1}, ..., s_{n} sono le funzioni simmetriche elementari di n indeterminate t_{1}, ..., t_{n}, come gruppo di Galois dell’estensione ℚ(t_{1}, ..., t_{n})/ℚ(s_{1}, ..., s_{n}), campo di spezzamento del polinomio (x−t_{1})...(x−t_{n}) (vedi primo capitolo), segue, dal risultato dell’H.I.T., la realizzazione di ogni gruppo simmetrico sul campo dei razionali. Si sviluppa, a partire da questo punto, intorno agli anni ’30, il cosiddetto programma di Noether, basato sul noto risultato del Teorema di Cayley, che permette di pensare ogni gruppo finito G come un sottogruppo di qualche gruppo simmetrico S_{n}. L’idea consiste, data, ℚ(t_{1}, ..., t_{n})/ℚ(s_{1}, ..., s_{n}) l’estensione con gruppo S_{n}, di osservare che, per il Teorema di Artin,

G ≃ G(ℚ(t_{1}, ..., t_{n})/ℚ(t_{1}, ..., t_{n})^{G}).

Se fosse, allora, possibile mostrare che ogni campo intermedio tra due estensioni puramente trascendenti di ℚ (cioè campi di funzioni razionali a coefficienti in ℚ in un numero finito di indeterminate) è a sua volta estensione puramente trascendente di ℚ (il cosiddetto “Teorema di Luroth” in più dimensioni, che è noto essere vero per n = 1), si riproporrebbe la situazione precedente, e si avrebbe, così, risolto in senso positivo il Problema Inverso. Malauguratamente, tale sottoproblema si è rivelato falso. Nel 1969, infatti, R. Swan esibì un controesempio, utilizzando un gruppo generato da un 47ciclo. Il Problema Inverso viene, così, necessariamente affrontato seguendo approcci diversi. In questo lavoro saranno illustrati due metodi fondamentali: il primo segue un approccio geometrico ed è basato sul Teorema di Esistenza di Riemann; il secondo sfrutta le tecniche proprie dell’Algebra Omologica e consiste nel ricondurre il Problema Inverso ad un Problema di Immersione.

Tali due metodi presentano, comunque, dei difetti: la tecnica di Rigidità si rivela difficilmente gestibile in situazioni in cui sia necessario trattare più di tre classi coniugio nel gruppo finito che si vuole realizzare, mentre le tecniche coomologiche, particolarmente utili nei casi in cui il gruppo finito che si vuole realizzare ha sottogruppi normali abeliani, diventano estremamente difficoltose qualora tale gruppo non abbia tale proprietà o sia addirittura semplice. In tale ultima situazione è la tecnica di Rigidità a rivelarsi estremamente utile.

Nel secondo capitolo sarà, dunque, esposto nella sua forma algebrica (meno intuitiva di quella geometrica, ma più rapida da gestire) un diverso approccio al Problema Inverso, basato su considerazioni geometriche legate al concetto di ramificazione. Verrà, in particolare, sostituito il concetto di gruppo con quello più astratto di tipo di ramificazione (si tratta, in parole povere, di una classe di equivalenza tra famiglie finite equipotenti di classi coniugio di gruppi isomorfi, indicizzate su un insieme finito di punti di ℙ^{1}), attraverso il quale si riesce a dare risposta affermativa al Problema Inverso nel caso in cui il campo che si vuole estendere sia, anzichè quello dei numeri razionali, ℂ(x), campo delle funzioni razionali in una indeterminata e a coefficienti complessi. Il risultato essenziale dato dalla Teoria della Ramificazione va sotto il nome di R.E.T. (Teorema di Esistenza di Riemann) ed è legato al concetto di rigidità di un tipo, ossia lo strumento di essenziale importanza nello sviluppo delle tecniche illustrate nel terzo capitolo. E’ possibile mostrare che, inoltre, tali risultati (validi relativamente al caso ℂ(x)) continuano a valere anche per ogni altro campo algebricamente chiuso k al posto di ℂ.

Il terzo capitolo tratta, infine, il combinare i due importanti risultati discussi nei primi due capitoli (H.I.T. e R.E.T.) attraverso quella che è nota come discesa verso ℚ o, più in generale, verso un qualsiasi sottocampo di k, con k algebricamente chiuso, su cui l’estensione L/k(x) sia definita. L’idea è cercare di capire se un gruppo finito e realizzato su k(x) è regolarmente realizzato su κ, dove κ è sottocampo qualsiasi di k; cioè, se le estensioni finite e di Galois L/k(x) a L_{κ}/κ(x), per L_{κ} sottocampo di L che sia estensione di κ(x) regolare su κ, hanno il medesimo gruppo di Galois. Lo strumento principale utilizzato è la tecnica della rigidità, inizialmente costruita allo scopo di aggirare l’ambiguità per cui ad un certo tipo di ramificazione possono corrispondere diverse estensioni FG (finite e di Galois) su un campo F, non F -isomorfe tra loro. In realtà, tale tecnica, adoperata insieme al concetto di struttura razionale e quasi-razionale per un tipo, permetterà, analizzando non più le proprietà dei gruppi, bensì quelle dei tipi costruibili a partire da essi, di realizzare particolari tipi su campi hilbertiani come ℚ o ℚ_{ab} e, più in generale, su ogni campo hilbertiano a caratteristica zero. Come applicazione di tale tecnica verranno illustrate le realizzazioni su ℚ di due importanti classi di gruppi semplici finiti: i gruppi alterni A_{n} e i gruppi P SL_{2}(p) per p primo opportuno. (La realizzazione su ℚ_{ab} di P SL_{2}(q) risulterà molto più semplice, come si vedrà, per ogni q potenza di un primo).

Il quarto capitolo tratterà la dimostrazione del R.E.T. interpretandolo sotto un profilo geometrico e topologico. In particolare, ogni gruppo finito sarà interpretato come gruppo di automorfismi di un rivestimento transitivo ramificato e ad un numero finito di fogli della sfera di Riemann ℙ^{1}, evidenziando come l’azione del gruppo di Galois di una estensione FG della forma L/ℂ(x) agisca localmente, sui punti di ramificazione di tale rivestimento, permutando in modo ciclico i fogli che hanno punto di contatto in tali punti di ramificazione. Questi ultimi risulteranno essere, inoltre, esattamente i punti di ℂ su cui il polinomio minimo F dell’estensione FG in questione si specializza in un polinomio non separabile. Verrà, seguendo tale strategia, formulata una versione topologica del R.E.T., di cui si riuscirà a dare dimostrazione mediante strumenti geometrici, e che risulterà equivalente alla forma algebrica esposta nel secondo capitolo, sulla quale si basa tutto lo sviluppo della tecnica di Rigidità contenuto nel terzo capitolo.

Il quinto capitolo, infine, presenta l’altro importante approccio al Problema Inverso, cioè come sottocaso del Problema di Immersione: si sceglie un opportuno sottogruppo normale H del gruppo G̃ che si vuole realizzare, in modo che il quoziente G abbia facile realizzazione, e si cerca di realizzare H sul campo intermedio in modo che l’estensione complessiva sia di Galois e rappresenti una realizzazione di G̃. Grazie a tale approccio sono stati realizzati su ℚ tutti gli l−gruppi, per l primo dispari (Scholtz-Reichardt, 1936) e tutti i gruppi risolubili (Shafarevich, 1954). In questo lavoro verrà offerto l’esempio della realizzazione del gruppo delle unità dei quaternioni (Q_{8}) su ℚ. Si tratta di un 2-gruppo molto interessante perchè di ordine estremamente piccolo e di struttura assai complessa, ma tale che ogni suo sottogruppo, oltre ad essere normale, sia anche abeliano, e tali siano anche i quozienti relativi. Si tratta, dunque, di un caso fortemente esemplificativo. L’idea sarà basarsi sul Teorema di Schreirer (H^{2}(G, A) ≃ EXT (A, G)) per cercare la classe delle estensioni [G̃] di G ≃ ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ corrispondenti ad un particolare elemento ϵ ∈ H^{2}(G, ℤ/2ℤ). Verrà, inoltre, analizzata la natura delle torri di estensioni quadratiche K ⊂ K_{2} ⊂ K_{4} tali che K_{4}/K sia di Galois, studiandone le proprietà affinchè il gruppo di Galois G(K_{4}/K) sia isomorfo a ℤ/4ℤ o a ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ.

Indice

Introduzione iii

1 H.I.T. 1 1.1 Campi Hilbertiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 ℚ è Hilbertiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 R.E.T. 21 2.1 Campi di serie di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Punti di ramificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Rigidità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Discesa (tecnica della rigidità) 35 3.1 Princìpi generali di discesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Discesa da \overline{κ} a κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Rigidità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Realizzazioni di gruppi semplici finiti . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.1 Gruppi alterni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4.2 Gruppi sporadici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4.3 Gruppi P SL_{2}(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Metodi topologici e geometrici 57 4.1 Rivestimenti di ℙ^{1} \ P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 Legame tra forma algebrica e forma topologica . . . . . . . . . 70

5 Problema di Immersione 85

5.1 Funtori derivati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.1.1 Risoluzioni proiettive e iniettive . . . . . . . . . . . . . 86 5.1.2 Funtori coomologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2 Coomologia dei gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.3 Realizzazione di ℤ/4ℤ e di Q_{8} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 viii INDICE

5.3.1 Gruppi di ordine 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.3.2 Il gruppo delle unità dei quaternioni . . . . . . . . . . 112

Capitolo 1

H.I.T.

In questo capitolo sarà data definizione del concetto di campo Hilbertiano e saranno trattate alcune delle proprietà di maggior rilievo proprie di tale genere di strutture. Come prima cosa, sarà introdotta la definizione di estensione regolare, che risulterà di grande utilità nel seguito, insieme alle proprietà la cui conoscenza sia necessaria ad una adeguata gestione manuale della definizione in questione. Si passerà, poi, all’analisi dei campi Hilbertiani e, infine, al Teorema di Irriducibilità di Hilbert.

1.1 Campi Hilbertiani

Definizione 1.1.1. Una estensione F/K è detta regolare se la chiusura algebrica di K in F è K stesso.

Lemma 1.1.2. Sia x stringa di m indeterminate x_{i} algebricamente indipendenti sul campo k, e sia \overline{k} una chiusura algebrica di k. Allora:

1. k′/k è FG ⟹ k′(x)/k(x) è FG, e la mappa di restrizione

G(k′(x)/k(x)) ⟶ G(k′/k)

è isomorfismo. In particolare, ogni campo intermedio tra k(x) e k′(x) è della forma k′′(x), con k′′ campo intermedio tra k e k′, tale che

[k′′(x) : k(x)] = [k′′ : k].

2. Se f(x, y) ∈ k(x)[y] è irriducibile su k(x) e K = k(x)[y]/(f) è la corrispondente estensione, allora, K è regolare su k ⟺ f irriducibile su \overline{k}(x). In tal caso, allora, f è irriducibile su ogni k_{1}(x), con k_{1}(x) estensione qualsiasi di k tale che x_{i}, y siano algebricamente indipendenti su essa.

Dimostrazione. 1)Il gruppo G agisce in modo naturale su k′(x), tenendo fisse le x_{i}. Pertanto, per il Teorema di Artin, k′(x)/k(x) è di Galois, con gruppo di Galois G. Per lo stesso Teorema, inoltre, dato F campo intermedio tra k′(x) e k(x), esiste unico un sottogruppo H di G tale che F = k′(x)^{H}. Pertanto, esiste unico un campo intermedio k′′ tra k e k′ tale che k′′ = k^{′H}, per cui, essendo lasciato fisso x da ogni elemento di G, segue con facilità l’identificazione F = k′′(x).

2)Mostriamo che f irriducibile su \overline{k}(x) ⟹ K/k regolare. Sia k̂ la chiusura algebrica di k in K, e sia α l’immagine di y nel quoziente

π : k(x)[y] ⟶ K,

per cui f(α) = 0. Dunque, α soddisfa un polinomio f̂(y) ∈ k̂(x)[y] irriducibile, che estende k̂(x) a K e divide f. Se, allora, per assurdo, k̂ ≠ k, f non sarebbe irriducibile su k̂(x) e, quindi, neppure su \overline{k}(x). Viceversa, supponiamo K/k regolare, cioè tale che k̂ = k, e sia k′ estensione FG di k. Sia K′ = Kk′(x) in una chiusura algebrica di k(x). Per il punto 1), allora, K ∩ k′(x) = k′′(x), per qualche k′′ intermedio tra k e k′. Allora, k′′ ⊂ k̂ in quanto estensione finita di k in K, da cui k′′ = k. Dunque, K ∩ k′(x) = k(x). Essendo, ora, k′/k FG, sempre per il punto 1) abbiamo che k′(x)/k(x) è ancora FG perchè isomorfa a k′/k. Dalla Teoria dei Campi segue facilmente, allora, che [K : k(x)] = [K′ : k′(x)]. Il polinomio minimo f che estende k(x) a K, dunque, resta irriducibile nell’estendere k′(x) a K′. Dall’arbitrarietà della estensione FG k′/k segue, allora, che f è irriducibile su \overline{k}(x). Per quanto riguarda, infine, l’ultimo asserto, supponiamo per assurdo che f = gh con g, h ∈ k_{1}(x)[y], per una estensione k_{1}/k come descritta nell’enunciato del Lemma. Senza perdita di generalità, possiamo supporre g monico e k_{1} generato dai coefficienti della funzione razionale g(x, y) in quanto, in tal caso, anche i coefficienti di h(x, y) risulteranno in tale campo. Ora, nel caso in cui tale k_{1}/k sia algebrica, risulterà anche finita perchè generata da un numero finito di elementi su k e, pertanto, il punto precedente mostra che non vi è nulla da dimostrare. Possiamo, allora, supporre che uno dei coefficienti di g(x, y) sia trascendente su k. Chiamato t tale elemento si ha che esiste un campo intermedio k_{2} tra k e k_{1}, puramente trascendente su k e della forma k_{2} = k(t_{1}, ..., t_{s}), con t_{1} = t, su cui k_{1} è algebrico. Esistono, allora, infiniti automorfismi α ∈ Aut(k_{2}/k) che mandano, rispettivamente, t in infiniti elementi distinti: per esempio, t ↦ t + c ∀c ∈ k, mentre, per i ≠ 1, t_{i} è lasciato fisso. Sono in quantità infinita perchè k è a caratteristica zero. Applicando tali automorfismi ai coefficienti di g si otterrà, pertanto, una quantità infinita di divisori g^{α} di f in k_{1}(x)[y], tutti monici e distinti tra loro. L’assurdo è evidente.

Osservazione 1.1.3. Sia α elemento algebrico sul campo L. Sia f(y) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}y^{i} polinomio su L, di grado n > 0, tale che f(α) = 0. Allora

g(Y) = Y^{n} + ∑_{i=0}^{n−1} a_{i}a_{n}^{n−i−1}Y^{i}

è polinomio monico di grado n, tale che g(a_{n}α) = 0. Chiaramente, L(α) = L(a_{n}α).

La dimostrazione di tale osservazione è immediata. Richiamiamo, a questo punto, alcuni risultati e definizioni noti dai corsi di Algebra, legati alla necessità di poter pensare senza difficoltà, in termini di analogia, ai polinomi in n variabili come a polinomi in una variabile, i cui coefficienti siano espressi nei termini delle altre n − 1. Sia, quindi, f(y) ∈ D[y], dove D è UFD, avente F quale suo campo di frazioni. Allora, si ha che f è irriducibile in D[y] se e solo se lo è su F [y]. Inoltre, f è detto primitivo se è non nullo e il suo contenuto (cioè, il M.C.D. dei suoi coefficienti) è 1. Inoltre, se f è non nullo su F, esiste d ∈ F, unico a meno di moltiplicazione per le unità in D, per cui df è primitivo. Un ultimo risultato è, infine, che un anello di polinomi in un numero finito di variabili e a coefficienti in un campo è UFD. Visto ciò, abbiamo ora il seguente

Lemma 1.1.4. Sia f(x_{1}, ..., x_{s}) polinomio in s ≥ 2 variabili su k, di grado almeno 1 in x_{s}. Allora f è irriducibile come polinomio in s variabili se e solo se è irriducibile e primitivo come polinomio in x_{s} sull’anello D = k[x_{1}, ..., x_{s−1}]. Osserviamo che f è irriducibile su D se e solo se lo è su F = k(x_{1}, ..., x_{s−1}).

Dimostrazione. Supponiamo f irriducibile e primitivo come polinomio in x_{s} su D. Se, allora, f = gh, con g e h polinomi in s variabili, uno di tali due fattori, per esempio g, deve essere polinomio solo in x_{1}, ..., x_{s−1}. Poichè f è primitivo, pertanto, segue che g è unità in D, da cui g ∈ k, essendo noto che (k(x_{1}, ..., x_{s}))^{∗} = k. Dunque, f risulta effettivamente irriducibile in s variabili. Il viceversa è ovvio.

Lemma 1.1.5. Sia K/F estensione FG, con F = R(R \ {0})^{−1} per R sottoanello di F. Sia α elemento primitivo dell’estensione, con polinomio minimo f(y) monico in R[y] di grado n = [K : F]. Sia A l’insieme delle radici di f in K. Sia S := R[A]. Allora, esiste u ≠ 0 in R tale che, per ogni omomorfismo di anelli ω : R → F′, per qualche campo F′, tale che ω(u) ≠ 0, 1. ω si estende a ω̃ : S → K′, con K′ = F′(ω̃(S)).

2. Per ogni ω̃ siffatto, K′ è di Galois su F′, ed è generato su F′ dall’elemento primitivo α′ := ω̃(α), tale che f′(α′) = 0, dove f′(y) ∈ F′[y] è f′ = f^{ω}. Allora, [K : F] = [K′ : F′] se e solo se f′ è irriducibile. In tal caso, K′ è F′-isomorfo a F′[y]/(f′).

3. Se f′ è irriducibile, per ogni ω̃ prima descritto, esiste un unico isomorfismo G(K/F) ≃ G(K′/F′), del tipo σ ↦ σ′, dove ω̃(σ(s)) = σ′(ω̃(s)), per ogni σ ∈ G(K/F), s ∈ S.

Dimostrazione. Poichè f è separabile, il suo discriminante D_{f} è elemento di R diverso da zero. Inoltre, ω(D_{f}) è il discriminante del polinomio f′ = f^{ω}. Sia, allora, ω tale che ω(D_{f}) ≠ 0. In tal caso, f′ risulta separabile. Ora, l’ideale (f) in R[y] è il ker della mappa di valutazione R[y] → R[α], h ↦ h(α). Si badi che, non essendo R[y] un PID, ciò non è affatto da dare per scontato, anche se f è irriducibile su R in quanto lo è su F. Tale affermazione si dimostra, allora, nel seguente modo: preso h ∈ R[y] tale che h(α) = 0, esiste un g ∈ F [y] tale che h = gf. Si ha, allora, f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}y^{i}, e g = ∑_{j=0}^{m} b_{j}y^{j}, con a_{i} ∈ R, b_{j} ∈ F. Poichè f è monico in y, segue che b_{m} ∈ R. Allora, essendo il secondo coefficiente di h della forma b_{m−1} + b_{m}a_{n−1}, segue che anche b_{m−1} ∈ R. Non è difficile, quindi, rendersi conto di come ogni b_{j} ∈ R. Pertanto, g ∈ R[y] e, così, h ∈ (f). Ciò induce, quindi, banalmente l’isomorfismo ϕ : R[y]/(f) → R[α].

Premesso ciò, cominciamo a dimostrare il Lemma nel caso particolare in cui R[A] = R[α]. Osserviamo che, naturalmente, gli interi algebrici di F (α) su R non sono, a priori, coincidenti con l’anello R[α], bensì si limitano a contenerlo come sottoinsieme; pertanto, anche se F (α) = F (A), non si può assolutamente concludere che R[A] = R[α].

1) Consideriamo, quindi, l’omomorfismo ω : R → F′, con ω(D_{f}) ≠ 0. Estendendolo ad una mappa R[y] → F′[y] che fissa y, tale mappa manderà f in f′, inducendo l’omomorfismo ψ : R[y]/(f) → F′[y]/(f′). Sia χ := ψ ∘ ϕ^{−1} : R[α] → F′[y]/(f′). Sia, allora, K′ = F′[y]/(g′), dove g′ è fattore irriducibile di f′. Allora, K′ è estensione finita di F′. Componendo χ con la proiezione naturale F′[y]/(f′) → F′[y]/(g′), otteniamo un omomorfismo ω̃ : S = R[α] → K′, che estende ω, il che prova il primo punto in quanto K′ = F′[ω̃(S)] = F′[ω̃(α)] = F′[α′], dal momento che S = R[α].

2) I coniugati α_{1}, ..., α_{n} di α su F sono tutti in A ⊂ S. Siano α′_{1}, ..., α′_{n} le loro immagini mediante ω̃. Applicando ω̃ a f(y), è immediato osservare che K′ contiene tutti i coniugati di α′ su F′ e, pertanto, è normale su F′. Inoltre, tale estensione è separabile, in quanto f′ è polinomio separabile, dunque è di Galois. Quanto resta del secondo punto è banale.

3) Supponiamo, infine, per dimostrare il terzo punto, che f′ sia irriducibile. Allora, siano α′_{1}, ..., α′_{n} tutti i coniugati su F′, distinti per la separabilità di f′. Allora, per ognuno di essi c’è un unico σ′_{i} ∈ G(K′/F′) che manda α′ in α′_{i}. Allo stesso modo, c’è un unico σ_{i} ∈ G(K/F) che manda α in α_{i}. Dunque, si ha la biiezione σ_{i} ↦ σ′_{i} tra G(K/F) e G(K′/F′). Fissiamo, ora, s ∈ S. Allora, sarà della forma s = h(α), con h(y) ∈ R[y]. Sia h′(y) = h^{ω} ∈ F′[y]. Allora, σ′_{i}(ω̃(s)) = σ′_{i}(ω̃(h(α))) = σ′_{i}(h′(α′)) = h′(α′_{i}) = ω̃(h(α_{i})) = ω̃(σ_{i}(h(α))) = ω̃(σ_{i}(s)). Ciò prova che σ′(ω̃(s)) = ω̃(σ(s)), al variare di s in S e σ in G(K/F). In particolare, (στ)′(α′) = (στ)′(ω̃(α)) = ω̃(στ(α)) = σ′(ω̃(τ(α))) = σ′τ′(α′). Pertanto, la mappa σ ↦ σ′ è isomorfismo.

Proviamo, ora, il caso generale. Ogni a ∈ A può essere espresso nella forma

a = ∑_{i=0}^{n−1} b_{i}α^{i}

per b_{i} ∈ F. Si scelga, allora, v ≠ 0 in R tale che vb_{i} ∈ R al variare di b_{i} in F e di a in A. Tale scelta è possibile perchè F è il campo di frazioni di R. Siano u = vD_{f} e R̃ = R[u^{−1}]. Allora, b_{i} ∈ R[v^{−1}] ⊂ R̃ per ogni b_{i}, per cui A ⊂ R̃[α] e, dunque, R̃[A] = R̃[α]. Infine, se ω : R → F′ è omomorfismo con ω(u) ≠ 0, allora, ω si estende in modo unico ad un omomorfismo R̃ → F′. Poichè, allora, ω(u) ≠ 0, segue, dal fatto che ω è omomorfismo e che i campi sono domini di integrità, che l’omomorfismo R̃ → F′ in questione manda anche D_{f} in un elemento ≠ 0. Solo per tale motivo (che spiega l’apparentemente inutile scelta di u al posto di v) si possono, allora, ripetere i passaggi svolti nel caso particolare precedente. Infatti, si estende ω a S̃ := R̃[α], e quindi si restringe tale estensione a S. Si ripetono, così, esattamente tutti i passaggi svolti sopra per tutti e tre i punti, dimostrando il Lemma anche nel caso generale.

Lemma 1.1.6. Sia L un campo, e sia f(x, y) ∈ L[x, y] separabile come polinomio in y su L(x). Allora, il suo specializzato f(b, y) ∈ L[y] è separabile per una infinità di scelte di b ∈ L.

Dimostrazione. f è separabile se e solo se il suo discriminante D_{f}(x) è ≠ 0, cioè, se è un polinomio non nullo in L(x). Naturalmente, per l’Osservazione 1.1.3, non si perde di generalità assumendo f monico su L[x]. Ovviamente, per ogni b ∈ L, il discriminante dello specializzato f(b, y) = f_{b}(y) sarà D_{f}(b), per cui segue facilmente che f_{b} rimarrà irriducibile per ogni elemento b di L che non sia radice di D_{f}(x), cioè per una quantità infinita di elementi di L.

La Proposizione che seguirà è di notevole importanza nel dare una definizione esauriente di campo Hilbertiano e, soprattutto, mostra come il gruppo di Galois di una estensione FG di un tale campo si conservi nello specializzare il polinomio minimo di tale estensione con infinite specializzazioni scelte.

Proposizione 1.1.7. Sia K/k(x) estensione FG, avente elemento primitivo α con polinomio minimo f(x, y) monico in k[x][y] (ciò non fa perdere generalità, per l’Osservazione 1.1.3). Allora:

1. Per quasi ogni b ∈ k: f(b, y) irriducibile ⟹ k[y]/(f_{b}) è estensione di Galois di k, avente gruppo di Galois isomorfo a G(K/k(x)).

2. Per ogni l/k finita e contenuta in K, dato h(x, y) polinomio irriducibile a coefficienti in l avente tutte le radici in K, per quasi ogni b ∈ k si ha che f(b, y) irriducibile in k[y] ⟹ h(b, y) irriducibile in l[y].

3. Esiste una collezione finita di polinomi p_{I}(x, y) ∈ k[x, y], irriducibili e di grado > 1, tali che, per quasi ogni b ∈ k, si ha che se nessuno tra gli specializzati p_{I}(b, y) ha radici in k, allora f(b, y) è irriducibile in k[y].

Dimostrazione. Questa dimostrazione si basa quasi esclusivamente sui risultati del Lemma 1.1.5, evidenziandone, così, tutta l’importanza. Potendo, infatti, considerare f monico sull’anello R = k[x], sappiamo, grazie a tale Lemma, che esiste un elemento u(x) ∈ k[x] non nullo tale che, fissato come omomorfismo da R in F′ = k la valutazione in b ω : p(x) ↦ p(b), per tutti i b ∈ k tali che u(b) ≠ 0 (che, quindi, saranno una infinità), ω si estende ad un omomorfismo S = R[A] → K′, dove A = {α_{1}, ..., α_{n}}, insieme delle n radici di f su k(x), e K′ è estensione finita di k, che risulta essere di Galois, generata su k dalle n radici α′_{1} = ω̃(α_{1}), ..., α′_{n} = ω̃(α_{n}) di f^{ω}. Sempre per lo stesso Lemma, poi, si ha che, per f_{b}, come da ipotesi, irriducibile su k, esso sarà proprio il polinomio minimo che estende k a K′ = k[y]/(f^{ω}), inducendo l’isomorfismo di gruppi

G(K/k(x)) ≃ G(k[y] |_{(f^{ω})} /k)

il che dimostra il primo punto.

Assumiamo, da qui in avanti, che b ∈ k non sia una radice di u. Allora, la valutazione ω in b si estende a S = k[x][α_{1}, ..., α_{n}] e f_{b} è polinomio minimo che estende k a K′, estensione FG. Allora, f_{b}(y) = (y − α′_{1})...(y − α′_{n}). Cominiciamo con il dimostrare il terzo punto. Sia, quindi, I sottoinsieme proprio e non vuoto di 1, ..., n. Poichè f è irriducibile come polinomio in y su k(x), il prodotto parziale ∏_{i∈I}(y − α_{i}) ∉ k(x)[y]. Deve, allora, avere per forza un coefficiente d_{I} ∉ k(x). Ora, d_{I} ∈ S, in quanto le α_{i} sono in S, dunque soddisfa qualche polinomio irriducibile p_{I} su k(x), di grado > 1, che si può supporre a coefficienti in k[x]. Dato l’assunto, fatto sopra, di b tale che non sia radice di u, supponiamo f_{b} non irriducibile in k[y]. Allora, esiste una scelta di I tale che il polinomio ∏_{i∈I}(y − α′_{i}) ∈ k[y]. Segue che c := ω̃(d_{I}) è in k, in quanto è coefficiente di tale polinomio. Applicando ω̃ all’equazione p_{I}(x, d_{I}) = 0, otteniamo p_{I}(b, c) = 0. Ciò prova il terzo punto.

Per quanto riguarda, infine, il secondo punto, abbiamo come ipotesi che f_{b} è irriducibile. Ora, h si scrive come

h(x, y) = h_{0}(x) ∏_{i=1}^{t}(y − β_{i})

con h_{0}(x) ∈ l[x], e β_{i} ∈ K. Siccome i β_{i} ∈ K, il campo di spezzamento di h su l(x) è contenuto in K. In particolare, β_{i} ∈ l[x][α_{1}, ..., α_{n}]. Si può, allora, completare l’insieme di β_{i} ad un insieme finito di elementi di K la cui aggiunzione a l(x) dia luogo proprio a K. A meno di scegliere un altro f polinomio minimo che estenda k(x) a K posso, allora, pensare h|f. Aggiungendo a questo insieme anche le radici di \frac{f}{h}, si otterrà un insieme finito A preservato dall’azione di G(K/k(x)) e tale che K = k(x)(A) e che S = k[x][A]. Ora, dal momento che, in realtà, l’asserto e la dimostrazione del Lemma 1.1.5 restano invariati chiamando A un generico insieme finito in K preservato dall’azione di G(K/k(x)), contenente l’elemento primitivo α dell’estensione K/k(x), essendo l’insieme delle radici di f il più piccolo degli A siffatti, è lecito aggiungere in A anche il generatore primitivo di l/k e tutti i suoi coniugati mediante l’azione di G(K/k(x)). In poche parole, quindi, si può supporre che i β_{i} siano in A ⊂ S e che in A vi sia il generatore primitivo di l/k poichè, come appena visto, ciò non porta ad una perdita di generalità. Siano, ora, β′_{i} = ω̃(β_{i}). Per quanto detto sopra, l ⊂ S. Allora, ω̃ manda l in modo isomorfo in un sottocampo di K′, che possiamo, così, identificare con l. Applicando, allora, ω̃ alla precedente espressione di h si avrà che

h(b, y) = h_{0}(b) ∏_{i=1}^{t}(y − β′_{i}).

Inoltre, la mappa descritta nel terzo punto del Lemma 1.1.5, essendo rispettata l’ipotesi di tale punto, per cui f_{b} è irriducibile, manda in modo isomorfo H = G(K/l(x)) in un sottogruppo H′ < G(K′/l). Poichè h è irriducibile su l(x), è separabile e H opera in modo transitivo sulle radici β_{i}. Allora, H′ opera transitivamente a sua volta sulle β′_{i}. Escludendo la quantità finita dei b ∈ k tali che h_{0}(b) = 0, e quelli per cui h(b, y) non è separabile, si ha, infine, che h(b, y) è separabile e H′, isomorfo a G(K/l(x)), permuta transitivamente le sue radici β′_{i}.

Corollario 1.1.8. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. Per ogni polinomio irriducibile f(x, y) in due variabili su k di grado ≥ 1, ci sono infiniti b ∈ k tali che i relativi specializzati f(b, y) sono irriducibili su k.

2. Data una estensione finita l/k, e h_{1}(x, y), ..., h_{m}(x, y) ∈ l[x][y], irriducibili in y su l(x), ci sono infiniti b ∈ k tali che i relativi specializzati h_{1}(b, y), ..., h_{m}(b, y) sono irriducibili in l[y].

3. Per ogni famiglia finita p_{1}(x, y), ..., p_{t}(x, y) ∈ k[x][y] di polinomi irriducibili e di grado > 1 in y su k(x), ci sono infiniti b ∈ k tali che nessuno dei relativi specializzati p_{1}(b, y), ..., p_{t}(b, y) ha una radice in k.

Dimostrazione. E’ chiaro che 1)⟸2)⟹3), per il Lemma 1.1.4. Siano, ora, i polinomi irriducibili su l(x) h_{i} di 2). Sia S_{0} l’insieme di tutte le radici di questi polinomi in qualche chiusura algebrica di l(x). Si scelga una estensione finita K di l(x) che contenga S_{0}, di Galois su k(x). Il secondo punto della precedente Proposizione mostra, allora, come 1)⟹ 2), in quanto è lecito scegliere monico e, quindi, primitivo, il polinomio minimo f che estende k(x) a K. Il terzo punto della Proposizione precedente, infine, mostra come 3)⟹ 1) ⟹ 2).

Definizione 1.1.9. Un campo k si dice Hilbertiano se soddisfa una delle tre proprietà equivalenti appena illustrate.

Osserviamo che segue immediatamente dal precedente Corollario che ogni estensione finita di un campo Hilbertiano è ancora Hilbertiana. Esaminiamo, ora, alcune delle principali caratteristiche dei campi Hilbertiani.

Lemma 1.1.10. Supponiamo k Hilbertiano, e f(x_{1}, ..., x_{s}) sia polinomio irriducibile in s ≥ 2 variabili su k, di grado ≥ 1 in x_{s}. Allora:

1. Esistono infiniti b ∈ k tali che il polinomio f(b, x_{2}, ..., x_{s}) in s − 1 variabili è irriducibile su k.

2. Per ogni polinomio non nullo p ∈ k[x_{1}, ..., x_{s−1}] esiste una stringa b_{1}, ..., b_{s−1} ∈ k tale che p(b_{1}, ..., b_{s−1}) ≠ 0 e f(b_{1}, ..., b_{s−1}, x_{s}) è irriducibile nella sola variabile x_{s}.

Dimostrazione. 1) Sia d un intero maggiore della più alta potenza di ogni variabile che compare nell’espressione di f. Definiamo, allora, la specializzazione di Kronecker su f come S_{d}f(x, y) = f(x, y, y^{d}, ..., y^{d^{s−2}}), che risulta essere polinomio in due variabili. Esso si decomporrà, allora, come

S_{d}f(x, y) = g(x) ∏_{i} g_{i}(x, y),

prodotto di polinomi irriducibili su k di grado ≥ 1 in y, e a coefficienti in k[x]. Poichè k è Hilbertiano, ci sono infiniti b ∈ k tali che tutti i g_{i}(b, y) sono irriducibili. Consideriamo, da qui in avanti, solo tali b. Possiamo, inoltre, assumere che g(b) ≠ 0. Supponiamo, ora, che f(b, x_{2}, ..., x_{s}) sia riducibile, per cui f(b, x_{2}, ..., x_{s}) = h(x_{2}, ..., x_{s})h′(x_{2}, ...x_{s}), con h, h′ non costanti. Segue, allora, che S_{d}f(b, y) = S_{d}h(y)S_{d}h′(y), da cui S_{d}h(y) e S_{d}h′(y) sono prodotti parziali di alcuni g_{i}(b, y), a meno di fattori in k. Siano H(x, y) e H′(x, y) i prodotti dei corrispettivi g_{i}(x, y). Allora, S_{d}f(x, y) = g(x)H(x, y)H′(x, y). Si applica, pertanto, banalmente l’unicità dell’espansione d−adica degli interi, per cui esistono unici due polinomi h̃(x_{1}, ..., x_{s}), h̃′(x_{1}, ..., x_{s}) tali che S_{d}h̃ = gH, e S_{d}h̃′ = H′, aventi il massimo esponente con cui in essi compaiono le variabili x_{2}, ..., x_{s}, strettamente minore di d. Se la stessa condizione sulle potenze delle variabili valesse per f̃:= h̃h̃′, allora, sempre per la stessa ragione avremmo che f̃ = f, essendo S_{d}f̃ = S_{d}f, il che contraddirebbe l’irriducibilità ipotizzata su f. Dobbiamo, allora, ritenere che compaia in f̃ un monomio della forma χ(x_{1})x_{2}^{i_{2}}...x_{s}^{i_{s}}, dove qualche i_{ν} ≥ d, e χ ≠ 0. Osserviamo, però, che h̃(b, x_{2}, ..., x_{s}) è multiplo scalare di h, e lo stesso vale per h̃′ e h′; dunque, f̃(b, x_{2}, ..., x_{s}) è multiplo scalare di f(b, x_{2}, ..., x_{s}). Si deve avere per forza, allora, χ(b) = 0. Basterà, allora, scegliere b diverso dalle radici di χ in k, e si otterrà l’assurdo cercato.

2) Per induzione, supponiamo s = 2. In tal caso non vi è nulla da dimostrare. Assumiamo, allora, s > 2 e che l’asserto sia valido per s − 1. Interpretiamo p come polinomio in x_{2}, ..., x_{s−1} a coefficienti in k[x_{1}]. Per il primo punto, allora, c’è b_{1} ∈ k tale che f_{b_{1}} = f(b_{1}, x_{2}, ..., x_{s}) sia irriducibile, e un coefficiente c_{j}(x_{1}) di p è tale che c_{j}(b_{1}) ≠ 0. Allora, p_{b_{1}} = p(b_{1}, x_{2}, ..., x_{s−1}) è non nullo. Per ipotesi induttiva, allora, esiste una stringa b_{2}, ..., b_{s−1} in k tale che p_{b_{1}}(b_{2}, ..., b_{s−1}) ≠ 0 e che f_{b_{1}}(b_{2}, ..., b_{s−1}, x_{s}) sia irriducibile. Allora, la stringa b_{1}, ..., b_{s−1} è quella desiderata.

Corollario 1.1.11. Se k è campo Hilbertiano, allora è campo Hilbertiano ogni sua estensione finitamente generata.

Dimostrazione. Sappiamo già, dalla definizione, che ogni estensione finita di un campo Hilbertiano è ancora campo Hilbertiano. Una estensione K/k finitamente generata ha come campo intermedio F, estensione puramente trascendente di k e tale che K/F sia finita. Possiamo, per tali due motivi, limitarci a considerare estensioni puramente trascendenti di k, del tipo F = k(x_{1}, ..., x_{m}). Sia D = k[x_{1}, ..., x_{m}]. Sia f(x, y) ∈ F [x, y] irriducibile, di grado ≥ 1 in y. Allora, f è irriducibile in y su F (x), per il Lemma 1.1.4. Possiamo, poi, assumere f ∈ D[x, y]. Per il Lemma 1.1.4, allora, si può anche assumere che f sia irriducibile in x_{1}, ..., x_{m}, x, y. Per il Lemma precedente, allora, vi sono infiniti b ∈ k tali che f(x_{1}, ..., x_{m}, b, y) è irriducibile. Allora, f(x_{1}, ..., x_{m}, b, y) è irriducibile in y su D, quindi su F. Pertanto, F è campo Hilbertiano.

Il Teorema che seguirà è, di fatto, il risultato cui era dedicato questo primo paragrafo, ed è conseguenza naturale dal precedente Corollario e della Proposizione 1.1.7, la quale, a sua volta, è una particolare applicazione del Lemma 1.1.5, il vero fondamento di tutta questa trattazione iniziale, volta ad evidenziare la realizzabilità di gruppi finiti come gruppi di Galois su un campo Hilbertiano quando già sono realizzati su di una estensione puramente trascendente di quest’ultimo.

Teorema 1.1.12. Sia k Hilbertiano. Se un gruppo finito G è realizzato come gruppo di Galois su k(x_{1}, ..., x_{m}), allora è tale anche su k.

Dimostrazione. Se m > 1, allora k(x_{1}, ..., x_{m}) = k(x_{1}, ..., x_{m−1})(x_{m}). Poichè k(x_{1}, ..., x_{m−1}) è Hilbertiano per il Corollario precedente, possiamo assumere senza perdita di generalità m = 1. Il primo punto della Proposizione 1.1.7 conclude.

Definizione 1.1.13. Sia G gruppo finito. Si dice che, allora, è regolarmente realizzato su k se, per qualche m ≥ 1, esiste una estensione FG di k(x_{1}, ..., x_{m}), regolare su k, con gruppo di Galois isomorfo a G.

Corollario 1.1.14. Se G è regolarmente realizzato su k, allora lo è anche su qualsiasi estensione di k.

Dimostrazione. Siano x_{1}, ..., x_{m} elementi trascendenti su k_{1} e su k, con k_{1} estensione qualunque di k, tali che G = G(K/k(x)), con K/k regolare. Sia n = |G| = [K : k(x)]. Dato f(x, y) il polinomio minimo che estende k(x) a K, si ha K = k(x)[y]/(f). Per il Lemma 1.1.1, però, si ha che K/k regolare ⟺ f irriducibile su \overline{k}(x), e che, in tal caso, f rimane irriducibile su ogni estensione di k su cui x e y rimangano trascendenti. Segue, pertanto, dalla regolarità dell’estensione K/k, che f è irriducibile su \overline{k_{1}}(x). Quindi, K_{1} = k_{1}(x)[y]/(f) è estensione di k_{1}(x) di grado n, regolare su k_{1}. Chiaramente, K_{1}/k_{1}(x) è di Galois perchè tutte le radici di f su k_{1}(x) sono già contenute in K, il quale è, a sua volta, contenuto in K_{1}. Ora, G(K_{1}/k_{1}(x)) e G(K/k(x)) hanno stesso ordine n, e la mappa di restrizione G(K_{1}/k_{1}(x)) → G(K/k(x)), tale che σ ↦ σ|_{K}, è una immersione. Anzitutto, se σ ∈ G(K_{1}/k_{1}(x)) è ristretto a K terrà fisso K ∩ k_{1}(x) = k_{2}(x), con k ⊂ k_{2} ⊂ k_{1}, per il primo punto del Lemma 1.1.1. Da cui, effettivamente, tale mappa ha immagine contenuta in G(K/k(x)). Inoltre, se σ ∈ G(K_{1}/k_{1}(x)) tiene fisso K, essendo, per costruzione, K_{1} = Kk_{1}(x), risulta essere, in realtà, proprio l’identità su K_{1}. In conclusione, pertanto, tale mappa è isomorfismo, poichè è evidente come già sia un omomorfismo.

Osservazione 1.1.15. Se k è Hilbertiano e G non banale è regolarmente realizzato su k, esistono infinite estensioni di Galois di k linearmente disgiunte e con gruppo di Galois G.

Dimostrazione. Una famiglia di estensioni k_{i}/k si dice linearmente disgiunta se, per ogni coppia di insiemi finiti in tale famiglia, il composto degli elementi del primo intersecato con il composto degli elementi del secondo è k. Per induzione, sarà sufficiente provare tale risultato prendendo il primo insieme con n elementi e il secondo con uno solo, facendo, poi, variare n da 1 in avanti. Infatti, assumendo che per ogni n si abbia che k_{1}...k_{n} ∩ k_{n+1} = k, dalle elementari proprietà dei campi segue che k_{1}...k_{n} ∩ k_{n+1}k_{n+2} ⊂ k_{1}...k_{n}k_{n+1} ∩ k_{n+1}k_{n+2} = k_{n+1}(k_{1}...k_{n} ∩ k_{n+2}) = k_{n+1}. Allo stesso modo, allora, si ha che k_{1}...k_{n} ∩ k_{n+1}k_{n+2} ⊂ k_{n+2}. Dal caso n = 1, allora, k_{1}...k_{n} ∩ k_{n+1}k_{n+2} = k. Abbiamo, ora, una estensione FG K/k(x) ottenuta per aggiunzione di un elemento primitivo radice del polinomio minimo f(x, y) a coefficienti in k[x]. Poichè k è Hilbertiano, allora, esistono infiniti specializzati f_{b}, per b ∈ k^{m}, irriducibili e tali che G(K/k(x)) ≃ G(k[y]|(f_{b})/k). Chiamiamo, allora, per i da 1 in poi, k(β_{i}) ≃ k[y]|(f_{b_{i}}), una quantità infinita e numerabile di tali estensioni. Sia, allora, per n da 1 in avanti, L := ∏_{i=1}^{n} k(β_{i}), estensione finita di k. Poichè K/k è regolare, allora, f rimane irriducibile anche su L(x). Per la Proposizione 1.1.7, allora, esistono infiniti a ∈ k^{m} tali che f_{a} è irriducibile in L[y]. Possiamo, allora, sceglierne almeno uno tale che, contemporaneamente, si abbia che L(β_{n+1}) ≃ L[y]/(f_{a}) e che k(β_{n+1}) ≃ k[y]/(f_{a}). Pertanto, si avrà la situazione [k(β_{n+1}) : k] = [L(β_{n+1}) : L] = n, con L(β_{n+1}) = Lk(β_{n+1}). Dalla Teoria dei Campi classica si ha, allora, che L ∩ k(β_{n+1}) = k.

Nella definizione di gruppo finito regolarmente realizzato, ci si potrebbe chiedere per quali m vale la proprietà descritta. In realtà, se G è regolarmente realizzato su k, per ogni m ∈ ℕ\{0} esiste una estensione FG di k(x_{1}, ..., x_{m}), regolare su k, con gruppo di Galois G. E’ data, in [14], una dimostrazione di ciò nel caso in cui k sia Hilbertiano. Ciò è comunque sufficiente a provare l’affermazione anche nel caso generale, sfruttando il fatto che è possibile provare una generalizzazione del Corollario 1.1.11, per cui k(x_{1}, ..., x_{m}) è Hilbertiano per k campo qualsiasi.

Teorema 1.1.16. Il gruppo simmetrico S_{n} è regolarmente realizzato su ogni campo.

Dimostrazione. Sia dato il polinomio f(x) = ∏_{i=1}^{n}(x − t_{i}), con t stringa di n indeterminate algebricamente indipendenti su k. Esso è della forma f(x) = x^{n} + s_{1}x^{n−1} + ... + s_{n}, dove, a meno del segno, le s_{i} sono le funzioni simmetriche elementari del polinomio in questione; anch’esse, ovviamente, algebricamente indipendenti su k. Ora, il gruppo S_{n} agisce in modo naturale sulle radici di f permutandole completamente tra loro. Per tale ragione f è irriducibile su k(s_{1}, ..., s_{n}) e il suo gruppo di Galois su k(s_{1}, ..., s_{n}) è S_{n}. La regolarità dell’estensione k(t_{1}, ..., t_{n})/k segue dall’indipendenza algebrica delle t_{i} su k.

1.2 ℚ è Hilbertiano

L’obiettivo di tale paragrafo è mostrare che il campo ℚ dei numeri razionali è Hilbertiano, ossia il Teorema di Irriducibilità di Hilbert. Segue dalle conclusioni del precedente paragrafo, dunque, che tale risultato permette la realizzazione su ℚ del gruppo simmetrico S_{n}.

Teorema 1.2.1. Sia f(x, y) ∈ ℂ[x, y] di grado n ≥ 1. Sia c_{0} ∈ ℂ tale che il polinomio f(c_{0}, y) ∈ ℂ[y] sia separabile di grado n. Esistono, allora, n funzioni olomorfe ψ_{1}, ..., ψ_{n} definite su un intorno U di c_{0} e tali che per ogni c ∈ U il polinomio f(c, y) ha come n radici distinte ψ_{1}(c), ..., ψ_{n}(c).

Dimostrazione. La separabilità di f(c_{0}, y) comporta che \frac{∂}{∂y}f(c_{0}, γ_{i}) ≠ 0, per ogni radice γ_{i} di f_{c_{0}}. In ciascuno dei punti (c_{0}, γ_{i}), allora, esiste un intorno U × V_{i} su cui vi è una funzione olomorfa implicita ψ_{i}(z) tale che ψ_{i}(c_{0}) = γ_{i}, e che f(c, ψ_{i}(c)) = 0, per ogni (c, ψ_{i}(c)) che sia nel vincolo f(x, y) = 0, e per c ∈ U. Il vincolo f(x, y) = 0, infatti, è, laddove c renda f_{c} separabile, una varietà in ℂ^{2}, per la condizione differenziale prima descritta, la quale, per il Teorema del Dini, esplicita localmente tale vincolo come una funzione che, per l’analiticità di f, è olomorfa.

1.2. ℚ È HILBERTIANO 13

Definizione 1.2.2. Sia M ⊂ ℕ. Si dice che M è sparso se esiste un numero reale χ tale che 0 < χ < 1 tale che |M ∩ {1, ..., N}| ≤ N^{χ} per quasi ogni N.

Naturalmente, ogni insieme finito è sparso e, più in generale, ogni unione finita di insiemi sparsi è un insieme sparso. Per induzione, infatti, basterà verificarlo per l’unione di due insiemi sparsi. Dati, quindi, M_{1} e M_{2} due insiemi sparsi, esisteranno χ_{1} e χ_{2}, compresi tra 0 e 1, tali che |M_{1}∩{1, ..., N}| ≤ N^{χ_{1}}, e |M_{2} ∩ {1, ..., N}| ≤ N^{χ_{2}}. Senza perdere generalità, supponiamo χ_{1} ≤ χ_{2}. Allora,

|(M_{1} ∪ M_{2}) ∩ {1, ..., N}| ≤ 2N^{χ_{2}},

per cui esiste certamente α compreso strettamente tra 0 e 1 − χ_{2} tale che 2 ≤ N^{α} per quasi ogni N.

Teorema 1.2.3. Sia i_{0} ∈ ℤ, e sia

ϕ(t) = ∑_{i=i_{0}}^{+∞} a_{i}t^{i}

serie di Laurent a coefficienti complessi, convergente per ogni t ≠ 0 in una corona circolare attorno a 0 in ℂ. Sia B(ϕ) l’insieme di tutti i b ∈ ℕ per cui ϕ(\frac{1}{b}) è definito ed è in ℤ. Allora, B(ϕ) è sparso a meno che ϕ sia funzione razionale in t (ossia, quasi tutti gli a_{i} siano nulli).

La dimostrazione di tale Teorema è basata su calcoli banali. Si rimanda a [14].

Lemma 1.2.4. Sia p(x, y) ∈ ℚ[x][y] irriducibile su ℚ(x) e di grado r > 1 in y. Allora, per quasi ogni x_{0} ∈ ℤ si ha:

1. Esistono un ϵ > 0 e funzioni olomorfe ψ_{1}(t), ..., ψ_{r}(t), definite per t razionale tale che |t| < ϵ, tali che ψ_{1}(t), ..., ψ_{r}(t) siano le radici del polinomio p(x_{0} + t, y) ∈ ℚ[y].

2. Se qualche ψ_{i}(t) è funzione razionale di t, allora c’è solo un numero finito di q ∈ ℚ tali che ψ_{i}(q) ∈ ℚ.

3. Sia B(p, x_{0}) l’insieme di tutti i b ∈ ℕ tali che p(x_{0} + \frac{1}{b}, c) = 0 per qualche c ∈ ℚ. Allora, B(p, x_{0}) è insieme sparso.

Dimostrazione. Poichè p è irriducibile, è separabile. Dunque, esistono infiniti x_{0} ∈ ℤ tali che i rispettivi specializzati di p restano separabili. Per ciascuno di essi, allora:

1) Il primo punto è conseguenza immediata del Teorema 1.2.1.

2) Supponiamo ψ := ψ_{i} funzione razionale a coefficienti complessi, olomorfa su un intorno di x_{0}. Allora, p(x_{0} + t, ψ(t)) è identicamente 0 come funzione razionale di t, in quanto olomorfa e identicamente nulla su un intorno di 0. Allora, p(x_{0} + x, ψ(x)) = 0 in ℂ(x), per x trascendente su ℂ. Allora, ψ(x) ∈ ℂ(x) è algebrico su ℚ(x), dunque su \overline{ℚ}(x). Ma \overline{ℚ}(x) è algebricamente chiuso in ℂ(x), in quanto, dato z ∈ ℂ(x) algebrico su \overline{ℚ}(x), sia f ∈ \overline{ℚ}(x)[y] il polinomio minimo ad esso relativo. Allora, f è irriducibile su \overline{ℚ}(x). Ma, poichè \overline{ℚ} è campo algebricamente chiuso, per il Lemma 1.1.1, f resta irriducibile su \overline{ℚ}(x)(z), da cui, in realtà, z ∈ \overline{ℚ}(x). Di conseguenza, ψ(x) ∈ \overline{ℚ}(x). Per ogni β ∈ G(\overline{ℚ}/ℚ) consideriamo la funzione razionale ψ^{β}. Allora, ψ^{β}(q) = ψ(q) per ogni q ∈ ℚ tale che ψ(q) ∈ ℚ. Se, per assurdo, vi è un numero infinito di tali q, segue che ψ^{β} = ψ per ogni β ∈ G(\overline{ℚ}/ℚ), da cui ψ ha coefficienti razionali. Allora, si avrebbe che ψ(x − x_{0}) ∈ ℚ(x) è una radice di p(x, y) appartenente a ℚ(x), il che contraddice l’irriducibilità di p su tale campo.

3) Assumiamo p(x, y) ∈ ℤ[x, y]. Si ha

p(x, y) = ∑_{i=0}^{r} p_{i}(x)y^{i}

con p_{i}(x) ∈ ℤ[x]. Ora, per R sufficientemente grande, l’espressione

x^{R}p(x_{0} + \frac{1}{x}, y) = ∑_{i=0}^{r} x^{R}p_{i}(x_{0} + \frac{1}{x})y^{i}

è un elemento di ℤ[x, y]. Si denoti con p′_{i}(x) il coefficiente, in esso, di y^{i}. Allora, h(x) := p′_{r}(x) è elemento non nullo di ℤ[x]. Come già fatto in precedenza, definiamo

p′(x, Z) = Z^{r} + ∑_{i=0}^{r−1} p′_{i}(x)h^{r−i−1}(x)Z^{i}

elemento di ℤ[x, Z], monico in Z. Supponiamo, ora, che p(x_{0} + \frac{1}{b}, c) = 0 per qualche c ∈ ℚ e qualche b ∈ ℤ. Allora, p′(b, h(b)c) = 0, essendo, per definizione, Z = h(x)y. Poichè p′(b, Z) ∈ ℤ[Z] è monico, segue che h(b)c è intero algebrico su ℤ. Allora, poichè è banalmente un numero razionale, è in ℤ. Se, inoltre, ammettiamo che |1/b| < ϵ, si ha che c = ψ_{i}(1/b) per qualche i = 1, ..., r, per il primo punto. Allora, h(b)ψ_{i}(1/b) = h(b)c ∈ ℤ. Sia ϕ_{i}(t) = h(t^{−1})ψ_{i}(t), per 0 < |t| < ϵ, per i = 1, ..., r. Quanto sopra mostra che se b ∈ B(p, x_{0}) e 1/b < ϵ, segue che ϕ_{i}(1/b) = h(b)ψ_{i}(1/b) ∈ ℤ per qualche i = 1, ..., r. Dunque, a meno di insiemi finiti, B(p, x_{0}) è nell’unione dei B(ϕ_{i}). Per il Teorema precedente, allora, B(p, x_{0}) è sparso se ϕ_{i} è una serie di Laurent (convergente per 0 < |t| < ϵ dall’olomorfia della ψ_{i} in tale intorno). Nel caso si tratti, invece, di una funzione razionale, il Teorema precedente perde di valore, ma il Lemma resta valido perchè, in tal caso, anche ψ_{i} sarebbe funzione razionale e, quindi, per il secondo punto, B(ϕ_{i}) sarebbe finito.

Teorema 1.2.5. H.I.T. ℚ è Hilbertiano.

Dimostrazione. Data una famiglia finita di polinomi p_{j}(x, y) irriducibili su ℚ(x) e di grado > 1 in y, possiamo scegliere un numero infinito di x_{0} ∈ ℤ che rispettino le conclusioni del precedente Lemma per ciascuno dei p_{j}(x, y). Sia C l’insieme dei b ∈ ℕ tali che nessuno degli specializzati p_{j}(x_{0} + \frac{1}{b}, y) abbia una radice in ℚ. Sia B := ℕ − C. Allora, B è unione dei B(p_{j}, x_{0}). Per il precedente Lemma, pertanto, questo è un insieme sparso. Dunque, C è necessariamente infinito. A maggior ragione, quindi, sarà infinito l’insieme dei numeri razionali q tali che nessuno specializzato p_{j}(q, y) abbia radice razionale. Cioè, ℚ è Hilbertiano.

1.3 Applicazioni

In tale ultimo paragrafo si cercherà di indagare la proprietà di essere Hilbertiani da parte di campi che sono estensioni generiche di campi Hilbertiani; in particolare, si darà dimostrazione di un risultato molto potente per stabilire se un campo di numeri è o meno Hilbertiano, sfruttando come acquisizione di base l’H.I.T., illustrando alcuni esempi specifici.

Lemma 1.3.1. Sia k Hilbertiano, e l/k estensione finita. Siano π, π̃ ∈ l[x_{1}, x_{2}][y], monici in y, dove x_{1}, x_{2} sono algebricamente indipendenti su l. Supponiamo che π non abbia radici nel campo di spezzamento di π̃. Allora, per ogni v non nullo in l[x_{1}, x_{2}] ci sono b_{1} e b_{2} in k tali che v(b_{1}, b_{2}) ≠ 0 e che π(b_{1}, b_{2}, y) non abbia radici nel campo di spezzamento di π̃(b_{1}, b_{2}, y).

Dimostrazione. Sia K/l(x_{1}, x_{2}) estensione FG contenente tutte le radici di π e π̃. Sia α generatore di K/l(x_{1}, x_{2}) tale che f(α) = 0, per f polinomio monico e irriducibile a coefficienti in l[x_{1}, x_{2}]. Per i Lemmi 1.1.4 e 1.1.10, esistono b_{1}, b_{2} ∈ l tali che v(b_{1}, b_{2}) ≠ 0 e tali che f(b_{1}, b_{2}, y) è irriducibile su l. Usando le proprietà dei campi Hilbertiani (vedi il secondo punto del Corollario 1.1.8), la dimostrazione del Lemma 1.1.10 mostra che è possibile trovare tali b_{1}, b_{2} in k. Siano, quindi, tali b_{1} e b_{2}. Sia ω_{b_{1}b_{2}} : l[x_{1}, x_{2}] → l omomorfismo di valutazione h(x_{1}, x_{2}) ↦ h(b_{1}, b_{2}). Per il Lemma 1.1.5, possiamo supporre che ω_{b_{1}b_{2}} si estenda ad un omomorfismo ω : S → K′, dove S è sottoanello di K contenente tutte le radici di π e π̃ (basta aggiungerle, insieme ai loro G(K/l(x_{1}, x_{2}))−coniugati, ad A), e K′ è estensione FG di l. Poichè f(b_{1}, b_{2}, y) è irriducibile, possiamo, inoltre, assumere che esista un isomorfismo G(K/l(x_{1}, x_{2})) → G(K′/l), σ ↦ σ′, tale che ωσ(s) = σ′ω(s) per ogni s ∈ S, σ ∈ G(K/l(x_{1}, x_{2})). Si può assumere, inoltre, che π sia separabile, sostituendolo, in caso contrario, con il prodotto dei suoi fattori irriducibili e monici. Allora, il suo discriminante D è elemento non nullo in l[x_{1}, x_{2}]. Sostituendo v con Dv, possiamo assumere che π(b_{1}, b_{2}, y) sia a sua volta separabile. Si ha π(y) = (y − β_{1})...(y − β_{s}). Allora, π(b_{1}, b_{2}, y) = (y − β′_{1})...(y − β′_{s}), dove β′_{i} = ω(β_{i}). Allo stesso modo, π̃(y) = (y − γ_{1})...(y − γ_{t}), e π̃(b_{1}, b_{2}, y) = (y − γ′_{1})...(y − γ′_{t}). Le ipotesi del Lemma significano che per ogni β_{i} esiste un σ ∈ G(K/l(x_{1}, x_{2})) che fissa tutti i γ_{ν}, ma non β_{i}: sia esso σ(β_{i}) = β_{j}, per i ≠ j. Dunque, σ′ fissa tutti i γ′_{ν}. Poichè π(b_{1}, b_{2}, y) è separabile abbiamo che β′_{i} ≠ β′_{j}, da cui σ′ non fissa β′_{i}.

Teorema 1.3.2. (Weissauer) Sia k Hilbertiano, sia N/k estensione di Galois (a priori, anche infinita), e sia M/N estensione finita non banale. Allora, M è campo Hilbertiano.

Dimostrazione. Si consideri una collezione finita di polinomi p_{j}(x, y) ∈ M[x][y], irriducibili e di grado > 1 in y, a coefficienti in M(x). Vogliamo mostrare che esistono infiniti b ∈ M tali che nessuno dei relativi specializzati p_{j}(b, y) ha una radice in M. Sappiamo, per quanto già detto in precedenza, di poter assumere tali p_{j}(x, y) monici in y. Consideriamo, quindi, i b al di fuori della quantità finita delle radici dei coefficienti direttivi dei p_{j}. Naturalmente, possiamo assumere che i p_{j} siano distinti. Dunque, il loro prodotto p(x, y) sarà separabile in y. Si tratta, allora, di mostrare che esistono infiniti b ∈ M tali che p(b, y) non abbia radici in M. Per giungere a tale risultato ci si servirà dei seguenti Lemmi:

Lemma 1.3.3. Supponiamo che qualche q = p_{j} sia tale che q(x, g(x)) = 0 per qualche g(x) ∈ \overline{M}(x). Dunque, c’è solo una quantità finita di b ∈ M tali che q(b, y) ha una radice in M.

Dimostrazione. Poichè \overline{M}(x)/M(x) è di Galois, tutte le radici di q su M(x) sono in \overline{M}(x). Quindi, q(x, y) = ∏_{i}(y − g_{i}(x)), con g_{i}(x) ∈ \overline{M}(x), ma ∉ M(x), poichè q è irriducibile di grado > 1 in y. Allora, c’è solo una quantità finita di b ∈ M tali che g_{i}(b) ∈ M, per il Lemma 1.2.4 (secondo punto), poichè in tale ragionamento non aveva importanza il fatto che il particolare campo in questione fosse ℚ; sostituendo M a ℚ si ripete lo stesso discorso. Ora, i g_{i}(b) sono le radici di q(b, y) = ∏_{i}(y − g_{i}(b)) per quasi ogni b ∈ k. Dunque, c’è solo una quantità finita di b ∈ M tali che vi sia una radice g_{i}(b) ∈ M di q(b, y).

In virtù di tale ultimo Lemma, quindi, possiamo supporre, senza perdita di generalità, che non esista alcun γ(x) ∈ \overline{M}(x) tale che p(x, γ(x)) = 0. Sia, ora, M ⊂ \overline{k}, per qualche \overline{k} chiusura algebrica di k. Sia M = N(θ). Allora, θ ∉ N. Sia l/k estensione FG in \overline{k}, contenente θ e i coefficienti di p(x, y)(inteso in due variabili). Sia θ̃ ∈ l coniugato di θ su N ∩ l, diverso da θ. Esso esiste in quanto θ ∉ N ∩ l. Introduciamo, ora, le variabili x_{1}, x_{2}, algebricamente indipendenti su l, e consideriamo π(y) := p(x_{1} + θx_{2}, y) e π̃(y) := p(x_{1} + θ̃x_{2}, y), polinomi in y e a coefficienti in l(x_{1}, x_{2}).

Lemma 1.3.4. π non ha radici nel campo di spezzamento di π̃.

Dimostrazione. Siano t = x_{1} + θx_{2} e t̃= x_{1} + θ̃x_{2}. Allora, l(x_{1}, x_{2}) = l(t, t̃), da cui t è trascendente su l(t̃)^{1}. Abbiamo che π(y) = p(t, y) ∈ l[t, y]. Sia \overline{π}(y) fattore irriducibile di π(y) in \overline{l}(t)[y]. Allora, \overline{π}(y) ha grado > 1 in y in quanto π(y) non ha radici in \overline{l}(t), poichè p(x, y) non ha radici in \overline{M}(x) = \overline{l}(x)^{2}. Sia L̃ campo di spezzamento di π̃(y) = p(t̃, y) su \overline{l}(t̃). Poichè t è trascendente su \overline{l}(t̃) e, quindi, anche su L̃, il polinomio \overline{π}(y) rimane irriducibile su L̃(t), per il Lemma 1.1.1. Ora, L̃(t) contiene tutte le radici di π̃(y) e anche l(x_{1}, x_{2}), per cui contiene un campo di spezzamento S̃ di π̃(y) su l(x_{1}, x_{2}). Cioè, \overline{π} non ha radici in S̃. Dunque, neanche π ha radici in S̃.

Sia, ora, Nl, dove tale composto è in \overline{k}. Allora, Nl è estensione di Galois di k.

Lemma 1.3.5. Se F/l è estensione FG in Nl, allora anche F/N ∩ l è FG.

Dimostrazione. Essendo F ⊂ Nl, dalla Teoria di Galois infinita segue che esiste una estensione N_{0}/N ∩ l FG in N, tale che F ⊂ N_{0}l. Se, infatti, N/k è FG, si ha banalmente N = N_{0}. Assumendo, allora, N/k (e, di conseguenza, essendo l/k FG, anche N/N ∩ l) infinita, è possibile trovare una estensione N_{0}/N∩l di dimensione arbitrariamente grande in N, tale che, siccome N_{0}∩l = N ∩ l, si ha che [N_{0}l : l] = [N_{0} : N ∩ l] e, pertanto, si potrà scegliere tale N_{0} in modo che l’estensione FG F/l, in quanto contenuta, per ipotesi, in Nl, sia anche contenuta in N_{0}l. Ora, poichè N_{0} ∩ l = N ∩ l, dalla Teoria di Galois classica finita, si ha che G(N_{0}l/N_{0} ∩ l) = G(N_{0}l/l) × G(N_{0}l/N_{0}). Dunque, ogni sottogruppo normale di G(N_{0}l/l) è normale anche in G(N_{0}l/N_{0} ∩l).

1Se per assurdo, infatti, esistesse un polinomio a coefficienti in l(t̃) annullato da t, sostituendo t e t̃ con le loro espressioni in funzione di x_{1} e x_{2} si otterrà una espressione razionale su l in due variabili annullata da x_{1} e x_{2}, il che contraddirebbe il loro essere algebricamente indipendenti su l

2k ⊂ M, l ⊂ \overline{k}

Lemma 1.3.6. Dati b_{1}, b_{2} ∈ k, consideriamo i polinomi π_{b_{1}b_{2}}(y) := p(b_{1} + θb_{2}, y) e π̃_{b_{1}b_{2}}(y) := p(b_{1} + θ̃b_{2}, y) in l[y]. Se π_{b_{1}b_{2}} ha una radice in Nl, allora questa è in un campo di spezzamento di π̃_{b_{1}b_{2}} su l.

Dimostrazione. Sia F = l(β_{1}, ..., β_{m}), dove i β_{i} sono le radici di π_{b_{1}b_{2}} in Nl. Allora, F/l è di Galois e, quindi, anche su N ∩ l, per il Lemma precedente. Quindi, ogni σ ∈ G(l/N ∩ l) si estende ad un automorfismo σ_{F} di F. Uno di tali σ è tale che σθ = θ̃. Tale σ manda π_{b_{1}b_{2}} in π̃_{b_{1}b_{2}}, per cui i β̃_{i} = σ_{F} (β_{i}) sono le radici di π̃_{b_{1}b_{2}} in Nl. Dunque, F = l(β̃_{1}, ..., β̃_{m}) è nel campo di spezzamento di π̃_{b_{1}b_{2}} su l.

Per i Lemmi 1.3.1 e 1.3.4, ci sono infiniti b_{1}, b_{2} ∈ k tali che π_{b_{1}b_{2}} non ha radici nel campo di spezzamento di π̃_{b_{1}b_{2}}. Allora, π_{b_{1}b_{2}} non ha radici in Nl per l’ultimo Lemma. Allora, π_{b_{1}b_{2}} non ha radici in M, in quanto M ⊂ Nl. Quindi, esistono infiniti b = b_{1} + θb_{2} ∈ M tali che p(b, y) = π_{b_{1}b_{2}}(y) non ha radici in M.

Osservazione 1.3.7. La dimostrazione appena conclusa mostra che gli elementi b ∈ M cercati possono essere scelti in k(θ). Per il secondo e il terzo punto della Proposizione 1.1.7, allora, si ha che, per ogni h(x, y) ∈ M[x][y], irriducibile su M(x), ci sono infiniti b ∈ k(θ) tali che h(b, y) sia irriducibile in M[y]. Non è, però, comunque detto che k stesso possa contenere tali b.

Corollario 1.3.8. Il campo ℚ_{ab}, ottenuto dall’aggiunzione a ℚ di tutte le radici dell’unità, è Hilbertiano.

Dimostrazione. Siano k = ℚ, N = ℚ_{ab} ∩ ℝ e M = ℚ_{ab}. Allora, M = N(i). Infatti, un generico elemento z = a + ib ∈ ℚ_{ab} è tale che a = 1/2(z + \overline{z}) ∈ N e, di conseguenza, anche b ∈ N. Poichè ℚ è Hilbertiano, sarà sufficiente dimostrare che N/ℚ è di Galois. Ciò equivale, però, a dimostrare che ℚ_{n} ∩ ℝ è di Galois su ℚ, per ogni n ∈ ℕ\{0}. Però, G(ℚ_{n}/ℚ) ≃ (ℤ|_{nℤ})^{∗}, che è gruppo abeliano e, pertanto, ogni suo sottogruppo è normale.

Osserviamo che, per il Teorema di Kronecker-Weber, ℚ_{ab} è il composto di tutte le estensioni finite e abeliane di ℚ. Facciamo, ora, un esempio di un campo non Hilbertiano, per quanto simile a ℚ_{ab}, e di un caso in cui le b ∈ k(θ) che soddisfano quanto enunciato nel Teorema di Weissauer, non sono in k per ragioni analoghe a quelle per cui il primo campo non è Hilbertiano. Sia, quindi, ℚ_{solv} il composto di tutte le estensioni finite e risolubili di ℚ. Ora, il polinomio f(x, y) = y^{2} − x è irriducibile su \overline{ℚ}(x), mentre, per ogni b ∈ ℚ_{solv}, f(b, y) si decompone in due fattori lineari su ℚ_{solv}, essendo, per la sua stessa definizione, ℚ_{solv} chiuso per estrazione di radice n-sima, per ogni n ∈ ℕ\{0}. Dunque, ℚ_{solv} non è Hilbertiano. Poi, siccome, per Kronecker-Weber, ogni radice quadrata di un numero razionale è in ℚ_{ab}, si ha che f(b, y) è riducibile in ℚ_{ab}[y] per ogni b ∈ ℚ. Pertanto, in questo caso, non è possibile scegliere gli elementi b ∈ M descritti nel Teorema di Weissauer in k.

20 CAPITOLO 1. H.I.T.

R.E.T.

In questo capitolo verranno analizzate le estensioni FG della forma L/k(x), dove k è campo algebricamente chiuso; in particolare si supporrà che k = ℂ. Il risultato fondamentale di tale sezione va sotto il nome di Teorema di Esistenza di Riemann (R.E.T.), il quale ci permette di concludere che ogni gruppo finito è realizzabile come gruppo di Galois di una estensione della forma L/ℂ(x). Ciò garantisce, pertanto, l’esistenza di una estensione FG siffatta che realizzi un gruppo finito dato, ma non comporta, comunque, la sua unicità. E’, infatti, ovvio che possono esistere due estensioni FG dello stesso campo, non isomorfe tra loro, aventi medesimo gruppo di Galois. Allo scopo di aggirare tale problema, allora, si sostituisce il concetto di gruppo finito con quello più generale di tipo di ramificazione di un gruppo, al quale possono essere attribuite proprietà che determinano l’unicità a meno di isomorfismo, prima desiderata, delle estensioni in questione.

2.1 Campi di serie di Laurent

Definizione 2.1.1. Sia k campo. Si chiama, allora, Λ l’anello delle serie formali a coefficienti in k, ossia delle successioni, indicizzate su ℤ, della forma {a_{i}}_{i∈ℤ}, tali che, per ciascuna di esse, esiste un N ∈ ℤ per il quale si ha che a_{i} = 0 ∀i < N.

Le operazioni che rendono Λ un anello sono la somma e il prodotto, definiti come segue:

{a_{i}} + {b_{i}} = {a_{i} + b_{i}},

{a_{i}}{b_{j}} = {c_{k}}; c_{n} = ∑_{i+j=n} a_{i}b_{j}.

E’ facile verificare, inoltre, come il neutro additivo di tale struttura sia la successione tale che a_{i} = 0 per ogni i ∈ ℤ, e come il neutro moltiplicativo sia, invece, quella tale che a_{0} = 1 e a_{i} = 0 ∀i ≠ 0. Si può, inoltre, mostrare come Λ sia, in realtà, un campo. Data, infatti, una successione non nulla {a_{i}} ∈ Λ, sia N ∈ ℤ tale che a_{N} ≠ 0 e che a_{i} = 0 per i < N. Definiamo, allora, una successione {b_{j}} come segue: poniamo b_{j} = 0 per j < −N, e b_{−N} = a_{N}^{−1}. Si risolvono, quindi, ricorsivamente le equazioni ∑_{i+j=n} a_{i}b_{j} = 0, per n da 1 in poi, con j da −N + 1 in poi. La successione {b_{j}} così ottenuta, quindi, sarà l’inversa di {a_{i}} in senso moltiplicativo, il che mostra che Λ è un campo. E’, poi, banale, pensare k e k(t) come sottocampi di Λ. Infatti, l’immersione di k in Λ consiste semplicemente nell’identificare ogni a ∈ k con la successione {a_{i}}, dove a_{i} = 0 per ogni i ≠ 0 e a_{0} = a; d’altro canto, chiamando t la successione {a_{i}} tale che a_{i} = 0 per ogni i ≠ 1 e a_{1} = 1, Λ risulta essere proprio il campo delle serie formali in t, cioè Λ = k((t)), in cui è banalmente immerso il campo k(t) delle funzioni razionali in t. E’, infine, facile notare come Λ sia il campo di frazioni di k[[t]], cioè delle serie di potenze in t su k, così come k(t) è campo di frazioni di k[t]. Si consideri l’omomorfismo di valutazione k[[t]] → k, tale che ∑_{i=0}^{+∞} a_{i}t^{i} ↦ a_{0}. Se, allora, F (y) è polinomio in k[[t]][y], chiamiamo F_{0}(y) la sua valutazione in t = 0.

Lemma 2.1.2. Sia F (y) polinomio monico in y a coefficienti in k[[t]]. Se, allora, F_{0}(y) si fattorizza come

F_{0} = g_{0}h_{0},

dove g_{0} e h_{0} sono polinomi monici e primi tra loro, allora anche F si fattorizza come

F = GH,

dove F e G sono polinomi monici a coefficienti in k[[t]] e tali che G_{0} = g e che H_{0} = h.

Dimostrazione. Scriviamo F nella forma F = ∑_{i=0}^{+∞} F_{i}t^{i}, dove F_{i}(y) ∈ k[y]. Sia m il grado di F. Poichè F è monico, allora, m è anche il grado di F_{0}. Sempre per tale ragione, allora, si ha che deg(F_{i}) < m per i > 0. Siano, poi, r = deg(g) e s = deg(h). Assumendo che F = GH, allora, anche H e G si possono esprimere come G = ∑_{i=0}^{+∞} G_{i}t^{i} e H = ∑_{j=0}^{+∞} H_{j}t^{j}. La presunta fattorizzazione di F equivarrà, pertanto, al sistema di equazioni

F_{n} = ∑_{i+j=n} G_{i}H_{j}

per n ∈ ℕ. Per n = 0 abbiamo l’ipotesi che F_{0} = gh, il che soddisfa la prima equazione. Per n > 0 assumiamo, per ipotesi induttiva, che esistano G_{i} e H_{j}, con i + j < n, tali che rispettino le prime n − 1 equazioni in esame. La n−sima sarà, dunque, del tipo

G_{0}H_{n} + G_{n}H_{0} = U_{n}

dove U_{n} = F_{n} − ∑_{i=1}^{n−1} G_{i}H_{n−i}, polinomio in y a coefficienti in k e di grado < m. Ora, poichè G_{0} e H_{0} sono primi tra loro, l’ideale da essi generato sarà tutto k[y]. Vi sono, pertanto, P, Q ∈ k[y] tali che U_{n} = G_{0}P + H_{0}Q. Essendo k[y] un UFD, si ha l’algoritmo di divisione, per cui P = H_{0}S + R, con deg(R) < s. Chiamiamo, allora, H_{n} := R e G_{n} := Q + G_{0}S. L’equazione

G_{0}H_{n} + G_{n}H_{0} = U_{n}

è, allora, rispettata, e deg(H_{n}) < s. Poichè H_{0}G_{n} = U_{n} − G_{0}H_{n}, abbiamo deg(H_{0}G_{n}) < m, per cui deg(G_{n}) < r. Questo conclude.

Corollario 2.1.3. Sia k campo algebricamente chiuso e a caratteristica zero. Sia F polinomio monico in y di grado ≥ 2, a coefficienti in k[[t]]. Supponiamo che il coefficiente in F_{0} di y^{n−1} sia 0, e che F_{0}(y) ≠ y^{n}. Allora, F = GH, con G e H polinomi monici e non costanti in y a coefficienti in k[[t]].

Dimostrazione. Essendo k algebricamente chiuso, il polinomio F_{0} si spezza completamente in fattori lineari in k[y]. Se questi non sono tutti uguali tra loro è possibile raggrupparli in modo che tale decomposizione diventi F_{0} = gh, con (g, h)_{k[y]} = 1. Per il precedente Lemma, allora, si ha subito la conclusione. Assumiamo, pertanto, che F_{0} = (y − a)^{m}. Il coefficiente di y^{n−1} sarà, allora, am. Per ipotesi, però, am = 0 e, poichè k è a caratteristica zero, a = 0, il che contraddice l’ipotesi che F_{0} ≠ y^{n}.

Abbiamo visto in precedenza come venga definito il campo Λ e come possa essere interpretato a livello di serie formali in una indeterminata t. Scelto, ora, un numero e > 1 in ℕ, definiamo il campo Λ_{e} come il campo delle successioni di elementi di k indicizzate su \frac{1}{e}ℤ. E’ banale osservare come, allora, Λ_{e} costituisca una estensione di Λ, identificando ogni {a_{i}}_{i∈ℤ} ∈ Λ con {b_{j}}_{j∈1/eℤ}, tale che b_{j} = 0 se j ∉ ℤ, e a_{i} = b_{i} per ogni i ∈ ℤ. Si ha, inoltre, che Λ_{e} = k((τ)), dove τ è la successione {a_{i/e}}_{i∈ℤ} tale che a_{i/e} = 0 per i ≠ 0 e a_{1/e} = 1. Allora, è facile accertarsi del fatto che τ^{e} = t.

Lemma 2.1.4. Supponiamo che il campo k contenga una radice primitiva e−sima dell’unità, che chiamiamo ζ_{e}. Allora, Λ_{e}/Λ è di Galois, con gruppo di Galois ciclico, isomorfo a ℤ|_{eℤ} e generato da ω : ∑_{i∈ℤ} b_{i}τ^{i} ↦ ∑_{i∈ℤ} b_{i}(ζ_{e}τ)^{i}. Inoltre, Λ_{e} = Λ(τ).

Dimostrazione. E’ facile vedere come ω sia automorfismo di Λ_{e}. Inoltre, si ha che Λ_{e}^{ω} = Λ, in quanto gli elementi di Λ_{e} lasciati fissi da ω sono esattamente quelle successioni {a_{i/e}} tali che a_{j} ≠ 0 solo per j ∈ ℤ, cioè per e|i. Per il Teorema di Artin, quindi, Λ_{e}/Λ è di Galois, con gruppo G(Λ_{e}/Λ) ≃ ℤ|_{eℤ}. Infine, osserviamo come ω mandi τ in ζ_{e}τ e, pertanto, come ω^{μ} : τ ↦ ζ_{e}^{μ}τ. Nessun elemento di < ω >, all’infuori dell’identità, può, allora, fissare τ. Per il Teorema di Corrispondenza di Galois, pertanto, Λ_{e} = Λ(τ).

Lemma 2.1.5. Sia k campo algebricamente chiuso a caratteristica zero. Sia F polinomio monico non costante in y a coefficienti in k[[t]]. Allora, F ha una radice in qualche Λ_{e}.

Dimostrazione. Supponiamo che F sia polinomio il cui grado sia il minimo possibile che vìoli l’asserto del Lemma. Allora, necessariamente, n = deg(F) ≥ 2. Sia F (y) = y^{n} + λ_{n−1}y^{n−1} + ... + λ_{0}, con λ_{ν} ∈ k[[t]]. Allora, il polinomio

F̃(y) = F (y − \frac{λ_{n−1}}{n})

ha il coefficiente di y^{n−1} uguale a 0. A meno di sostituire F con F̃, allora, possiamo supporre che F abbia λ_{n−1} = 0. Se, quindi, F_{0} ≠ y^{n}, per il precedente Corollario avrei che F si fattorizza in un prodotto di due polinomi monici non costanti in k[[t]][y], e ciò contraddice l’ipotesi di minimalità su n. Supponiamo, pertanto, che F_{0}(y) = y^{n}, sicchè ogni λ_{ν} ha termine noto nullo. Ora, poichè, necessariamente, F ≠ y^{n}, deve esserci qualche ν tra 0 e n − 2 tale che λ_{ν} ≠ 0. Scelto tale ν, sia m_{ν} la minima potenza di t che compare con coefficiente non nullo in λ_{ν}. Cioè, λ_{ν} = at^{m_{ν}}+termini di grado superiore. Sia, ora, u il minimo dei numeri m_{ν}/(n − ν), al variare di ν. Allora, u ∈ ℚ^{+} − {0}. Pertanto, u = d/e, con d, e naturali non nulli. Sia, quindi, Λ_{e} = Λ(τ). Consideriamo, a questo punto, il seguente polinomio:

F^{∗}(y) = τ^{−dn}F (τ^{d}y) = y^{n} + ∑_{ν=0}^{n−2} λ_{ν}τ^{d(ν−n)}y^{ν} ∈ Λ_{e}[y].

Il coefficiente di y^{ν}, se è ≠ 0, è serie di Laurent in τ, della forma λ_{ν}τ^{d(ν−n)} = at^{m_{ν}}τ^{d(ν−n)}+termini superiori= aτ^{E_{ν}}+termini superiori, dove

E_{ν} = e(n − ν)(\frac{m_{ν}}{n − ν} − u) ≥ 0

ed E_{ν} = 0 per almeno un ν, cioè per quello che realizza il minimo del rapporto m_{ν}/n−ν. Quindi, ogni coefficiente di F^{∗} è serie di potenze in τ e, per almeno un ν, tale serie di potenze ha termine noto non nullo. Allora, abbiamo nuovamente un polinomio (cioè F^{∗}) che soddisfa le ipotesi del precedente Corollario. Quindi, F^{∗} = GH in k[[τ]]. Allora, H ha grado < n, dunque ammette una radice in qualche Λ_{e}(τ^{1/e′}) per la minimalità di n. Allora, anche F^{∗} ha una radice in Λ_{e}^{1/e′} = Λ_{ee′}. Dalla definizione di F^{∗} segue, allora, che anche F, che ha i coefficienti in Λ ⊂ Λ_{e}, ha una radice in Λ_{ee′}.

Teorema 2.1.6. (Newton) Sia k campo algebricamente chiuso a caratteristica zero. Se Δ è estensione di Λ = k((t)) di grado e finito, allora, si ha che Δ = Λ(δ), con δ^{e} = t.

Dimostrazione. Sia Δ/Λ come nelle ipotesi. Per il Teorema dell’Elemento Primitivo, si ha che Δ = Λ(θ), con F (y) ∈ Λ[y] polinomio minimo che dà tale estensione, cioè tale che F (θ) = 0. In virtù dell’Osservazione 1.1.3 è lecito assumere F a coefficienti in k[[t]]. Per il Lemma precedente, allora, una radice θ̃ di F è in qualche Λ_{e′}. Si immerge, allora, in modo naturale Δ in Λ_{e′}. Poichè G(Λ_{e′}/Λ) ≃ ℤ|_{e′ℤ}, per ogni divisore e|e′ esiste un unico sottogruppo ℤ|_{e′/eℤ} ⊂ ℤ|_{e′ℤ}, cui corrisponde univocamente, per il Teorema Fondamentale della Teoria di Galois, il campo Λ_{e}, estensione di grado e su Λ, che, pertanto, sarà Λ−isomorfo a Δ, in quanto tutte le corrispondenze utilizzate, per la struttura dei gruppi ciclici e la Teoria di Galois classica, sono biunivoche. Dunque, Δ = Λ_{e} = Λ(t^{1/e}).

Il Teorema di Newton è di grandissima importanza. Stabilisce, infatti, che ogni estensione FG di Λ = k((t)) è ciclica e della forma k((t^{1/e})). Per tale motivo, le radici del polinomio minimo che dà l’estensione FG L/k(t), con k algebricamente chiuso, sono pensabili come serie di Laurent della forma ∑_{i=N}^{+∞} a_{i}(t − p)^{i/e}, essendo k(t) = k(t − p), e L ⊆ k((t^{\frac{1}{e}})), ∀p ∈ k. In virtù di tale Teorema abbiamo quindi che, fissato un campo k algebricamente chiuso, data una estensione di grado finito e Δ/Λ, si ha che Δ = Λ(δ), con δ^{e} = t. Ciò definisce univocamente un generatore ω di G(Δ/Λ), tale che ω(δ) = ζ_{e}δ. Questo si chiama generatore distinto di G(Δ/Λ), ed è tale che < ω >= G(Δ/Λ), essendo ζ_{e} radice primitiva e−sima dell’unità. Ora, per ogni δ′ ∈ Δ tale che δ^{′e′} = t per qualche e′ intero ≥ 1 segue, dal fatto che Λ(δ′) è campo intermedio tra Λ e Δ e dal fatto che G(Δ/Λ) ≃ ℤ|_{eℤ}, che e′|e e che posso assumere δ′ = δ^{e/e′}, essendo ogni altro δ′ siffatto differente da δ^{e/e′} solo per moltiplicazione per una radice primitiva dell’unità. Allora, ω(δ′) = ζ_{e}^{e/e′}δ′ = ζ_{e′}δ′. In particolare, se Λ ⊂ Δ′ ⊂ Δ, allora si ha che ω|_{Δ′} è generatore distinto di G(Δ′/Λ).

2.2 Punti di ramificazione

Estendiamo il generico α ∈ Aut(k) a ℙ_{k}^{1} ponendo α(∞) = ∞. Per p ∈ ℙ_{k}^{1}, definiamo un isomorfismo ϑ_{p} : k(x) → k(t), tale che fissa gli elementi di k e ϑ_{p} : x ↦ t + p, per p ≠ ∞, mentre ϑ_{p} : x ↦ 1/t per p = ∞.

Proposizione 2.2.1. Sia L/k(x) estensione FG, con G = G(L/k(x)), e sia p ∈ ℙ_{k}^{1}. Allora,

1. Si può estendere ϑ_{p} : k(x) → k(t) ad un isomorfismo ϑ : L → L_{ϑ}, con L_{ϑ} sottocampo di qualche estensione FG Δ/Λ. Allora, G(Δ/Λ) preserva L_{ϑ}. Definiamo, poi, g_{ϑ} := ϑ^{−1}ωϑ ∈ G(L/k(x)), dove ω è generatore distinto di G(Δ/Λ). Se, allora, Δ̃ è un’altra estensione FG di Λ, contenente il sottocampo Lϑ̃ := ϑ̃(L), dove ϑ̃ è un’altra estensione a L di ϑ_{p}, si ha che g_{ϑ} e gϑ̃ sono nella medesima classe coniugio C_{p} in G. Essa, ovviamente, dipende solo da L e da p.

2. Si chiama e_{L,p} = e indice di ramificazione di L in p, ed è l’ordine comune degli elementi di C_{p}, cioè l’ordine di G(Δ/Λ). Se, allora, γ è elemento primitivo che genera l’estensione L/k(x), allora γ soddisfa un polinomio irriducibile F (y) ∈ k(x)[y]. Sia ϑ_{p}F ∈ k(t)[y] il polinomio che si ottiene applicando ai coefficienti di F (y) l’isomorfismo ϑ_{p}. Allora, ϑ_{p}F si fattorizza in Λ[y] in polinomi H aventi tutti lo stesso grado e_{L,p}.

3. Essendo F monico, il suo discriminante D(x) ≠ 0 è in k[x]. Per l’Osservazione 1.1.3 è, infatti, possibile scegliere F a coefficienti in k[x]. Allora, se p ∈ k è tale che D(p) ≠ 0, si ha che e_{L,p} = 1.

4. Se L′/k(x) è estensione FG tale che L′ ⊂ L, la mappa di restrizione da G(L/k(x)) in G(L′/k(x)) manda le classi coniugio C_{p} nelle classi coniugio C′_{p} di G(L′/k(x)) associate a p.

Dimostrazione. 1) Il campo Δ = Λ[y]|_{(H)} è estensione finita di Λ, dove H è fattore irriducibile di ϑ_{p}F in Λ[y]. Allora, sia γ′ radice di H in qualche chiusura algebrica di Λ l’elemento primitivo, a meno di Λ−isomorfismo, dell’estensione Δ/Λ. Segue da ciò che ϑ_{p} si estende ad un isomorfismo ϑ : L = k(γ) → L_{ϑ} := k(γ′) che associa γ ↦ γ′, in quanto ϑ_{p}F resta polinomio irriducibile su k(t). Ora, essendo L/k(x) di Galois e, siccome ϑ è isomorfismo tra L e L_{ϑ} che estende ϑ_{p} : k(x) → k(t), segue che L_{ϑ}/k(t) è di Galois, di grado |G|, generata dalle radici di ϑ_{p}F su k(t). Poichè queste sono permutate tra loro dall’azione di G(Δ/Λ) sull’insieme da esse costituito, è chiaro che ω, il generatore distinto di G(Δ/Λ), preserva L_{ϑ}. Dal contenimento Δ ⊃ L_{ϑ} e dal fatto che L_{ϑ}/k(t) è di Galois segue, infatti, che anche Δ = Λ(γ′) è FG, di grado deg(H). Se, quindi, Δ̃ è un’altra estensione FG di Λ, che contiene Lϑ̃, tale che vi sia un isomorfismo ϑ̃: L → Lϑ̃ che estende ϑ_{p}, è chiaro che, allora, L_{ϑ} e Lϑ̃ sono k(t)−isomorfe e che Δ̃ = Λ[y]|_{(H′)}, per H′ fattore irriducibile di ϑ_{p}F in Λ[y]. Poichè Δ e Δ̃ sono estensioni FG di Λ ottenute aggiungendo a Λ una radice dello stesso polinomio ϑ_{p}F, è lecito, a meno di Λ−isomorfismo, supporre che siano contenute in una medesima chiusura algebrica di Λ. Per tale ragione, quindi, L_{ϑ} e Lϑ̃ sono uguali, in quanto FG di k(t) ottenute aggiungendo a k(t) una radice di ϑ_{p}F. Sia, ora, h := ϑ^{−1}ϑ̃ ∈ G. Considerando Δ_{0} := ΔΔ̃, il generatore distinto ω_{0} di G(Δ_{0}/Λ) è, ristretto a Δ, proprio ω, per quanto in precedenza visto, e lo stesso vale per Δ̃. Allora, gϑ̃ = ϑ̃^{−1}ω_{0}ϑ̃ = h^{−1}ϑ^{−1}ω_{0}ϑh = h^{−1}g_{ϑ}h.

2) Tutti i fattori irriducibili H di ϑ_{p}F in Λ[y] hanno grado pari a [Δ : Λ], poichè, essendo L_{ϑ} = k(t)(γ′)/k(t) di Galois, tale che Δ ⊃ k(t)(γ′), Δ contiene tutte le radici di ϑ_{p}F, in quanto ogni Λ−isomorfismo è, a maggior ragione, anche k(t)−isomorfismo. Ognuna di tali radici avrà, pertanto, lo stesso grado su Λ. Tutti i fattori irriducibili H di ϑ_{p}F su Λ dovranno, allora, avere il medesimo grado [Δ : Λ] = |G(Δ/Λ)| = | < ω > | = e_{L,p}.

3) Naturalmente, F (x, y) è separabile in quanto a coefficienti in un campo k(x) a caratteristica 0 e irriducibile su di esso. Dunque, ha discriminante D(x) ≠ 0. Se p ∈ k è tale che D(p) ≠ 0, anche F (p, y) sarà separabile, poichè char(k) = 0. Si decomporrà, allora, essendo k algebricamente chiuso, in fattori lineari distinti. Poichè, ora, ϑ_{p}F (y) = F (t + p, y), si ha che (ϑ_{p}F)_{0} = F (p, y). Per il Lemma 2.1.2, allora, anche ϑ_{p}F si fattorizza in termini lineari su k(t). Dal punto precedente, allora, segue subito che e_{L,p} = 1.

4) Sia ϑ : L → Δ l’omomorfismo non nullo che estende ϑ_{p}. Allora, ϑ′ := ϑ|_{L′} è isomorfismo tra L′ e ϑ′(L′) ⊂ Δ che estende, a sua volta, ϑ_{p}. Allora, g_{ϑ′} = ϑ^{′−1}ωϑ′ = ϑ^{−1}ωϑ|_{L′} = ϑ^{−1}ω|_{Δ′}ϑ|_{L′} = (g_{ϑ})|_{L′}, dove Δ′ := Λ[y]/(H′), per H′ fattore irriducibile di F′ polinomio minimo di L′/k(x). Dunque, ω′ := ω|_{Δ′} ha ordine che divide l’ordine di ω, cioè, la mappa di restrizione a L′ manda g_{ϑ} in g_{ϑ′}, con e_{L′,p}|e_{L,p}.

Definizione 2.2.2. Sia L/k(x) estensione FG, e sia p ∈ ℙ_{k}^{1}. Si dice che p è punto di ramificazione di L/k(x) se e_{L,p} > 1.

Segue dalla precedente Proposizione che il numero di punti di ramificazione di tale tipo di estensioni è finito.

Lemma 2.2.3. Siano L/k(x) e L′/k(x) due estensioni FG di grado n. Per ogni p ∈ ℙ_{k}^{1}, siano, rispettivamente, C_{p} e C′_{p} le classi coniugio in G(L/k(x)) e in G(L′/k(x)) date da p. Sia α ∈ Aut(k), e sia m ∈ ℤ tale che α^{−1}(ζ_{n}) = ζ_{n}^{m}. Se α si estende ad un isomorfismo λ : L → L′ tale che λ(x) = x, sia

λ^{∗} : G(L/k(x)) → G(L′/k(x))

l’isomorfismo indotto sui gruppi per coniugio, cioè tale che λ^{∗}(g) = λgλ^{−1}. Allora,

C′_{α(p)} = λ^{∗}(C_{p})^{m}.

Dimostrazione. Sia p ∈ ℙ_{k}^{1}, che dà e = e_{L,p} > 1. Allora, e|n, da cui α^{−1}(ζ_{e}) = ζ_{e}^{m}. Inoltre, α si estende ad un automorfismo α̃ di Λ_{e}, tale che

α̃ : ∑_{i=N}^{+∞} b_{i}τ^{i} ↦ ∑_{i=N}^{+∞} α(b_{i})τ^{i}.

Essendo Λ = k((t)) sottocampo di Λ_{e} = k((τ)), sia ω generatore distinto di G(Λ_{e}/Λ), tale che ω(τ) = ζ_{e}τ. Allora,

α̃^{−1}ωα̃(τ) = α̃^{−1}(ω(τ)) = α^{−1}(ζ_{e})τ = ζ_{e}^{m}τ = ω^{m}(τ)

e, quindi,

α̃^{−1}ωα̃ = ω^{m}.

Sia, ora, ϑ isomorfismo tra L e un sottocampo di Λ_{e} che estende ϑ_{p} : k(x) → k(t), come descritto nella Proposizione precedente. Allora, definendo

ϑ′ := α̃ϑλ^{−1},

questo è un isomorfismo, che estende ϑ_{α(p)}, tra L′ e un sottocampo di Λ_{e}. Infatti, è facile osservare come ϑ′ fissi gli elementi di k. Inoltre,

ϑ′(x) = α̃(ϑ(x)) = α̃(t + p) = t + α(p)

per p ≠ ∞ e, per p = ∞,

ϑ′(x) = α̃(ϑ(x)) = α̃(1/t) = 1/t.

Chiamando, allora, f il polinomio minimo di L/k(x), si avrà che

ϑ_{p}f = f(t + p) = ∏_{i=1}^{r} H_{i},

dove e_{L,p}r = n e H_{i} sono i fattori irriducibili di ϑ_{p}f in Λ[y], di grado e. Estendendo, pertanto, α a Λ in modo che α(t) = t, si avrà che, essendo αf(x) = g(x) polinomio minimo di L′/k(x),

αϑ_{p}f = g(t + α(p)) = ϑ_{α(p)}g = ∏_{i=1}^{r} αH_{i}

ed, essendo e_{L′,α(p)} = deg(αH_{i}), dove gli αH_{i} sono irriducibili in Λ[y] per l’unicità della fattorizzazione nel PID Λ[y], segue che e_{L,p} = deg(H_{i}) = deg(αH_{i}) = e_{L′,α(p)}. In conclusione,

g_{ϑ′} = ϑ^{′−1}ωϑ′ = λϑ^{−1}α̃^{−1}ωα̃ϑλ^{−1} = λϑ^{−1}ω^{m}ϑλ^{−1} = λg_{ϑ}^{m}λ^{−1} = λ^{∗}(g_{ϑ}^{m}).

Osservazione 2.2.4. Ogni g ∈ k[[t]] con termine noto a_{0} non nullo, è potenza n−sima in k[[t]], per ogni n ∈ ℕ.

La dimostrazione di tale fatto è molto semplice e si basa interamente sul Lemma 2.1.2. Infatti, il polinomio F (y) = y^{n} − g ∈ Λ[y] è tale che, per le ipotesi fatte, F_{0}(y) = y^{n} − a_{0} ≠ y^{n}, polinomio separabile in quanto char(k) = 0. Allora, poichè k è algebricamente chiuso, F_{0} si decompone in fattori lineari distinti in k[y] e, come tali, primi tra loro. Essendo rispettate le ipotesi del Lemma 2.1.2, F (y) ha una radice in k[[t]]. Tale Osservazione ha una interessante applicazione al caso delle estensioni del tipo L = k(x)(f^{1/n})/k(x), con k algebricamente chiuso e f(x) ∈ k(x). Naturalmente, è chiaro che il grado di tale estensione sarà un divisore di n. Si studieranno, allora, le condizioni affinchè sia esattamente n, scoprendo come è possibile generare il gruppo G(L/k(x)) mediante elementi delle classi coniugio legate ai punti di ramificazione di tale estensione. Come prima cosa, osserviamo che, siccome k è algebricamente chiuso,

f(x) = ∏_{i=1}^{r}(x − p_{i})^{m_{i}},

dove i p_{i} ∈ k sono distinti tra loro e si assume di chiamare m = deg(f). Pertanto, per ogni p ∈ k, si ha che, con le notazioni precedentemente adottate,

ϑ_{p}f(t) = ∏_{i=1}^{r}(t + p − p_{i})^{m_{i}}.

Per la precedente Osservazione, allora, ϑ_{p}f è una potenza in k[[t]] se p ≠ p_{i} ∀i da 1 a r. Ora, per p = p_{i}, sia e_{i} := e_{L,p_{i}}. Allora,

ϑ_{p_{i}}f = t^{m_{i}} ∏_{j≠i}(t + p_{i} − p_{j})^{m_{j}}

e, per la precedente Osservazione, ciò significa che

Λ_{e_{i}} = Λ((ϑ_{p_{i}}f)^{1/n}) = Λ(t^{m_{i}/n}).

Chiamando, allora, M_{i} := (n, m_{i}), per cui n = M_{i}d_{i}, m_{i} = M_{i}d′_{i}, si avrà che

Λ_{e_{i}} = Λ(t^{d′_{i}/d_{i}}) = Λ(t^{1/d_{i}}),

essendo (d′_{i}, d_{i}) = 1. Dunque, e_{i} = \frac{n}{M_{i}}. Tutti i p_{i} sono, allora, punti di ramificazione di L/k(x), a patto che n ∤ m_{i}. Resta da esaminare il caso p = ∞, per cui

Λ_{e_{∞}} = Λ(f(1/t)^{1/n}) = Λ(t^{−m/n}(a_{m} + ... + a_{0}t^{m})^{1/n}) = Λ(t^{−m/n}),

dove f(x) = a_{m}x^{m} + ... + a_{0}, con a_{m} ≠ 0. Allora, e_{∞} = \frac{n}{M}, con M = (n, m). Dunque, ∞ è punto di ramificazione dell’estensione in esame se e solo se n ∤ m. Ora, è abbastanza intuibile, dalla Teoria di Galois classica, che, essendo k algebricamente chiuso,

G(L/k(x)) ⊂< ζ_{n} >,

mediante l’immersione

G(L/k(x)) ∋ g ↦ \frac{g(f^{1/n})}{f^{1/n}} ∈< ζ_{n} > .

Sia, allora, p_{j} una radice di f(x) in k. Per calcolare la classe coniugio C_{p_{j}} ad essa legata, consideriamo ω_{j} generatore distinto di G(Λ_{e_{j}}/Λ) e ϑ_{j} estensione di ϑ_{p_{j}} a L. Allora, a meno dell’immersione appena descritta di G(L/k(x)) in < ζ_{n} >,

ϑ_{j}^{−1}ω_{j}ϑ_{j}(f(x)^{1/n}) = ϑ_{j}^{−1}ω_{j}(f(t + p_{j})^{1/n}) = ϑ_{j}^{−1}ω_{j}(t^{m_{j}/n}).

Ora,

ω_{j} : t^{1/e_{j}} ↦ ζ_{e_{j}}t^{1/e_{j}}.

Inoltre, t^{m_{j}/n} = t^{d′_{j}/d_{j}} = t^{d′_{j}/e_{j}}, essendo 1/e_{j} = M_{j}/n = 1/d_{j}. Quindi,

ω_{j}(t^{m_{j}/n}) = (ζ_{e_{j}}t^{1/e_{j}})^{d′_{j}} = ζ_{n}^{M_{j}d′_{j}}t^{d′_{j}/e_{j}} = ζ_{n}^{m_{j}}t^{m_{j}/n}.

In conclusione, quindi,

ϑ_{j}^{−1}ω_{j}ϑ_{j}(f(x)^{1/n}) = ϑ_{j}^{−1}(ζ_{n}^{m_{j}}t^{m_{j}/n}) = ζ_{n}^{m_{j}}f(x)^{1/n}.

Pertanto, si conclude che C_{p_{j}} =< ζ_{n}^{m_{j}} >. Allo stesso modo, poi, si vede che C_{∞} =< ζ_{n}^{−m} >.

Quanto ottenuto illustra un particolare caso in cui si verifica quanto verrà enunciato nel Teorema di Esistenza di Riemann, nella sua formulazione algebrica, in quanto il prodotto dei rappresentanti appena costruiti delle classi coniugio legate ai punti di ramificazione della estensione ciclica in questione è 1 e tali elementi generano G(L/k(x)). Infatti, sia d := (m_{1}, ..., m_{r}, m, n). Se d = 1 non c’è nulla da dimostrare. Inoltre, in tal caso, ciò significa esattamente che [L : k(x)] = n, in quanto n non ha fattori in comune con nessuno degli esponenti con cui compaiono i binomi in cui f si spezza in k[x]. In caso contrario, [L : k(x)] = n/d e, poichè [L : k(x)] = |G(L/k(x))|, segue ancora, con facilità, che gli elementi in questione generano G(L/k(x)). Come ulteriore osservazione, analizziamo il caso n = 2, ossia le estensioni quadratiche. In tal caso L = k(x)(\sqrt{f}), per f(x) ∈ k[x] della forma

f(x) = ∏_{j=1}^{m}(x − p_{j}),

dove i p_{j} ∈ k sono distinti tra loro. Come prima, risulta facile capire che tutte le radici di f(x) in k sono punti di ramificazione dell’estensione. Ora, siccome e_{∞} = \frac{2}{(2,m)}, si avrà che e_{∞} = 1 se e solo se m è pari. Pertanto, ∞ è punto di ramificazione dell’etensione se e solo se m è dispari.

2.3 Rigidità

Supponiamo, da qui in avanti, k sottocampo algebricamente chiuso di ℂ. Finora abbiamo costruito i seguenti invarianti legati ad una estensione FG del tipo L/k(x): il suo gruppo di Galois G(L/k(x)), l’insieme finito P ⊂ ℙ_{k}^{1} dei suoi punti di ramificazione e le classi coniugio C_{p} ad essi associate. E’ opportuno tenere subito presente che la corrispondenza tra i punti di ramificazione e le classi coniugio non è biunivoca; a diversi punti di ramificazione può essere, infatti, associata la stessa classe coniugio. Ciò suggerisce, allora, di introdurre un’astrazione che riassuma in sè tali invarianti in modo inequivocabile.

Definizione 2.3.1. Si consideri la tripla (G, P, C), dove G è gruppo finito, P insieme finito in ℙ_{ℂ}^{1} =: ℙ^{1}, e C := {C_{p}}_{p∈P} è una famiglia di classi coniugio in G indicizzate sugli elementi di P. Si dice che due triple (G, P, C) e (G′, P′, C′) siffatte sono equivalenti se P = P′ ed esiste un isomorfismo G → G′ tale che manda C_{p} in C′_{p} per ogni p ∈ P. Chiaramente, ciò definisce una relazione di equivalenza tra le triple. Denotiamo, pertanto, una classe di equivalenza rappresentata da (G, P, C) come τ = [G, P, C]. Chiamiamo tale τ un tipo di ramificazione o, più semplicemente, un tipo.

E’ chiaro, a questo punto cosa si intenda con tipo di ramificazione di una estensione FG della forma L/k(x).

Teorema 2.3.2. (di esistenza di Riemann-R.E.T.-forma algebrica) Sia τ = [G, P, {C_{p}}_{p∈P}] un tipo di ramificazione. Se r := |P |, siano p_{1}, ..., p_{r} gli elementi di P. Allora, esiste una estensione FG di ℂ(x) di tipo τ se e solo se esistono g_{1}, ..., g_{r} generatori di G tali che g_{1}...g_{r} = 1 e g_{i} ∈ C_{p_{i}} per ogni i da 1 a r.

Corollario 2.3.3. Ogni gruppo finito si realizza come gruppo di Galois su ℂ(x).

E’, infatti, banale associare ad un gruppo finito G un tipo τ che soddisfi quanto richiesto nel R.E.T. scegliendo un sistema {g_{1}, ..., g_{r}} di generatori di G, considerando la classe coniugio di ciascuno di essi, indicizzando tali classi su r elementi di ℙ^{1} e, a questo punto, aggiungendo l’elemento g := g_{r}^{−1}...g_{1}^{−1} a tale sistema di generatori (mantenendolo tale, in assenza di presupposti di minimalità). Si faccia attenzione al fatto che non è stabilito un ordine preciso in cui elencare le classi coniugio in questione. Per la costruzione di τ appena fatta si potrebbe, infatti, essere portati a osservare che, sebbene g_{1}...g_{r}g = 1, ciò non è necessariamente vero per g_{2}g_{1}...g. Tuttavia, ad un diverso elenco delle classi coniugio, in questo caso C_{p_{2}}, C_{p_{1}}, ..., C_{p_{r}}, corrisponderà una diversa scelta di generatori, cioè {g_{2}, g_{2}^{−1}g_{1}g_{2}, ..., g_{r}}, tali che l’(r + 1)−simo generatore g resti lo stesso di prima, senza che le classi siano cambiate. In questo senso, è dunque priva di ambiguità l’argomentazione appena svolta, nonchè la condizione necessaria e sufficiente, descritta nella formulazione del R.E.T., affichè G sia realizzabile su ℂ(x). Rivolgiamo, a questo punto, l’attenzione ad un fatto molto importante, per quanto banale: esiste una ambiguità, nella formulazione generica del Problema Inverso, in quanto ad un gruppo finito realizzabile su di un campo k sono, in realtà, associabili diverse estensioni l/k FG, non isomorfe tra loro, tali che G(l/k) ≃ G. Un esempio molto semplice è offerto dal caso ℚ(\sqrt{2})/ℚ ≁ ℚ(\sqrt{3})/ℚ. Allo scopo di evitare tale ambiguità nasce il concetto di rigidità:

Definizione 2.3.4. Sia {C_{1}, ..., C_{r}} un sistema di classi coniugio in un gruppo G. Si dice che è rigido (rispettivamente, debolmente rigido) in G se valgono le due seguenti proprietà:

1. Esistono r generatori g_{1}, ..., g_{r} di G tali che g_{1}...g_{r} = 1 e g_{i} ∈ C_{i} per ogni i = 1, ..., r.

2. Se g′_{1}, ..., g′_{r} è un altro sistema di generatori di G con le stesse proprietà, allora esiste unico un elemento g ∈ G, (rispettivamente, un unico automorfismo γ ∈ Aut(G)) tale che gg_{i}g^{−1} = g′_{i} (rispettivamente, tale che γ(g_{i}) = g′_{i}) per i = 1, ..., r.

Osserviamo che la richiesta di unicità fatta nella seconda condizione, relativamente al caso rigido, equivale a richiedere che Z(G) = {0}. Naturalmente, l’unicità dell’automorfismo γ, sia che sia interno, sia che non lo sia, è garantita dal suo essere definito su un sistema di generatori di G, ma, nel caso rigido, non è univocamente legato, a priori, ad un solo g ∈ G tale che gg_{i}g^{−1} = g′_{i}. E’ anche interessante osservare che, nel caso di un sistema rigido, ogni automorfismo di G che preservi ogni classe coniugio di tale sistema è necessariamente interno.

Definizione 2.3.5. Un tipo τ = [G, P, C] è detto rigido (rispettivamente, debolmente rigido) se gli elementi di P, chiamati p_{1}, ..., p_{r}, sono tali che le classi C_{i} = C_{p_{i}} formano un sistema rigido (rispettivamente, debolmente rigido).

Ripetendo gli stessi ragionamenti di prima, riguardo all’indipendenza dall’ordine delle C_{i} delle condizioni del R.E.T., si ha che, se (C_{1}, ..., C_{r}) è (debolmente) rigido, rimane tale sottoposto all’azione di qualsiasi permutazione agente sugli elementi C_{i} di tale sistema. Cioè, la proprietà di (debole) rigidità del sistema è indipendente dalla scelta dell’ordine dei p_{i} ∈ P.

Teorema 2.3.6. Per ogni tipo debolmente rigido esiste un’unica estensione FG di ℂ(x) di tale tipo, a meno di ℂ(x)−isomorfismo.

Dimostrazione. Come detto nel Corollario 2.3.3, l’esistenza è diretta conseguenza del R.E.T. Rimane, pertanto, da dimostrare l’unicità dell’estensione, a meno di ℂ(x)−isomorfismo, la quale è, come anticipato in precedenza, proprio l’obiettivo in vista del quale nasce il concetto di tipo debolmente rigido. Siano, quindi, L_{1}/ℂ(x) e L_{2}/ℂ(x) estensioni del medesimo tipo τ debolmente rigido. E’ lecito assumere, dalla Teoria di Galois infinita, L_{1} e L_{2} contenute in una comune estensione FG L/ℂ(x). Siano G = G(L/ℂ(x)), G_{1} = G(L_{1}/ℂ(x)), G_{2} = G(L_{2}/ℂ(x)). Siano, inoltre, ρ_{j} : G → G_{j}, per j = 1, 2, gli omomorfismi indotti dalle restrizioni. Dato p ∈ ℙ^{1}, siano C_{p} e C_{p}^{(j)} le classi coniugio associate a p, rispettivamente, nei tre gruppi di Galois in questione. Per il quarto punto della Proposizione 2.2.1, si ha che ρ_{j}(C_{p}) = C_{p}^{(j)}. Chiamiamo p_{1}, ..., p_{r} i punti di ramificazione di L/ℂ(x). Dal R.E.T. segue che vi sono i generatori g_{1}, ..., g_{r} di G tali che g_{1}...g_{r} = 1 e g_{i} ∈ C_{p_{i}} per i = 1, .., r. Allora, ρ_{j}(g_{1}), ..., ρ_{j}(g_{r}) sono generatori di G_{j} con analoghe proprietà. Questo dalla suriettività dell’omomorfismo di restrizione ρ_{j}. Poichè L_{1} e L_{2} sono dello stesso tipo, esiste un isomorfismo ϵ : G_{2} → G_{1} tale che ϵ(C_{p}^{(2)}) = C_{p}^{(1)}, per ogni p ∈ P_{1} = P_{2}. Allora, il sistema ϵ(ρ_{2}(g_{1})), ..., ϵ(ρ_{2}(g_{r})) soddisfa le stesse proprietà di ρ_{1}(g_{1}), ..., ρ_{1}(g_{r}). Infine, per la rigidità debole di τ, esiste un automorfismo δ ∈ Aut(G_{1}) tale che δ(ϵ(ρ_{2}(g_{i}))) = ρ_{1}(g_{i}) per ogni i = 1, ..., r. Allora, γ := δϵ : G_{2} → G_{1} è isomorfismo tale che γ(ρ_{2}(g_{i})) = ρ_{1}(g_{i}), per i = 1, ..., r. Esso forma, quindi, un triangolo commutativo insieme ai due omomorfismi di restrizione ρ_{j}, cioè, ρ_{1} = γ ∘ ρ_{2}. Allora, Ker(ρ_{1}) = Ker(ρ_{2}). A questo punto, dal Teorema Fondamentale della Teoria di Galois, segue che L_{1} = L_{2}.

Osserviamo che ogni estensione FG abeliana ha tipo di ramificazione debolmente rigido e, pertanto, per quanto appena detto, se è estensione di ℂ(x), è univocamente determinata, a meno di ℂ(x)−isomorfismo. Infatti, se G è il gruppo di Galois di tale estensione e g_{1}, ..., g_{r} e g′_{1}, ..., g′_{r} sono due sistemi di suoi generatori con uguale cardinalità, tali che per ogni i = 1, ..., r g_{i}, g′_{i} ∈ C_{i} e g_{1}...g_{r} = g′_{1}...g′_{r} = 1, essendo G abeliano è chiaro che, per ogni i = 1, ..., r, |C_{i}| = 1 e, pertanto, g_{i} = g′_{i} per ogni i = 1, ..., r. Un’ultima, importante, osservazione da fare è che il R.E.T. ammette estensione anche al caso L/k(x), con k campo algebricamente chiuso qualsiasi. Pertanto, in realtà, ogni estensione FG abeliana di k(x), con k siffatto, è univocamente determinata dal suo tipo di ramificazione, in quanto l’ultimo Teorema ammette estensione anche a tale casistica più generale.

Discesa (tecnica della rigidità)

Il problema della discesa consiste, data una estensione FG della forma L/k(x), ed un κ sottocampo qualsiasi di k, nel cercare una estensione L_{κ}/κ(x), avente stesso gruppo di Galois di L/k(x). Naturalmente, ciò che si cerca di fare è cercare di sfruttare il risultato del R.E.T. per fare in qualche modo “scendere” la realizzazione di G = G(L/k(x)), con k = ℂ, al caso di un gruppo di Galois di una estensione L_{κ}/κ(x), con κ = ℚ, allo scopo di avvicinarsi quanto più è possibile alla soluzione in senso positivo del Problema Inverso nel caso razionale. Un caso di grande importanza che sarà studiato in questo capitolo è la situazione in cui k = \overline{κ} e L/k(x) abbia tipo rigido. Come si vedrà, tale combinazione di ipotesi porta alla discesa da k a κ.

3.1 Princìpi generali di discesa

Supponiamo, da qui in avanti, k sottocampo algebricamente chiuso di ℂ, e ζ_{e} = exp(2π\sqrt{−1}/e). Sia, pertanto, L/k(x) estensione FG di grado n, con gruppo di Galois G, e κ sottocampo arbitrario di k.

Definizione 3.1.1. Si dice che una estensione L/k(x) è definita su κ se esiste un sottocampo L_{κ} di L, di Galois su κ(x) e regolare su κ, tale che [L_{κ} : κ(x)] = n = [L : k(x)].

Lemma 3.1.2. Supponiamo L definita su κ. Valgono, allora, le seguenti conclusioni:

1. Sia θ elemento primitivo di L_{κ}/κ(x). Allora, L = k(x)(θ). Inoltre, L è definita su ogni campo intermedio κ′ tra κ e k, e possiamo assumere L_{κ′} = κ′(x)(θ).

2. Il gruppo G = G(L/k(x)) è isomorfo a G(L_{κ}/κ(x)) mediante la restrizione σ ↦ σ|_{L_{κ}} di L a L_{κ}. Dunque, G è regolarmente realizzato su κ.

3. I punti di ramificazione di L, con l’eccezione di ∞, sono algebrici su κ.

4. Se Z(G) = {0} o κ è algebricamente chiuso, si ha che L_{κ} è unico, cioè c’è un solo L_{κ} ⊂ L di Galois su κ(x), di grado n e regolare su κ.

5. Se κ è algebricamente chiuso, allora le estensioni L/k(x) e L_{κ}/κ(x) sono dello stesso tipo.

Dimostrazione. 1) Il polinomio minimo di L_{κ}/κ(x) ammette radice θ. Sia esso F (y) ∈ κ(x)[y]. Per il Lemma 1.1.1, allora, F rimane irriducibile su κ′(x), per ogni κ′ estensione di κ su cui x e y restino algebricamente indipendenti, in quanto ciò equivale proprio alla richiesta di regolarità di L_{κ} su κ. Dunque, il campo L_{κ′} = κ′(x)(θ) ha grado n su κ′(x), ed è regolare su κ′, in quanto F resta irriducibile anche su \overline{κ′}(x), il che equivale, sempre per il Lemma 1.1.1, alla regolarità dell’estensione L_{κ′}/κ′. Inoltre, L_{κ′}/κ′(x) è di Galois, in quanto contiene tutte le radici di F, essendo queste già in L_{κ}. Dunque, L è definita su κ′. Infine, k(x)(θ) è sottocampo di L di grado n su k(x) (basta porre κ′ = k) e, quindi, L = k(x)(θ).

2) Il gruppo G permuta le radici di F in L. Queste ultime generano L_{κ} su κ(x) e, dunque, G preserva L_{κ}. La restrizione induce, quindi, un omomorfismo G → G(L_{κ}/κ(x)). Tale omomorfismo è iniettivo per 1). Avendo i due gruppi uguale ordine n, si tratta, allora, di un isomorfismo.

3) E’ lecito, senza perdita di generalità, assumere F monico e irriducibile a coefficienti in κ[x]. Il suo discriminante D(x) è, allora, elemento non nullo in κ[x]. Poichè i punti di ramificazione di L/k(x) ne sono radici, con l’eccezione di ∞, ciò dimostra il terzo punto.

4) Supponiamo L̃_{κ} un altro sottocampo di L con le stesse proprietà di L_{κ}. Sia, allora, K := L_{κ}L̃_{κ}, sottocampo di L. Allora, K/κ(x) è di Galois. Sia κ′ la chiusura algebrica di κ in K. Allora, κ′, e così κ′(x), sono preservati dall’azione di G(K/κ(x)), a meno di estendere gli elementi di quest’ultimo a κ−isomorfismi di K. Quindi, κ′(x)/κ(x) è di Galois. Se θ′ è elemento primitivo di K/κ′(x), il polinomio minimo di θ′ su κ′(x) rimane irriducibile su k(x), in virtù del Lemma 1.1.1, in quanto, per costruzione, K/κ′ è regolare. Essendo K ⊂ L, si ha che il polinomio in questione ha grado ≤ n = [L : k(x)]. Cioè, [K : κ′(x)] ≤ n. D’altro canto, però, K contiene θ in quanto contiene L_{κ}. Dunque, [K : κ′(x)] ≥ [κ′(x)(θ) : κ′(x)] = n, per 1). Pertanto, K = κ′(x)(θ) e, quindi, se κ è algebricamente chiuso, si ha che K = κ(x)(θ) = L_{κ}, da cui L_{κ} = L̃_{κ}. Assumiamo, ora, che Z(G) = {0}. Il campo K = κ′(x)(θ) è generato da κ′(x) e da L_{κ}. Inoltre, per il Lemma 1.1.1, sappiamo che ogni campo intermedio tra κ(x) e κ′(x) è della forma κ′′(x), per κ ⊂ κ′′ ⊂ κ′. Dunque, essendo κ′ algebrico su κ e, poichè L_{κ}/κ è regolare, si ha che κ′(x) ∩ L_{κ} = κ(x). Lo stesso vale per L̃_{κ} al posto di L_{κ}. Dalla Teoria di Galois classica, allora, si ha che

G(K/κ(x)) = G(K/L_{κ}) × G(K/κ′(x)) = G(K/L̃_{κ}) × G(K/κ′(x))

per cui, chiamando G′ := G(K/κ′(x)), abbiamo che, per 1) e 2), G′ ≃ G. Dunque, Z(G′) = {0}. Segue, allora, che G(K/L_{κ}) = G(K/L̃_{κ}), cioè il centralizzatore di G′ in G(K/κ(x)). Dal Teorema Fondamentale della Teoria di Galois segue, allora, che L_{κ} = L̃_{κ}.

5) Assumiamo nuovamente che κ sia algebricamente chiuso. Sia θ come nel punto 1). Sia p ∈ κ ∪ {∞}, e sia ϑ : L → Δ un’immersione che estende ϑ_{p} : k(x) → k(t), dove Δ è estensione FG di Λ = k((t)). Sia θ′ := ϑ(θ). Allora, ϑ(κ(x)) = κ(t) e, quindi, ϑ(L_{κ}) = κ(t)(θ′). Quindi, la restrizione di ϑ induce una immersione ϑ̃ : L_{κ} → Δ_{κ} := κ((t))(θ′). Chiaramente, la restrizione del generatore distinto ω di G(Δ/Λ) a Δ_{κ} è il generatore distinto ω|_{Δ_{κ}} di G(Δ_{κ}/κ((t))). Segue, allora, che gθ̃ ∈ G̃ := G(L_{κ}/κ(x)) è la restrizione di g_{θ} ∈ G. Pertanto, l’isomorfismo di restrizione G → G̃ manda la classe C_{p} in C̃_{p}, per ogni p ∈ κ ∪ {∞}. Poichè, infatti, si ha una discesa da L/k(x) in L_{κ}/κ(x), allo stesso modo, conservandosi i polinomi minimi, si scenderà da Δ/Λ a Δ_{κ}/κ((t)). Poichè i punti di ramificazione di L/k(x) sono in κ ∪ {∞} (in quanto sono, a parte ∞, radici del discriminante dello stesso polinomio minimo F di L/k(x) e di L_{κ}/κ(x)), per il punto 3) e l’ipotesi che κ sia algebricamente chiuso risultano pertanto essere esattamente i punti di ramificazione di L_{κ}/κ(x), per quanto appena detto. L’isomorfismo di restrizione G → G̃ induce, quindi, l’eguaglianza dei tipi desiderata.

Si osservi la necessarietà fondamentale dell’ipotesi che G(L/k(x)) abbia centro banale, allo scopo di avere l’unicità della discesa da L a L_{κ}. E’ facile osservare, per esempio, che k(\sqrt{x})/k(x) è di Galois quadratica (e, quindi, ha centro non banale), per k campo di numeri. E’, però, altrettanto chiaro che vi sono infinite discese a ℚ di tale estensione, in quanto, per ogni d ∈ ℕ−{0} libero da quadrati, ℚ(\sqrt{dx}) realizza la discesa, e si tratta di estensioni che non sono mai ℚ(x)−isomorfe tra loro.

Lemma 3.1.3. 1. Data l’estensione L/k(x), con κ sottocampo del campo algebricamente chiuso k, si ha che L è definita su una estensione finitamente generata di κ contenuta in k.

2. Se L_{0} è estensione FG di κ(x), regolare su κ, c’è, allora, una estensione L/k(x), definita su κ, tale che L_{κ} è κ(x)−isomorfa a L_{0}.

Dimostrazione. 1) Sia θ elemento primitivo per L/k(x), che soddisfa il polinomio minimo F (y) ∈ k(x)[y]. Ogni radice θ_{i} di F in L può, allora, essere espressa nella forma θ_{i} = f_{i}(θ), per f_{i} ∈ k(x)[y] tale che deg(f_{i}) < deg(F). Essendo, ora, i coefficienti di f_{i} e di F elementi di k(x), segue che, considerandoli come funzioni razionali nell’indeterminata x su k, quelli che, a loro volta, sono i loro coefficienti, generano una estensione finitamente generata κ′/κ in k. I coefficienti di F e degli f_{i} saranno, allora, in κ′(x). Dunque, L_{κ′} := κ′(x)(θ) è ancora estensione di Galois di κ′(x), avente, per costruzione, lo stesso polinomio minimo F di L/k(x). Sempre per costruzione, infatti, contiene tutte le radici θ_{i} = f_{i}(θ) di F. Ora, G(L/k(x)) ≃ G(L_{κ′}/κ′(x)) per gli stessi motivi per i quali vale il punto 2) del precedente Lemma. Inoltre, si ha la regolarità dell’estensione L_{κ′}/κ′, che segue dal fatto che k è algebricamente chiuso. Infatti, ciò comporta che un elemento di L_{κ′} ⊂ L algebrico su κ′ ⊂ k è in L_{κ′} ∩ k = κ′.

2) Sia L_{0} = κ(x)[y]|_{(F)}, per qualche F irriducibile su κ(x) che dà l’estensione L_{0}/κ(x). Definiamo, allora, L := k(x)[y]|_{(F)} estensione FG di k(x), avente lo stesso grado di L_{0}/κ(x), la quale esiste con tale proprietà grazie all’ipotesi di regolarità di L_{0} su κ. Allora, per L_{κ} = L_{0}, si ha che L è definita su κ.

Corollario 3.1.4. Sia k_{0} sottocampo algebricamente chiuso di ℂ. Allora, per ogni tipo τ debolmente rigido, c’è al più una estensione FG di k_{0}(x) di tale tipo, a meno di k_{0}(x)−isomorfismi.

Dimostrazione. Supponiamo L_{0} e L′_{0} estensioni di k_{0}(x) di tipo τ. Per il secondo punto del Lemma precedente, le cui ipotesi sono rispettate, essendo k_{0} algebricamente chiuso, ci sono estensioni FG L e L′ di ℂ(x), definite su k_{0}, tali che L_{k_{0}} e L′_{k_{0}} sono k_{0}(x)−isomorfe, rispettivamente, a L_{0} e L′_{0}. Allora, sempre perchè k_{0} è algebricamente chiuso, per il punto 5) del Lemma 3.1.2, L e L′ hanno uguale tipo τ. Essendo, ora, τ debolmente rigido, segue, dal Teorema 2.3.6, che L e L′ sono ℂ(x)−isomorfe. Ora, ogni ℂ(x)−isomorfismo L → L′ è, in realtà, anche k_{0}(x)−isomorfismo e, pertanto, manda L_{k_{0}} in una estensione di k_{0}(x) di grado n, di Galois e, poichè k_{0} è algebricamente chiuso, regolare su k_{0}. Per il punto 4) del Lemma 3.1.2, tale estensione è proprio L′_{k_{0}}. Dunque, L_{0} e L′_{0} sono k_{0}(x)−isomorfe.

3.2. DISCESA DA \overline{κ} A κ 39

3.2 Discesa da \overline{κ} a κ

Esaminiamo, qui, un primo importante esempio di discesa, in cui, effettivamente, si riesce a “spostare” la realizzazione di un gruppo finito ad un sottocampo di un campo su cui già se ne assume la realizzazione. Consideriamo α ∈ Aut(k). E’ facile estenderlo ad un automorfismo di k(x) ponendo α(x) = x. Assumiamo, allora, di chiamare α − isomorfismo un isomorfismo λ : L → L′, da L a L′ estensioni FG di k(x), tale che λ|_{k(x)} = α. Tale λ induce, allora, un isomorfismo di gruppi λ^{∗} : G(L/k(x)) → G(L′/k(x)) mediante coniugio, cioè della forma g ↦ λgλ^{−1}.

Lemma 3.2.1. Sia L/k(x) estensione FG. Per ogni α ∈ Aut(k) c’è, naturalmente, un α−isomorfismo λ da L a qualche estensione FG L′ di k(x). Se L è definita su κ e α|_{κ} = id, si può, allora, assumere L = L′ e λ^{∗} = id.

Dimostrazione. Estendiamo α ad un automorfismo di k(x)[y] che fissi x e y. Sia esso f ↦ f^{α}. Prendiamo, allora, L della forma L = k(x)[y]|_{(F)}, dove F è il polinomio minimo che dà l’estensione L/k(x). Sia, allora, L′ := k(x)[y]|_{(F^{α})}. La mappa f ↦ f^{α} induce, allora, un isomorfismo λ : L → L′. Quindi, L′ è ancora una estensione FG di k(x), e λ è un α−isomorfismo. Ora, se L è definita su κ, possiamo assumere F (y) in κ(x)[y] e tale che L_{κ} = κ(x)[y]|_{(F)}, per il punto 1) del Lemma 3.1.2. Se, inoltre, α|_{κ} = id, è chiaro che F^{α} = F e, quindi, che L = L′. Se θ è l’elemento primitivo dell’estensione L_{κ}/κ(x) e g ∈ G, si ha, allora, che λ^{∗}(g)(θ) = λgλ^{−1}(θ) = g(θ), in quanto λ fissa L_{κ} banalmente e g(θ) ∈ L_{κ}, sfruttando l’isomorfismo G(L/k(x)) ≃ G(L_{κ}/κ(x)). Dunque, λ^{∗} = id.

Osserviamo, dovendo usare nel seguito il concetto di gruppo assoluto della forma G(\overline{κ}/κ), che la mappa di restrizione G(\overline{κ}/κ) → G(κ′/κ), per κ′/κ estensione FG in \overline{κ}, è suriettiva. Tale proprietà è conseguenza del Lemma di Zorn, ma solo per quanto riguarda campi κ non numerabili. Il caso numerabile ha dimostrazione che non richiede, invece, utilizzo dell’assioma di scelta. Nel precedente Lemma abbiamo dato una condizione necessaria affinchè una estensione FG L/k(x) sia definita su κ, per κ sottocampo di k. Cerchiamo, ora, di scoprire quale rafforzamento delle ipotesi rende tale condizione anche sufficiente.

Proposizione 3.2.2. Sia L/k(x) estensione FG il cui gruppo di Galois G abbia centro banale. Assumiamo, inoltre, che k = \overline{κ}. Allora, L è definita su κ se e solo se per ogni α ∈ G(\overline{κ}/κ) vi è un α−automorfismo λ di L tale che λ^{∗} = id.

Dimostrazione. La necessarietà è garantita dal precedente Lemma. Proviamo, pertanto, la sufficienza. Per il punto 1) del Lemma 3.1.3 sappiamo che L è definita su una estensione finitamente generata κ_{1} di κ in k. Essendo, però, k = \overline{κ}, tale estensione sarà, in realtà, finita. Per il primo punto del Lemma 3.1.2, inoltre, L sarà definita su ogni campo intermedio tra κ_{1} e k = \overline{κ}; è, pertanto, lecito identificare κ_{1} con la sua chiusura normale in k. Abbiamo, così, che L è definita su κ_{1} estensione FG di κ in k. Sia L_{1} := L_{κ_{1}}. Consideriamo α_{1} ∈ G(κ_{1}/κ) ed estendiamolo ad α ∈ G(\overline{κ}/κ). Per ipotesi, allora, vi è un α−automorfismo di L tale che λ^{∗} = id. Poichè, inoltre, Z(G) = {0}, il punto 4) del Lemma 3.1.2 garantisce l’unicità in L dell’estensione L_{1} di κ_{1}(x) e, pertanto, si ha che λ si restringe ad un automorfismo λ_{1} di L_{1}. Ora, essendo κ_{1}/κ estensione FG, il Lemma 1.1.1 permette di concludere che G(κ_{1}/κ) ≃ G(κ_{1}(x)/κ(x)). Pertanto, ogni α_{1} ∈ G(κ_{1}/κ) ≃ G(κ_{1}(x)/κ(x)) si estende ad un λ_{1} ∈ Aut(L_{1}/κ(x)). Ciò significa, allora, che, preso l_{1} κ(x)−isomorfismo da L_{1} a L̃_{1} in una chiusura algebrica di L, lo si restringe ad un α_{1} ∈ G(κ_{1}(x)/κ(x)) che, a sua volta, si estende ad un κ(x)−automorfismo λ_{1} di L_{1}. Poichè l_{1} e λ_{1} coincidono se ristretti a κ_{1}(x), il κ(x)−isomorfismo l_{1}λ_{1}^{−1} : L_{1} → L̃_{1} è l’identità su κ_{1}(x). E’, dunque, κ_{1}(x)−isomorfismo di L_{1}. Tale campo, però, è estensione FG di κ_{1}(x) e, pertanto, L_{1} = L̃_{1}. Cioè, L_{1}/κ(x) è estensione di Galois. Poichè λ^{∗} = id, abbiamo che λg = gλ, per ogni g ∈ G. Dunque, la restrizione a L_{1} fa sì che λ_{1}g_{1} = g_{1}λ_{1} per ogni g_{1} ∈ G_{1} = G(L_{1}/κ_{1}(x)). Dunque, λ_{1} è nel centralizzatore C di G_{1} in H = G(L_{1}/κ(x)). Poichè ogni α_{1} ∈ G(κ_{1}/κ) si estende ad un tale λ_{1} ∈ C, segue che, allora, l’omomorfismo di restrizione è una mappa suriettiva

C → G(κ_{1}(x)/κ(x)) ≃ H/G_{1}.

Per l’unicità della presentazione degli elementi di H come elementi dei laterali di G_{1} in H si ha, allora, che H = CG_{1}. Inoltre, G_{1} ∩C = Z(G_{1}), ma, essendo G_{1} ≃ G, segue che C ∩ G_{1} = {0}. Essendo, allora, G_{1} ◁ H e C ◁ H (in quanto C è centralizzatore in H di un sottogruppo normale di H), si ha che H = G_{1} × C. Sia L_{κ} := L_{1}^{C}. Allora, L_{κ}/κ(x) è di Galois perchè C ◁ H, con gruppo

G(L_{κ}/κ(x)) ≃ H/C ≃ G_{1} ≃ G.

Inoltre,

L_{κ} ∩ κ_{1}(x) = L_{1}^{C} ∩ L_{1}^{G_{1}} = L_{1}^{CG_{1}} = L_{1}^{H} = κ(x).

Dunque, poichè ogni elemento di L_{κ} algebrico su κ è in κ_{1}, ne segue che è, in realtà, in κ.

Definizione 3.2.3. Sia τ = [H, P, {C_{p}}|_{p∈P}] tipo di ramificazione, con n = |H|. Allora, si dice che τ è κ − razionale se P ⊂ \overline{κ} ∪ \{∞\} e se, per ogni p ∈ P e α ∈ G(\overline{κ}/κ), abbiamo che α(p) ∈ P e che

C_{α(p)} = C_{p}^{m}

dove m ∈ ℕ − {0} è tale che α^{−1}(ζ_{n}) = ζ_{n}^{m}.

Definizione 3.2.4. Una classe coniugio C in un gruppo H è detta razionale se C^{m} = C per ogni m intero primo con l’ordine di H.

Osservazione 3.2.5. Un tipo τ è κ−razionale se P ⊂ κ ∪ {∞} e ogni classe C_{p} è razionale.

Dimostrazione. Poichè < ζ_{n} >⊂ \overline{κ}, l’automorfismo α ∈ G(\overline{κ}/κ) si restringe ad un elemento di G(κ(ζ_{n})/κ). Se, allora, α^{−1}(ζ_{n}) = ζ_{n}^{m}, essendo α iniettivo si ha che (n, m) = 1. Poichè, allora, per l’ipotesi di razionalità delle classi coniugio, C_{α(p)} = C_{p} = C_{p}^{m}, si ha subito quanto desiderato.

Osserviamo, inoltre, che, essendo k = \overline{κ}, se L/k(x) è estensione FG definita su κ, per il Lemma 3.2.1 ogni α ∈ G(\overline{κ}/κ) si estende ad un automorfismo λ di L tale che λ^{∗} = id. I punti di ramificazione dell’estensione data sono, ovviamente, in ℙ_{k}^{1} ed, essendo algebrici su κ, sono permutati tra loro dall’azione di α. Infine, per il Lemma 2.2.3, quanto segue dal Lemma 3.2.1 implica facilmente che, dato m intero tale che α^{−1}(ζ_{n}) = ζ_{n}^{m}, per n = |G(L/k(x))|, C_{α(p)} = C_{p}^{m}. Si ha, cioè, che, se l’estensione FG L/\overline{κ}(x) è definita su κ, allora il suo tipo è κ−razionale. Ai fini dello studio del Problema Inverso di Galois, quello appena ottenuto non è un risultato rilevante. E’, invece, di grandissima importanza notare che, sotto ulteriori rafforzamenti delle ipotesi, la necessarietà di tale condizione diventerà anche sufficienza.

Teorema 3.2.6. Sia k = \overline{κ}, e sia L/k(x) estensione FG. Se il tipo di ramificazione di L è rigido e κ−razionale, allora L è definita su κ.

Dimostrazione. Dalla stessa definizione di tipo rigido si ha che Z(G) = {0}, dove G = G(L/k(x)). Sono, pertanto, rispettate le ipotesi della Proposizione 3.2.2. Sfruttiamo, quindi, il criterio offerto da tale risultato per provare che L è definita su κ. Sia, quindi, α ∈ G(\overline{κ}/κ). Esiste, dunque, una sua estensione λ a L, che è α−isomorfismo da L a L′, per qualche L′ estensione FG di k(x). Sia G′ = G(L′/k(x)), e siano C_{p} e C′_{p} come nel Lemma 2.2.3. Per tale Lemma, e per l’ipotesi di κ−razionalità del tipo di ramificazione di L/k(x), allora, dati p, q ∈ ℙ_{k}^{1} tali che q = α(p), abbiamo che C′_{q} = λ^{∗}(C_{p}^{m}) = λ^{∗}(C_{q}), con m tale che α^{−1}(ζ_{n}) = ζ_{n}^{m}. Allora, l’isomorfismo λ^{∗} : G → G′ identifica le classi coniugio dei due gruppi, indicizzate sui medesimi punti di ℙ_{k}^{1}, rendendo uguali i tipi delle due estensioni FG corrispondenti. Essendo il tipo in questione rigido, segue che L e L′ sono k(x)−isomorfe, per il Corollario 3.1.4. Sia, quindi, μ : L′ → L tale k(x)−isomorfismo. Allora, χ := μλ è un α−automorfismo di L. Fissato, quindi, 1 ∈ G(\overline{κ}/κ), μ ne è estensione a L′. Pertanto,

χ^{∗}(C_{q}) = μ^{∗}λ^{∗}(C_{q}) = μ^{∗}(C′_{q}) = C_{q}.

Dunque, χ^{∗} ∈ Aut(G) preserva le classi coniugio C_{p}. Scelti, quindi, due sistemi di generatori {g_{p}} e {g′_{p}} di G indicizzati su un sottoinsieme finito P di ℙ_{k}^{1} sufficiente ad indicizzare tutte le classi coniugio di G prodotte dai punti di ℙ_{k}^{1}, e tale che ∏_{p∈P} g_{p} = ∏_{p∈P} g′_{p} = 1, se χ^{∗} manda uno nell’altro (e devono essercene due per cui questo accade), essendo il tipo rigido, χ^{∗} risulta essere automorfismo interno di G. Dunque, esiste g ∈ G tale che χ^{∗} = g^{∗}. Quindi, ψ := g^{−1}χ è α−automorfismo di L tale che ψ^{∗} = id. Ciò verifica la condizione necessaria e sufficiente descritta nella Proposizione 3.2.2.

Osserviamo cosa si verifica sostituendo l’ipotesi di tipo rigido con quella di tipo debolmente rigido. In tal caso, rimane vero che ogni α ∈ G(\overline{κ}/κ) si estende ad un α−automorfismo di L, per l’ipotesi che L/k(x) abbia tipo κ−razionale, come già spiegato nella precedente dimostrazione. Sostituendo “rigido” con “debolmente rigido”, infatti, la prima parte della precedente dimostrazione non cambia. Ciò, inoltre, porta chiaramente alla conclusione che L/κ(x) sia di Galois, per ragionamenti già svolti in precedenza. Ora, G(L/κ(x)) agisce tramite coniugio su G(L/k(x)), essendo quest’ultimo un suo sottogruppo normale. Abbiamo, cioè, una mappa G(L/κ(x)) → Aut(G) tale che λ ↦ λ^{∗}. Si ha, così, una mappa indotta

G(\overline{κ}/κ) ≃ G(k(x)/κ(x)) ≃ G(L/κ(x))/G → Aut(G)/Inn(G).

L’immagine A di tale mappa è, allora, sottogruppo di Aut(G)/Inn(G) realizzato come gruppo di Galois su κ.

3.3 Rigidità

La tecnica della rigidità applicata allo studio del Problema Inverso di Galois si basa sul considerare, anzichè dei gruppi finiti, dei concetti più astratti, vale a dire i tipi di ramificazione legati a tali gruppi. Analizzandone proprietà legate anche alla rigidità si riesce a realizzare regolarmente i gruppi corrispondenti a tali tipi su sottocampi di ℂ, avendo come punto di partenza il R.E.T., trattato nella sua forma algebrica nel secondo capitolo.

Teorema 3.3.1. Sia τ = [H, P, C] tipo di ramificazione rigido e κ−razionale, dove κ è sottocampo di ℂ. Allora, H è regolarmente realizzato su κ.

Dimostrazione. Il R.E.T. e la rigidità di τ garantiscono esistenza e unicità dell’estensione FG M/ℂ(x) avente tipo τ. Inoltre, per il Lemma 3.1.3, tale estensione è definita su una estensione κ_{1} finitamente generata di κ. Dunque, κ_{1} è estensione finita di una estensione κ_{0} = κ(t_{1}, ..., t_{s}) puramente trascendente di κ. Sia k := \overline{κ}_{0}. Allora, M è definita su k, essendo k = \overline{κ}_{1}. Sia L := M_{k}. Allora, anche L/k(x) ha tipo τ, essendo k sottocampo algebricamente chiuso di ℂ (punto 5) del Lemma 3.1.2). Ora, τ è κ−razionale e, poichè ogni elemento di G(\overline{κ}_{0}/κ_{0}) si restringe ad uno di G(\overline{κ}/κ), è anche tipo κ_{0}−razionale. Dal Teorema 3.2.6, allora, L è definita su κ_{0}. Essendo M_{κ_{0}} = L_{κ_{0}}, anche M è definita su κ_{0}, per la stessa ragione. Quindi, H ≃ G(M_{κ_{0}}/κ_{0}(x)) = G(M_{κ_{0}}/κ(t_{1}, ..., t_{s}, x)). Allora, H è regolarmente realizzato su κ, in quanto M_{κ_{0}}/κ_{0} e κ_{0}/κ sono estensioni regolari e, pertanto, anche M_{κ_{0}}/κ lo è.

Dal punto di vista del Problema Inverso di Galois, dunque, il Teorema appena dimostrato rappresenta un notevole risultato. Se, infatti, si considera ℚ = κ quale sottocampo di ℂ, l’H.I.T. permette di concludere che un tipo τ rigido e ℚ−razionale ammette realizzazione di Galois su ℚ. Osserviamo, inoltre, che è possibile provare che, in realtà, M è anche definita su κ. Naturalmente, nel caso κ Hilbertiano, ciò ha dimostrazione immediata, mentre, nel caso generale, occorre provare che esiste una opportuna specializzazione delle indeterminate t_{i} che mantiene il tipo τ.

Corollario 3.3.2. Se un gruppo finito H ha classi coniugio C_{1}, ..., C_{r} razionali che formano un sistema rigido, allora H è regolarmente realizzato su ℚ.

Dimostrazione. Sia P ⊂ ℚ ∪ {∞} un sistema di r elementi p_{1}, ..., p_{r}. Insieme alle classi C_{1}, ..., C_{r} formano un tipo τ = [H, P, C], rigido e ℚ−razionale, per una verifica banale delle proprietà richieste.

Corollario 3.3.3. Sia H avente classi coniugio C_{1}, ..., C_{r} che formano un sistema rigido. Allora, H è regolarmente realizzato su ℚ_{ab} e, pertanto, H è gruppo di Galois su ℚ_{ab}.

Dimostrazione. Le classi coniugio di H inducono un tipo rigido e ℚ_{ab}−razionale per ogni scelta di P ⊂ ℚ_{ab} ∪ {∞}. La rigidità è ovvia. Osserviamo, poi, che α(ζ_{n}) = ζ_{n}, per ogni α ∈ G(\overline{ℚ_{ab}}/ℚ_{ab}). Si ha, così, m = 1, da cui la ℚ_{ab}−razionalità del tipo in esame è ovvia. Per il Teorema 3.3.1, allora, H è realizzato regolarmente su ℚ_{ab}, che, per il Teorema di Weissauer, è Hilbertiano.

Definizione 3.3.4. Sia C_{1}, ..., C_{r} un sistema di classi coniugio in un gruppo H. Si dice che esso è κ − razionale se C_{1}^{m}, ..., C_{r}^{m} è una permutazione di C_{1}, ..., C_{r} per ogni m intero per il quale esiste α ∈ G(\overline{κ}/κ) tale che α^{−1}(ζ_{n}) = ζ_{n}^{m}, dove n = |H|.

Una stringa di classi coniugio ℚ−razionali è semplicemente chiamata “razionale”. Il che significa che, per ogni intero m tale che (n, m) = 1, C_{1}^{m}, ..., C_{r}^{m} è permutazione di C_{1}, ..., C_{r}.

Lemma 3.3.5. Se C_{1}, ..., C_{r} è κ−razionale in H, esiste, allora, un insieme finito P = \{p_{1}, ..., p_{r}\} ⊂ \overline{κ} tale che il tipo τ = [H, P, C] è κ−razionale, dove C_{p_{i}} = C_{i}, per i = 1, ..., r.

Dimostrazione. Siano n = |H| e S = G(κ(ζ_{n})/κ). Si definisce, allora, una azione di S sul sistema delle classi coniugio C in H nel seguente modo. Per ogni σ ∈ S esiste un intero m tale che σ^{−1}(ζ_{n}) = ζ_{n}^{m}. Sia, allora, σ(C) := C^{m}. Si tratta, effettivamente, di una azione di S su C, per κ−razionalità, ben definita in quanto σ^{−1}(ζ_{n}) = ζ_{n}^{m′} ⟹ m′ ≡ m(n) e, quindi, C^{m} = C^{m′} per ogni C ∈ C. Sia, inoltre, S_{1} := Stab_{S}(C_{1}). Sia σ_{1}, ..., σ_{l} un sistema di rappresentanti dei laterali sinistri di S_{1} in S, dove, naturalmente, l = |Orb_{S}(C_{1})| ≤ r. Allora, le classi σ_{1}(C_{1}), ..., σ_{l}(C_{1}) sono tutte distinte e, per κ−razionalità, sono in C. Siano, quindi, C_{i} = σ_{i}(C_{1}), per i = 1, ..., l. Sia κ_{1} := κ(ζ_{n})^{S_{1}} estensione finita di κ. Sia p_{1} elemento primitivo di κ_{1}/κ, e siano p_{i} = σ_{i}(p_{1}) per i = 1, ..., l. Allora, S permuta p_{1}, ..., p_{l}, in quanto ogni suo elemento si restringe ad un κ−isomorfismo di κ(p_{i}) per i = 1, ..., l, che, dalla Teoria dei Campi classica, sappiamo essere le uniche estensioni di κ in κ_{1} κ−isomorfe tra loro, mentre Stab_{S}(p_{1}) = S_{1} = Stab_{S}(C_{1}). Si ha, pertanto, che la mappa p_{i} ↦ C_{i}, per i = 1, ..., l, è isomorfismo di S−insiemi. Definendo C_{p_{i}} := C_{i} per i = 1, ..., l, si ha che

C_{σ(p)} = σ(C_{p}) = C_{p}^{m}

per p ∈ {p_{1}, ..., p_{l}}, dove m è associato a σ come sopra. Abbiamo, cioè, indicizzato le classi coniugio di H nella stessa H−orbita di C_{1} con l elementi algebrici su κ, in modo che su queste valga la condizione di tipo κ−razionale, immaginando che (H, {p_{1}, ..., p_{l}}, Orb_{S}(C_{1})) sia tripla sufficiente a determinare un tipo (cosa, ovviamente, falsa a priori). Ripetendo, allora, il medesimo ragionamento su tutte le altre S−orbite di C, si conclude che il P := \{p_{1}, ..., p_{r}\} ⊂ \overline{κ} così costruito è tale che [H, P, C] sia tipo κ−razionale.

Osserviamo che, a differenza che nel Corollario 3.3.2, le classi in questione non sono più κ−razionali: è soltanto la loro stringa ad esserlo, ed è questo che complica notevolmente la dimostrazione, richiedendo P ∈ \overline{κ} (anzichè, come nel precedente caso, P ∈ κ ∪ {∞}), nonchè la costruzione di un isomorfismo di S−insiemi tra P e C.

Teorema 3.3.6. (di rigidita′ generale) Sia κ sottocampo di ℂ, e sia H un gruppo finito. Se H ha classi coniugio C_{1}, ..., C_{r} che formano un sistema rigido e κ−razionale, allora H è regolarmente realizzato su κ.

Dimostrazione. Per il Lemma precedente e il Teorema 3.3.1, la conclusione segue immediatamente.

Corollario 3.3.7. Sia H gruppo finito avente classi coniugio C_{1}, ..., C_{r} che formano un sistema rigido. Supponiamo, inoltre, che, per ogni m primo con |H|, le classi C_{1}^{m}, ..., C_{r}^{m} siano una permutazione di C_{1}, ..., C_{r}. Allora, H è regolarmente realizzato su ℚ e, pertanto, su qualsiasi altro campo avente caratteristica zero. In poche parole, dunque, H è realizzato su ℚ, su ogni estensione finitamente generata di ℚ e su qualsiasi campo Hilbertiano a caratteristica zero.

Dimostrazione. Le classi coniugio di H formano, per definizione, un sistema rigido e ℚ−razionale. Il precedente Teorema mostra, allora, come H sia regolarmente realizzato su ℚ. Poi, ricordiamo che H regolarmente realizzato su un campo ⟹ lo è anche su ogni estensione di quest’ultimo. A meno di isomorfismo, però, ogni campo a caratteristica zero è estensione di ℚ. L’H.I.T. e il Corollario 1.1.11 concludono.

3.4 Realizzazioni di gruppi semplici finiti

In questo paragrafo si mostrerà come applicare le tecniche di rigidità, appena esposte, nel realizzare alcune importanti classi di gruppi semplici finiti, principalmente su ℚ e su ℚ_{ab}. Naturalmente, le tecniche di rigidità non sono affatto di eguale utilità in tutti i casi di gruppi finiti realizzati o di cui si indaga tuttora la realizzabilità; esistono anche altre tecniche, legate al cosiddetto problema di immersione (che saranno discusse più avanti), grazie alle quali Scholtz e Reichardt realizzarono nel 1936, su ℚ, ogni p−gruppo con p ≠ 2 e, nel 1954, Shafarevich fece lo stesso (estendendo, così, il precedente risultato) con tutti i gruppi finiti risolubili. Tuttavia, la tecnica di rigidità si rivela un ottimo strumento nell’attaccare il Problema Inverso nel caso dei gruppi semplici di forma maggiormente nota e, di fatto, è il principale fondamento delle ricerche in questa direzione. L’importanza di tutto ciò risiede nel fatto che i gruppi semplici finiti costituiscono una delle classi di gruppi di maggiore interesse in Algebra, per via della loro grande varietà e della ricchezza della loro struttura; di fatto, uno dei più forti stimoli a sviluppare lo studio del Problema Inverso sta proprio nel desiderio di indagare la possibilità di rispecchiare nelle estensioni di campi tale struttura particolarmente variegata. La tecnica di rigidità, quindi, costituisce, anche da un punto di vista storico del Problema Inverso, un passo importante, che è bene illustrare. Il (controverso) Teorema di Classificazione dei Gruppi Semplici Finiti afferma che tali gruppi sono suddivisi nelle seguenti classi^{1}:

1) Gruppi ciclici di ordine primo;

2) Gruppi alterni di grado ≥ 5;

3) Gruppi proiettivi lineari speciali, simplettici, ortogonali e gruppi unitari su un campo finito;

4) Gruppi semplici di Lie eccezionali;

5) Gruppi sporadici. I gruppi sporadici sono 26 classi di gruppi semplici finiti che non hanno alcuna struttura comune, nè riconducibili a nessuna delle forme precedentemente elencate. Vediamo, allora, come applicare le tecniche esposte in questo capitolo per cercare di rappresentare come gruppi di Galois su ℚ i più rilevanti esempi di gruppi semplici finiti. Cominciamo dal naturale proseguimento del lavoro di Hilbert e Noether, spiegato nell’Introduzione, volto a sfruttare il Teorema di Immersione di Cayley allo scopo di tentare la realizzazione dei gruppi finiti su ℚ pensando ad essi come sottogruppi di gruppi simmetrici. Come è noto, il controesempio di Swan vanifica la speranza di poter utilizzare sempre con successo tale approccio. Si tenta, allora, di analizzare singolarmente i casi specifici di gruppi finiti G ⊂ S_{n} per i quali non si sa se ℚ(t_{1}, ..., t_{n})^{G} sia campo di funzioni razionali finitamente generato su ℚ, essendo ℚ(t_{1}, ..., t_{n}) l’estensione che realizza S_{n} su ℚ(s_{1}, ..., s_{n}), dove le s_{i} sono le funzioni simmetriche elementari delle t_{i}. Uno di essi è il caso del gruppo alterno, la cui realizzazione su ℚ è frutto dell’utilizzo della tecnica di rigidità.

3.4.1 Gruppi alterni

Supponiamo C_{1}, C_{2}, C_{3} classi coniugio nel gruppo finito H per cui esistano 3 generatori di H, g_{1}, g_{2}, g_{3}, tali che g_{i} ∈ C_{i} per i = 1, 2, 3, e che g_{1}g_{2}g_{3} = 1. Dunque, la terna (C_{1}, C_{2}, C_{3}) è rigida in H se e solo se Z(H) = {0} e, per ogni g′_{2} ∈ C_{2} tale che (g_{1}g′_{2})^{−1} ∈ C_{3} e < g_{1}, g′_{2} >= H, esiste un h ∈ H tale che hg_{1}h^{−1} = g_{1} e hg′_{2}h^{−1} = g_{2}. Infatti, se (C_{1}, C_{2}, C_{3}) è rigida, Z(H) = {0} e, per g′_{2} come sopra, {g_{1}, g′_{2}, (g_{1}g′_{2})^{−1}} è sistema di generatori di H con le stesse proprietà di {g_{1}, g_{2}, g_{3}} e, pertanto, esisterà h come sopra. Viceversa, scelto g′_{2} come sopra, le ipotesi garantiscono l’esistenza di h ∈ H tale che hg_{1}h^{−1} = g_{1}, hg′_{2}h^{−1} = g_{2} e, dunque, h(g_{1}g′_{2})^{−1}h^{−1} = (g_{1}g_{2})^{−1} = g_{3}. Scelto, allora, un altro sistema di generatori g̃_{1}, g̃_{2}, g̃_{3} con le stesse proprietà di g_{1}, g_{2}, g_{3}, esiste h̃ ∈ H tale che h̃g̃_{1}h̃^{−1} = g_{1}. Definiamo, allora, g′_{2} := h̃g̃_{2}h̃^{−1}. E’, allora, ovvio che g′_{2} ∈ C_{2}. Inoltre, (g_{1}g′_{2})^{−1} = h̃(g̃_{1}g̃_{2})^{−1}h̃^{−1} ∈ C_{3} essendo, per ipotesi, g̃_{3} = (g̃_{1}g̃_{2})^{−1} ∈ C_{3}. Infine, essendo |H| < +∞, si ha che < g̃_{1}, g̃_{2} >= H ⟹< g_{1}, g′_{2} >= H, in quanto si ha l’isomorfismo indotto dal coniugio mediante h̃

1Si veda [1] per una trattazione dettagliata

h̃^{∗} :< g̃_{1}, g̃_{2} >→< g_{1}, g′_{2} >
g̃_{i} ↦ g_{i}

il quale rende isomorfi H =< g̃_{1}, g̃_{2} > e il suo sottogruppo < g_{1}, g′_{2} >. Essendo, però, |H| < +∞, segue l’eguaglianza desiderata. Dunque, g′_{2} rispetta le ipotesi richieste e, pertanto, essendo anche Z(H) = {0}, esiste unico h ∈ H che induce automorfismo interno in H legando {g_{1}, g_{2}, g_{3}} e {g_{1}, g′_{2}, (g_{1}g′_{2})^{−1}}. Allora, h′ := h̃h rappresenta l’automorfismo interno di H che lega {g̃_{1}, g̃_{2}, g̃_{3}} e {g_{1}, g_{2}, g_{3}}, rendendo rigida la terna in questione. La conclusione cui siamo giunti ci fornisce, quindi, un comodo strumento di verifica di rigidità per tipi di ramificazione indicizzati su 3 punti di ℙ^{1}.

Lemma 3.4.1. Sia C_{i} la classe degli i−cicli in S_{n}, per n ≥ 3. Allora, C_{2}, C_{n−1}, C_{n} formano una tripla rigida in S_{n}.

Dimostrazione. E’ facile dimostrare che Z(S_{n}) = {0}. Inoltre, se un sottogruppo di S_{n} contiene un n−ciclo e un (n − 1)−ciclo, è transitivo sulle coppie di elementi tra 1 e n e, pertanto, se contiene una trasposizione, è tutto S_{n}. Siano τ = (n − 1, n), σ = (1, ..., n − 1), π = (n − 1, n, n − 2, ..., 2, 1). Allora, τσπ = 1. Inoltre, per quanto appena detto tali 3 elementi generano S_{n}. Sia, allora, τ′ trasposizione tale che στ′ è in C_{n}. Allora, τ′ = (j, n), per j tra 1 e n − 1. Allora, σ^{n−1−j} manda j in n − 1 e fissa n. Pertanto, coniuga τ e τ′ e, naturalmente, è in Z(σ). Per il criterio prima esposto si conclude.

E’, a questo punto, semplice osservare che ogni classe coniugio in S_{n} è razionale. Dunque, segue facilmente che S_{n} è regolarmente realizzato su ℚ. Vediamo, ora, di estendere tale risultato ad A_{n}.

Lemma 3.4.2. Supponiamo che vi sia (C_{1}, C_{2}, C_{3}) tripla rigida di classi razionali in H finito. Allora, ogni sottogruppo di H di indice 2 è regolarmente realizzato su ℚ.

Dimostrazione. Siano p_{1}, p_{2}, p_{3} ∈ ℚ. Come già visto nel Corollario 3.3.2, è sufficiente indicizzare le classi coniugio in questione su tale insieme per ottenere un tipo τ rigido e razionale per H. Come mostrato nella dimostrazione del Teorema 3.3.1, esiste un’unica estensione FG M/ℂ(x) di tipo τ definita su κ_{0} := ℚ(t_{1}, ..., t_{s}) ⊂ ℂ. Sia M_{0} := M_{κ_{0}}. Dunque, G(M_{0}/κ_{0}(x)) ≃ H. Se, quindi, U ◁ H ha indice 2, corrisponderà ad esso una estensione quadratica N_{0}/κ_{0}(x) in M_{0}. Dunque, N_{0} = κ_{0}(x)(\sqrt{f}), per f(x) ∈ κ_{0}[x] polinomio non costante e libero da quadrati. Dunque, è separabile. Non è costante perchè, se lo fosse, sarebbe in κ_{0} e, quindi, \sqrt{f} sarebbe un elemento di M_{0} algebrico su κ_{0}, il che, essendo M_{0}/κ_{0} regolare, contraddice il fatto che f sia libero da quadrati. Allora, N := ℂ(x)(\sqrt{f}) è estensione quadratica di ℂ(x) in M, per regolarità (Lemma 1.1.1). Per il punto 4) della Proposizione 2.2.1, i punti di ramificazione di N/ℂ(x) sono anche tali per M/ℂ(x) (il viceversa è falso a priori). Dunque, i punti di ramificazione di N/ℂ(x) sono tra p_{1}, p_{2}, p_{3}. Come visto in precedenza, inoltre, essendo tale estensione quadratica, il numero di tali punti di ramificazione è pari e ≥ 2, dunque proprio 2. Siano essi p_{1} e p_{2}. Allora, f(x) = c(x−p_{1})(x− p_{2}), per c ∈ κ_{0}−\{0\}. Ora, N_{0} = κ_{0}(x)(\sqrt{f}) = κ_{0}(x)(\sqrt{f}/(x−p_{2})) = κ_{0}(x)(z), dove z^{2} = c(x − p_{1})/(x − p_{2}). Ora, z^{2} è funzione lineare frazionaria in x su κ_{0} e, pertanto, x ∈ κ_{0}(z^{2}). Allora, N_{0} = κ_{0}(x)(z) = κ_{0}(z) è campo di funzioni razionali e, pertanto, U ≃ G(M_{0}/N_{0}) = G(M_{0}/κ_{0}(z)) è regolarmente realizzato su κ_{0}. Essendo κ_{0} = ℚ(t_{1}, ..., t_{s})/ℚ regolare, segue con facilità che, allora, U è regolarmente realizzato su ℚ.

In conclusione, quindi, oltre ai gruppi simmetrici, sono realizzati su ℚ anche i gruppi alterni.

3.4.2 Gruppi sporadici

Dei 26 gruppi sporadici solo uno (il gruppo di Mathieu M_{23}) non è ancora stato realizzato su ℚ. L’approccio seguito nella realizzazione di tali gruppi è spesso (come nel caso del Mostro) basato sul cercare in esso 3 classi coniugio che soddisfino la condizione descritta a inizio paragrafo. E’ bene osservare subito, infatti, che la tecnica di rigidità si rivela assai poco maneggevole via via che il numero delle classi coniugio sufficienti a definire un tipo aumenta. Nel caso dei gruppi sporadici, comunque, si rivela di grande utilità pratica una formula basata sui caratteri irriducibili complessi di un gruppo finito. Infatti, in questo caso, sono note le tavole dei caratteri, tra cui gli irriducibili, e delle classi coniugio di tali gruppi. Diviene, allora, più semplice la ricerca di una terna di classi coniugio che funzioni. L’idea è che le classi di equivalenza delle rappresentazioni ρ : G → GL_{n}(ℂ) irriducibili, per G finito, sono in numero finito e, ovviamente, corrispondono alle classi coniugio in G. Essendo ogni tale classe corrispondente ad un carattere θ : G → ℂ tale che θ(g) = T r(ρ(g)), si avrà un numero finito di tali caratteri.

Teorema 3.4.3. Sia H gruppo finito e siano θ_{1}, ..., θ_{s} i suoi caratteri irriducibili. Siano C_{1}, C_{2}, C_{3} classi coniugio in H. Sia c_{i} = |C_{i}|. Allora, il numero di triple (g_{1}, g_{2}, g_{3}) ∈ C_{1} × C_{2} × C_{3} tali che g_{1}g_{2}g_{3} = 1 è

c_{1}c_{2}c_{3} ∑_{i=1}^{s} \frac{θ_{i}(C_{1})θ_{i}(C_{2})θ_{i}(C_{3})}{θ_{i}(1)^{2}}.

Si veda [14] per una trattazione più dettagliata. Comunque, una conclusione che si ricava subito da tale formula è che, se Z(H) = {0}, se esistono 3 generatori di H che costituiscono una tripla come quella richiesta dal precedente Teorema e la formula in questione dà come valore |H|, le 3 classi coniugio inducono un tipo rigido. Il che discende dal fatto che ogni elemento di H rappresenta una azione coniugio sulla terna di generatori iniziali.

3.4.3 Gruppi P SL_{2}(q)

I gruppi proiettivi lineari speciali (P SL_{n}(q)) sono il quoziente dei lineari speciali (SL_{n}(q)) modulo moltiplicazione per scalari. Il gruppo SL_{n}(q) generico è il gruppo delle matrici n × n a determinante 1 su 𝔽_{q}, dove q è potenza di un primo p e, pertanto, per il Teorema di Binet, si ha, molto più semplicemente, che P SL_{2}(q) = SL_{2}(q)/{±1}. Su tale tipo di gruppi si manifestano particolarmente i limiti della tecnica di rigidità: se q non è un primo sono assai pochi i casi in cui tale tecnica permette la realizzazione di P SL_{n}(q) su ℚ, mentre nessuna realizzazione mediante tecniche di rigidità è oggi nota per q uguale a potenze di un primo a esponente superiore a 3. Anche nel caso q = p si è riusciti a sfruttare il metodo in questione solo a patto di appesantire notevolmente le ipotesi sui gruppi in analisi. Un discorso a parte meritano, tuttavia, i gruppi P SL_{2}(q). Essi costituiscono un esempio in cui la tecnica di rigidità trova interessanti applicazioni, realizzando vaste sottoclassi di tali gruppi su ℚ_{ab} e su ℚ. Soprattutto, rivestono grandissima importanza nell’ambito dello studio in questione dei gruppi semplici finiti. Infatti, ogni gruppo semplice finito di ordine relativamente basso è dimostrato essere necessariamente della forma A_{n} o P SL_{2}(q). Più precisamente, i 10 gruppi semplici di ordine più basso sono A_{5}, A_{6}, A_{7}, P SL_{2}(q) per ogni q ≤ 19 che sia potenza di un primo (eccetto 4, 5, 9, essendo A_{5} ≃ P SL_{2}(4) ≃ P SL_{2}(5) e A_{6} ≃ P SL_{2}(9)). Tra questi, solo P SL_{2}(16) non è ancora stato realizzato su ℚ. Per quanto riguarda, invece, realizzazioni su ℚ_{ab}, un risultato di Belyi realizza gran parte dei gruppi di Lie semplici finiti (i cosiddetti “classici”, fra cui vi sono tutti i proiettivi lineari speciali) su ℚ_{ab} sfruttando le tecniche fin qui esposte. Va, comunque, sottolineato, come peraltro già detto in precedenza, che quasi ogni applicazione nota delle tecniche di rigidità funziona nel caso in cui il numero di classi coniugio che determina un tipo rigido sia 3. Più il numero dei generatori aumenta, infatti, meno la rigidità diventa probabile. Cominciamo con l’esporre un criterio per trattare gruppi modulo il loro centro.

Definizione 3.4.4. Sia {C_{1}, ..., C_{r}} sistema di classi coniugio in un gruppo H. Diciamo che è quasi − rigido se è debolmente rigido e ogni automorfismo di H che preserva ogni C_{i} è interno. Cioè, se è debolmente rigido e l’automorfismo che lega due sistemi di generatori è sempre interno.

In conclusione, si ha che

rigido ⟺ quasi-rigido + Z(H) = {0}.

Lemma 3.4.5. Sia k = \overline{κ}, e sia L/k(x) estensione FG con gruppo G. Sia L′ := L^{Z(G)}. Se il tipo di ramificazione di L è quasi-rigido e κ−razionale, allora L′ è definito su κ.

Dimostrazione. Poichè la sostituzione del termine “rigido” con quello di “quasirigido” non modifica in alcun modo i passaggi con cui, nella dimostrazione del Teorema 3.2.6, si prova che ogni α ∈ G(\overline{κ}/κ) si estende ad un α−automorfismo λ di L tale che λ^{∗} = id, abbiamo che ogni elemento di G(\overline{κ}/κ) ≃ G(\overline{κ}(x)/κ(x)) si estende ad un automorfismo di L che induce l’automorfismo identità, per coniugio, su G. In particolare, L/κ(x) è di Galois. Sia, ora, θ un elemento primitivo di L/k(x), e siano θ_{1}, ..., θ_{t} i suoi coniugati su κ(x). Essendo L/κ(x) di Galois, tutti questi coniugati sono in L. Allora, L_{1} := κ(x)(θ_{1}, ..., θ_{t}) è estensione FG di κ(x) in L. Sia κ_{1} la chiusura algebrica di κ in L_{1}. Allora, L_{1}/κ_{1} è regolare. Inoltre, dato un polinomio minimo legato all’ estensione L_{1}/κ_{1}(x), per regolarità rimane irriducibile su k(x). Ha, pertanto, grado ≤ n = |G|, essendo L_{1} ⊂ L. Ora, L_{1} contiene l’elemento primitivo θ di L su k(x), per cui L ⊂ L_{1}k, e [L_{1}k : k(x)] = [L_{1} : κ_{1}(x)], essendo L_{1}k l’estensione di k(x) prodotta dal polinomio minimo di L_{1}/κ_{1}(x). Dunque, L_{1} ∩ k(x) = κ_{1}(x). Allora, L è definita su κ_{1}, e L_{κ_{1}} = L_{1}. Dunque, G_{1} := G(L_{1}/κ_{1}(x)) ≃ G, e G_{1} ◁ H := G(L_{1}/κ(x)), essendo facile da capire che κ_{1}/κ è di Galois. Sia, ora, C il centralizzatore di G_{1} in H. E’ anch’esso un suo sottogruppo normale. Ora, ogni α ∈ G(κ_{1}/κ) si estende a λ ∈ H descritto come sopra e, chiamando λ_{1} := λ|_{L_{1}}, si ha che λ_{1} ∈ C. Dunque, vi è una mappa suriettiva da C a G(κ_{1}(x)/κ(x)) ≃ H/G_{1}. Dunque, H = CG_{1}. Inoltre, L_{1}^{C} è di Galois su κ(x), con gruppo di Galois

H/C = \frac{G_{1}C}{C} ≃ \frac{G_{1}}{G_{1} ∩ C} = G_{1}/Z(G_{1}) ≃ G/Z(G) ≃ G(L′/k(x)).

Poichè H = G_{1}C si ha, poi, che κ(x) = κ_{1}(x)∩L_{1}^{C} (si veda la Teoria di Galois classica) e, quindi, L_{1}^{C}/κ è regolare, dalla definizione stessa di κ_{1}. Inoltre, L_{1}^{C} ⊂ L_{1}^{Z(G_{1})} ⊂ L^{Z(G)} = L′ e, pertanto, L′ è definita su κ, con L′_{κ} = L_{1}^{C}.

Teorema 3.4.6. (di quasi-rigidità generale) Se il gruppo finito H ha classi coniugio C_{1}, ..., C_{r} che formano un sistema quasi-rigido e κ−razionale, allora H/Z(H) è regolarmente realizzato su κ.

Dimostrazione. Per il Lemma 3.3.5 il gruppo H ha un tipo quasi-rigido e κ−razionale τ = [H, C, P], dove C = \{C_{1}, ..., C_{r}\} e P ⊂ \overline{κ}. Per il R.E.T. esiste unica, a meno di ℂ(x)−isomorfismo, una estensione FG M/ℂ(x) di tale tipo, definita su κ_{1}, estensione finitamente generata di κ. Allora, κ_{1}/κ_{0} è finita, dove κ_{0} è campo di funzioni razionali su κ. Sia k := \overline{κ}_{0} = \overline{κ}_{1}. Allora, M è definita su k. Sia L := M_{k}. Allora, poichè k è algebricamente chiuso, L/k(x) è di tipo τ. Poichè ogni elemento di G(\overline{κ}_{0}/κ_{0}) si restringe ad un elemento di G(\overline{κ}/κ), se τ è κ−razionale, è anche κ_{0}−razionale. Dunque, L/k(x) ha tipo quasi-rigido e κ_{0}−razionale. Per il Lemma precedente, allora, L′ := L^{Z(H)} è definita su κ_{0} e, pertanto, essendo κ_{0} campo di funzioni razionali finitamente generato su κ, è facile capire che H/Z(H) ≃ G(L′/k(x)) ≃ G(L′_{κ_{0}}/κ_{0}(x)) = G(L′_{κ_{0}}/κ(t_{1}, ..., t_{s}, x)) è regolarmente realizzato su κ.

Lemma 3.4.7. 1. Gli elementi diversi da 1 in SL_{2}(q) di traccia 2 sono necessariamente suddivisi in due classi coniugio C_{1} e C_{2}. Siano u, v ≠ 0

in 𝔽_{q}. Allora, la matrice ( \begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix} ) (rispettivamente, ( \begin{matrix}1 & 0 \\ v & 1 \end{matrix} )) è in

C_{1} se e solo se u (rispettivamente, −v) è un quadrato in 𝔽_{q}.

2. Sia U_{1} := ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ). Sia U ∈ SL_{2}(q) di traccia 2, non triangolare

superiore. Allora, esiste A ∈ SL_{2}(q) che commuta con U_{1} e coniuga U

in una matrice della forma ( \begin{matrix}1 & 0 \\ c & 1 \end{matrix} ).

Dimostrazione. Cominciamo con il provare il punto 2). Sia U = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈

SL_{2}(q) come da ipotesi. Dunque, c ≠ 0. Sia A della forma A = ( \begin{matrix}1 & m \\ 0 & 1 \end{matrix} ).

E’ facile, allora, verificare che A commuta con U_{1}. Svolgendo i calcoli si ha, poi,

AUA^{−1} = ( \begin{matrix}a + mc & ∗ \\ c & ∗ \end{matrix} ) .

Allora, per m = c^{−1}(1 − a) (c ≠ 0), abbiamo

AUA^{−1} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ c & 1 \end{matrix} ) .

Naturalmente, essendo A invertibile ed avendo U traccia 2, anche AUA^{−1} ha traccia 2 e, pertanto, è spiegato l’1 della colonna di destra. Lo 0 nella stessa è, invece, spiegato dal fatto che U e, pertanto, anche AUA^{−1}, ha determinante 1 e c ≠ 0. Ciò prova il punto 2) Sia, ora, U ∈ SL_{2}(q) di traccia 2. Se U è triangolare superiore, allora sarà

della forma ( \begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix} ), in quanto ha traccia 2 e determinante 1. Se non

è, invece, triangolare superiore, per il punto 2) sarà coniugata a qualche

( \begin{matrix}1 & 0 \\ c & 1 \end{matrix} ). Ora, poichè

( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ v & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )^{−1} = ( \begin{matrix}1 & −v \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ,

segue che, in ogni caso, U è coniugata a qualche ( \begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix} ). Se U è coniugata

a U_{1}, esiste B ∈ SL_{2}(q) che coniuga U_{1} con ( \begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix} ). Allora, B deve essere

triangolare superiore, in quanto preserva l’unico autospazio di U_{1}, il quale è

generato da ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ). Dovendo, inoltre, avere determinante 1, sarà della forma

( \begin{matrix}w & ∗ \\ 0 & w^{−1} \end{matrix} ), per w ≠ 0. Infine, poichè

( \begin{matrix}w & ∗ \\ 0 & w^{−1} \end{matrix} ) U_{1} ( \begin{matrix}w & ∗ \\ 0 & w^{−1} \end{matrix} )^{−1} = ( \begin{matrix}1 & w^{2} \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ,

le triangolari superiori in SL_{2}(q) a traccia 2 che sono coniugate a U_{1} sono tali che u è un quadrato in 𝔽_{q}. Ora, tutte le triangolari superiori di traccia 2 in SL_{2}(q) sono partizionate in 2 classi coniugio: C_{1}, quella delle coniugate a U_{1}, e C_{2}, quella delle non coniugate a U_{1}. Infatti, una matrice di SL_{2}(q) di traccia 2 non coniugata a U_{1}, è coniugata ad una triangolare superiore della

forma ( \begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix} ), dove u non è un quadrato in 𝔽_{q}. Come sopra, se due matrici

siffatte, aventi rispettivamente u e v come entrata non diagonale sulla prima

riga, sono coniugate in SL_{2}(q), lo saranno mediante una B = ( \begin{matrix}w & ∗ \\ 0 & w^{−1} \end{matrix} )

triangolare superiore e, pertanto, u = w^{2}v. Viceversa, è facile capire che, se esiste w^{2} quadrato in 𝔽_{q}^{∗} tale che u = w^{2}v, si costruisce una matrice

( \begin{matrix}w & ∗ \\ 0 & w^{−1} \end{matrix} ) che coniuga ( \begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix} ) con ( \begin{matrix}1 & v \\ 0 & 1 \end{matrix} ). Inoltre, poichè v non è

un quadrato in 𝔽_{q}, neanche 1/v lo è. Se si riesce, allora, a dimostrare che il prodotto di due non-quadrati in 𝔽_{q} (nel caso specifico, u e 1/v) è un quadrato in 𝔽_{q}, si dimostrerà automaticamente che tutti gli elementi di SL_{2}(q) aventi traccia 2 e che non sono coniugati a U_{1} sono coniugati tra loro. Come è noto, il gruppo moltiplicativo 𝔽_{q}^{∗} è ciclico di ordine p^{l} − 1, dove q = p^{l}. Sia, allora, x un generatore di tale gruppo. Due elementi non nulli di 𝔽_{q} che non sono quadrati in tale campo saranno, allora, della forma x^{a} e x^{b}, per a e b dispari. Pertanto, il loro prodotto sarà x^{a+b}, dove a + b risulta essere pari e, dunque, tale prodotto è un quadrato^{2} in 𝔽_{q}. Ciò dimostra, così, che gli elementi di SL_{2}(q) di traccia 2 diversi dall’identità sono suddivisi in due classi coniugio, C_{1} e C_{2}, e che tutte le matrici triangolari superiori di questo tipo hanno elemento non diagonale u ≠ 0 che è un quadrato in 𝔽_{q} se e solo se la matrice cui è relativo è in C_{1}. Dalle conclusioni cui siamo giunti, si è provato il punto 1).

Lemma 3.4.8. Sia q potenza di un primo dispari p, e sia c l’elemento primitivo dell’estensione FG 𝔽_{q}/𝔽_{p}. Allora, le matrici

( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) e ( \begin{matrix}1 & 0 \\ c & 1 \end{matrix} )

generano il gruppo SL_{2}(q), a meno che q = 9.

Il risultato sopra è dovuto a Dickson. La sua dimostrazione è reperibile su [3].

2Si osservi come questa conseguenza della ciclicità moltiplicativa di 𝔽_{q}^{∗} costituisca una generalizzazione della moltiplicatività del simbolo di Legendre (\frac{x}{p}) alla situazione in cui si trattano quadrati in 𝔽_{q}, con q = p^{l}, anzichè residui quadratici modulo p. Si faccia, comunque, attenzione al fatto che, sebbene i residui quadratici modulo p e i quadrati in 𝔽_{p} siano la stessa cosa, i quadrati in 𝔽_{p^{l}} e i residui quadratici modulo p^{l} sono due concetti assolutamente differenti e senza alcun legame reciproco

Lemma 3.4.9. Sia q potenza di un primo dispari p, tale che q ≠ 9. Sia 𝔽_{q} = 𝔽_{p}(τ), dove τ ≠ 2. Sia C(τ) la classe coniugio in SL_{2}(q) contenente

( \begin{matrix}τ − 1 & 1 \\ τ − 2 & 1 \end{matrix} )^{−1}. Se 2 − τ non è un quadrato (rispettivamente, se lo è) in

𝔽_{q}, la tripla C_{1}, C_{2}, C(τ) (rispettivamente, C_{1}, C_{1}, C(τ)) è quasi-rigida in SL_{2}(q), dove C_{1} e C_{2} sono le due classi coniugio in cui, per il Lemma 3.4.7, sono suddivisi gli elementi di traccia 2 in SL_{2}(q).

Dimostrazione. Come prima cosa, osserviamo che, se τ ≠ ±2, la classe coniugio C(τ) è costituita da tutti gli elementi di SL_{2}(q) di traccia τ. Infatti, ogni elemento siffatto avrà gli stessi autovalori e, poichè

( \begin{matrix}τ − 1 & 1 \\ τ − 2 & 1 \end{matrix} )^{−1} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 − τ & τ − 1 \end{matrix} ) ,

anch’essa ha traccia τ e, pertanto, i medesimi autovalori. Essi dovranno, allora, in ognuno di questi casi, soddisfare l’equazione λ + 1/λ = τ, il cui discriminante è τ^{2} − 4, non nullo solo se τ ≠ ±2. In tal caso, dunque, le matrici in questione saranno tutte diagonalizzabili e, quindi, coniugate. In caso contrario, non è più detto che tale situazione si debba verificare. Osserviamo, in ogni caso, che la situazione in cui τ = −2 può essere esclusa senza perdita di generalità. Poichè, infatti, p ≥ 3, se q = p è lecito scegliere un qualsiasi τ in 𝔽_{p} diverso da ±2 quale elemento primitivo dell’estensione (banale). Se q è una potenza di p, invece, è ovvio che l’elemento primitivo τ dell’estensione 𝔽_{q}/𝔽_{p} non può essere in 𝔽_{p} e, pertanto, τ ≠ −2.

Chiamiamo, ora, H := SL_{2}(q). La matrice ( \begin{matrix}1 & 0 \\ τ − 2 & 1 \end{matrix} ) è in C_{2} se 2 − τ

non è un quadrato in 𝔽_{q}; viceversa è in C_{1}, per il Lemma 3.4.7. Allora, l’equazione

( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ τ − 2 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}τ − 1 & 1 \\ τ − 2 & 1 \end{matrix} )

mostra che esiste una tripla (g_{1}, g_{2}, g_{3}) in C_{1} × C_{2} × C(τ) (rispettivamente, in C_{1} × C_{1} × C(τ)) tale che g_{1}g_{2}g_{3} = 1. Per il Lemma precedente, tale tripla genera SL_{2}(q), in quanto, se τ è il generatore primitivo di 𝔽_{q} su 𝔽_{p} ed è tale che c = τ −2 ≠ 0, anche c è elemento primitivo della stessa estensione, cioè del più piccolo sovracampo di 𝔽_{p} contenente c, il quale, naturalmente, contiene anche τ, e viceversa. Per provare la quasi-rigidità è sufficiente, per un criterio già esposto in precedenza, mostrare che tutti gli U ∈ C_{2} (rispettivamente, U ∈ C_{1}) tali che^{3}T r(U_{1}U) = τ e che < U_{1}, U >= H sono coniugati sotto l’azione del centralizzatore Z(U_{1}) in H. Poichè < U_{1}, U >= H, la matrice U non è triangolare superiore. Quindi, U è coniugato sotto l’azione di Z(U_{1}) in

3La traccia di A^{−1}, per una matrice invertibile A, è la somma dei reciproci degli autovalori della stessa A. Nel nostro caso, U_{1}U ha determinante 1 e, pertanto, la sua traccia e la traccia della sua inversa sono uguali

una matrice della forma ( \begin{matrix}1 & 0 \\ c & 1 \end{matrix} ), per il Lemma 3.4.7. Essendo il coniugio

fatto sotto l’azione di Z(U_{1}), poichè U_{1}U ha traccia τ, lo stesso vale per

U_{1} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ c & 1 \end{matrix} ). Allora, c = τ − 2, in quanto

( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ c & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}c + 1 & 1 \\ c & 1 \end{matrix} ) .

Ogni generico U tra quelli ipotizzati sarà, allora, coniugato sotto l’azione di Z(U_{1}) ad un preciso elemento di C_{2} (rispettivamente, di C_{1}) che, pertanto, determina una classe di coniugio di cui gli U in questione faranno parte.

Dunque, per ogni q ≠ 9 potenza di un primo dispari, il gruppo SL_{2}(q) ammette un sistema quasi-rigido di classi coniugio. Poichè, pertanto, ogni sistema di classi coniugio è ℚ_{ab}−razionale e, inoltre, Z(SL_{2}(q)) = {±1}, per q ≠ 9, si ha il seguente

Corollario 3.4.10. P SL_{2}(q) = SL_{2}(q)/{±1} è regolarmente realizzato su ℚ_{ab}, per q potenza dispari di un primo diversa da 9.

Che è una banale applicazione del Teorema di quasi-rigidità generale (3.4.6). Osserviamo che il caso q = 9 ammette comunque soluzione in quanto, come già detto in precedenza, P SL_{2}(9) ≃ A_{6}. E’, inoltre, possibile dimostrare che lo stesso risultato vale anche per q pari.

Corollario 3.4.11. Il gruppo P SL_{2}(p) è regolarmente realizzato su ℚ per ogni primo p tale che p ≡ ±5, 7, 11(24).

Dimostrazione. I gruppi P SL_{2}(2) ≃ S_{3} e P SL_{2}(3) ≃ A_{4} sono regolarmente realizzati su ℚ. Supponiamo, quindi, p > 3. Utilizziamo il risultato del precedente Lemma per dimostrare l’asserto. Sia, allora, τ ∈ 𝔽_{p} tale che τ ≠ 2. Se 2−τ è un quadrato modulo p, la tripla quasirigida di cui si indaga la razionalità è, pertanto, C_{1}, C_{1}, C(τ). Preso, dunque, un m intero primo con n := |SL_{2}(p)|, esso può non essere un quadrato modulo p, nel qual caso C_{1}^{m} = C_{2} e, pertanto, la tripla {C_{1}, C_{1}, C(τ)} non è razionale. Si scelga, pertanto τ tale che 2 − τ non è un quadrato modulo p. Allora, le classi coniugio C_{1}, C_{2}, C(τ) formano una tripla quasi-rigida in H = SL_{2}(p) per il precedente Lemma. Tale tripla è ℚ−razionale se e solo se C(τ) è razionale. Infatti, se m è intero e non è multiplo di p, si ha che {C_{1}^{m}, C_{2}^{m}} è una permutazione di {C_{1}, C_{2}}, banale o meno, rispettivamente, se m è o no un quadrato modulo p, per il Lemma 3.4.7. Allora, se C(τ) è razionale, la tripla è razionale, e viceversa. Dunque, C(τ) razionale ⟹ P SL_{2}(p) = H/Z(H) è regolarmente realizzato su ℚ. Se 2 (rispettivamente, 3) non è un quadrato modulo p, allora scelgo τ = 0 (rispettivamente, τ = −1): in tal caso C(τ) si dimostra essere costituito di elementi di ordine 4 (rispettivamente, 3), coniugati ai loro inversi e, pertanto, sono in una stessa classe razionale. Infatti, nel primo caso si ha che 4|n e che C(τ) è costituito di generatori di sottogruppi di SL_{2}(p) isomorfi a ℤ/4ℤ, per cui, scelto m primo con n, m sarà anche primo con 4 e, pertanto, se U ∈ C(τ), o U^{m} = U o U^{m} = U^{−1}. Nel secondo caso si procede in modo del tutto analogo. Ora, la condizione che 2 o 3 non siano dei quadrati modulo p è equivalente, per risultati di Teoria dei Numeri Elementare, alla condizione che p non sia congruo a ±1 modulo 24. Per altri valori di p, svolgendo i calcoli, si prova che non ci sono τ con le proprietà richieste.

Metodi topologici e geometrici

In questo capitolo verrà data dimostrazione del R.E.T. nella sua formulazione geometrica, fornendo una interpretazione topologica dei concetti discussi nel secondo capitolo. Lo strumento fondamentale di cui si farà uso è quello del rivestimento tra spazi connessi e di Hausdorff. Nel seguito gli spazi topologici trattati verranno supposti essere delle varietà reali ad un numero fissato di dimensioni e, come tali, saranno localmente contrattili. Per tale ragione sarà lecito, in tale situazione, confondere il concetto di connessione con quello di connessione per archi. Diamo per acquisite le conoscenze di base relative alla Teoria dei Rivestimenti. Un loro riassunto è contenuto in [14]. Ricordiamo semplicemente che

Definizione 4.0.12. Una applicazione suriettiva tra spazi topologici connessi ϕ : X → Y è detta localmente invertibile se esiste un ricoprimento U = {U} di aperti di X tale che, per ogni aperto U siffatto, V = ϕ(U) sia aperto di Y e ϕ|_{U} sia omeomorfismo tra U e V.

Un rivestimento è una mappa localmente invertibile e con la proprietà di sollevabilità dei cammini. E’ una proprietà nota che il sollevamento di un cammino (cioè, di un arco continuo γ : I = [0, 1] → Y) mediante una applicazione localmente invertibile ϕ : X → Y è univocamente determinato dal suo punto di partenza γ̃(0). In generale, infatti,

Proposizione 4.0.13. Data una mappa localmente invertibile ϕ : X → Y e due mappe continue f, g : Z → X aventi stessa ombra ϕ ∘ f = ϕ ∘ g, l’insieme dei punti z ∈ Z in cui f(z) = g(z) è aperto e chiuso in Z.

La connessione degli spazi in esame conclude. Per fissare le idee, pensiamo al sollevamento di mappe continue riferendoci ad uno schema della forma

\xymatrix{X \ar[r]^{ϕ} & Y \\ Z \ar[u]^{f̃} \ar[ur]_{f}}

Esiste un altro risultato, noto come Teorema di Monodromia, che ci permette di affermare che un rivestimento ha la proprietà di sollevare, oltre ai cammini, anche le loro classi di omotopia ad estremi fissi. Il Teorema è:

Teorema 4.0.14. di Monodromia Siano X,Y,Z spazi connessi. Sia ϕ : X → Y mappa localmente invertibile, e sia I = [0, 1]. Consideriamo una mappa F : Z × I → X tale che, per ogni z ∈ Z, {z} × [0, 1] →^{F} X sia continua. Allora,

F è continua ⟺ \begin{cases}ϕ ∘ F : Z × I → Y è continua \\ F : Z × \{0\} → X è continua \end{cases}

Da tale importante risultato segue, allora, che

Corollario 4.0.15. Dato un rivestimento ϕ : X → Y ed una famiglia continua {g_{t}}_{t∈I} di applicazioni continue g_{t} : I → Y, sia la funzione continua f_{0} : I → X il sollevamento di g_{0} mediante ϕ. Esiste, allora, unica una famiglia continua {f_{t}}_{t∈I} tale che, per ogni t ∈ I, ϕ ∘ f_{t} = g_{t}.

Dimostrazione. E’ una banale applicazione del Teorema di Monodromia. L’unicità discende dalla Proposizione 4.0.13.

Segue facilmente, da tale ultimo risultato, che un rivestimento

ϕ : X → Y

induce un omomorfismo iniettivo

ϕ_{∗} : π_{1}(X, x) → π_{1}(Y, y),

per y = ϕ(x), tra i gruppi fondamentali. E’ detto gruppo associato al rivestimento Im(ϕ_{∗}) ⊂ π_{1}(Y, y). Un’altra importante proprietà che discende da quanto detto consiste nel fatto che, dato un rivestimento ϕ : X → Y, per ogni y ∈ Y la fibra ϕ^{−1}(y) è discreta e, inoltre, l’unicità del sollevamento delle omotopie induce una biiezione tra le fibre, la cui cardinalità sarà pertanto uguale e viene chiamata numero di fogli del rivestimento ϕ.

Proposizione 4.0.16. Sia data una mappa f : X → Y continua e suriettiva tra spazi connessi e di Hausdorff. Sono, allora, equivalenti:

1. f è un rivestimento.

2. Esiste un ricoprimento aperto {V }_{V ∈V} di Y tale che f^{−1}(V) è, per ogni V di tale ricoprimento, unione disgiunta di aperti omeomorfi a V mediante f.

Proposizione 4.0.17. Dato un rivestimento ϕ : (X, x) → (Y, y), una applicazione continua g : (Z, z) → (Y, y) ha sollevamento ad una f : (Z, z) → (X, x) mediante ϕ se e solo se

Im(g_{∗}) ⊆ Im(ϕ_{∗}).

Due rivestimenti

ϕ : (X, x) → (Y, y) e ϕ′ : (X′, x′) → (Y, y)

aventi medesimo gruppo associato sono detti isomorfi, in quanto esiste un omeomorfismo f : (X, x) → (X′, x′) che solleva ϕ mediante ϕ′ (e f^{−1} farà il viceversa). Il gruppo degli automorfismi associati ad un rivestimento, chiamato Aut(ϕ) o Deck(ϕ), è, pertanto, il gruppo degli omeomorfismi di X in sè che opera mediante permutazione dei fogli di ϕ.

Una azione

G → P(X)

di un gruppo G su uno spazio di Hausdorff connesso X è detta:

1. Propriamente discontinua se, fissati x, x′ ∈ X, esistono due intorni aperti U di x e V di x′ tali che

g(U) ∩ V ≠ ∅

solo per una quantità finita di g ∈ G.

2. Priva di punti fissi se, scelto un x ∈ X qualsiasi,

g(x) = x ⟺ g = 1.

Teorema 4.0.18. Un sottogruppo G < Aut(ϕ) del gruppo di automorfismi di un rivestimento agisce sulle fibre (e, conseguentemente, sui fogli) in modo propriamente discontinuo e senza punti fissi.

Teorema 4.0.19. Se un gruppo G agisce su uno spazio topologico di Hausdorff X in modo propriamente discontinuo e privo di punti fissi, attribuendo a X/G la topologia quoziente, la proiezione

ϕ : X → X/G

è un rivestimento.

La dimostrazione di tale enunciato non è immediata: si osservi che, oltre alle proprietà di un rivestimento, occorre dimostrare anche che X/G è spazio connesso, localmente cotrattile e di Hausdorff (le prime due proprietà seguono dall’invertibilità locale di ϕ). Per gli scopi di questo lavoro occorrerebbe dimostrare che X/G è varietà reale a n dimensioni, come X. Questo è più facile perchè, a differenza dell’essere di Hausdorff, si tratta di una proprietà locale (essere localmente omeomorfo a ℝ^{n}), facilmente ricostruibile dall’invertibilità locale di ϕ.

Teorema 4.0.20. Sia dato un rivestimento

ϕ : (X, x) → (Y, y)

e sia G < Aut(ϕ). E’, allora, indotto il rivestimento f : (X, x) → (X/G, \overline{x}). Dunque, esiste unica una mappa continua

ϕ′ : X/G → Y

tale che ϕ′ ∘ f = ϕ, ed è un rivestimento. Inoltre, ϕ′ è banale se e solo se G = Aut(ϕ) e Im(ϕ_{∗}) ◁ Aut(ϕ). In tal caso,

Aut(ϕ) ≃ π_{1}(Y, y)/Im(ϕ_{∗}).

Osserviamo che ϕ′ è banale se e solo se l’azione di G sui fogli di ϕ è transitiva. In tal caso, infatti, è definito l’omomorfismo suriettivo

π_{1}(Y, y) → G

che ad ogni [γ] ∈ π_{1}(Y, y) associa la permutazione sulle fibre indotta dall’omotopia sollevata [γ̃]. Una G−orbita sarà, pertanto, una intera fibra, il che rende ϕ′ ad un solo foglio, cioè un omeomorfismo. Inoltre, se G è transitivo, segue che G = Aut(ϕ) da una banale applicazione dell’assenza di punti fissi della sua azione sui fogli.

Teorema 4.0.21. Dato uno spazio topologico connesso, localmente contrattile e di Hausdorff (in particolare, una varietà n−dimensionale), esiste un suo rivestimento semplicemente connesso, detto universale.

4.1. RIVESTIMENTI DI ℙ^{1} \ P 61

Ovviamente, per la Proposizione 4.0.16, un rivestimento universale di uno spazio assegnato è unico a meno di isomorfismo.

Nel seguito, chiamiamo di Galois un rivestimento con azione transitiva sui propri fogli.

4.1 Rivestimenti di ℙ^{1} \ P

Sia 𝕂(r) := {z ∈ ℂ : 0 < |z| < r}, per r > 0. Fissiamo, inoltre, una radice quadrata di -1 e conveniamo di chiamarla \sqrt{−1}. Indichiamo 𝕂 := S^{1} in ℂ.

Proposizione 4.1.1. Sia ℍ := {z ∈ ℂ : Re(z) < 0}. Sia il rivestimento universale

f_{∞} : ℍ → 𝕂

z ↦^{f_{∞}} exp(z).

Esso è di Galois e Aut(f_{∞}) ≃ ℤ consiste^{1} di tutte le mappe della forma λ_{m} : z ↦ z + m2π\sqrt{−1}, m ∈ ℤ. L’isomorfismo

π_{1}(𝕂, ∗) → Aut(f_{∞})

manda la classe [γ] corrispondente a γ : s ↦ exp(2π\sqrt{−1}s), s ∈ [0, 1], nella mappa z ↦ z − 2π\sqrt{−1}, generatore di Aut(f_{∞}).

Dimostrazione. Dati, z, z′ ∈ ℍ, si ha che f_{∞}(z) = f_{∞}(z′) ⟺ z′ = 2π\sqrt{−1}m + z, per qualche m intero. La (ovvia) transitività del rivestimento universale determina, allora, l’esistenza di un omeomorfismo di ℍ in sè che scambia z e z′ tra loro, cioè una mappa b ↦ b − 2π\sqrt{−1} che genera ciclicamente il gruppo Aut(f_{∞}) ≃ ℤ.

Lemma 4.1.2. La mappa f_{e} : 𝕂(r^{1/e}) → 𝕂(r), z ↦ z^{e} è rivestimento di Galois di grado e (cioè, a e fogli), per ogni e ∈ ℕ. Inoltre,

Aut(f_{e}) ≃ ℤ/eℤ

e tale gruppo consiste di tutte le mappe z ↦ ζz, ζ ∈< ζ_{e} >.

Dimostrazione. La prima affermazione è ovvia: per ogni z ∈ 𝕂(r), la sua fibra mediante f_{e} è discreta e, pertanto, si tratta di un rivestimento a e fogli, di Galois perchè π_{1}(𝕂, ∗) ≃ ℤ è commutativo. Inoltre, è chiaro che Im(f_{e}_{∗}) è sottogruppo di indice e in ℤ (unico per ciclicità). Ad ogni “giro” attorno a 0 in 𝕂(r^{1/e}) ne corrispondono e, mediante f_{e}, in 𝕂. Ora, siccome le mappe z ↦ ζz sopra descritte agiscono transitivamente sulle fibre f_{e}^{−1}(z), essendo priva di punti fissi l’azione di Aut(f_{e}) sulle medesime, segue che tale sottogruppo coincide necessariamente con Aut(f_{e}) stesso.

1Ricordiamo che uno spazio topologico e un suo retratto hanno uguale gruppo fondamentale

Corollario 4.1.3. Sia f : E → 𝕂(r) rivestimento a e fogli, con E connesso. Allora:

1. f è isomorfo a f_{e} : 𝕂(r^{1/e}) → 𝕂(r), z ↦ z^{e}. Allora, ogni omeomorfismo φ : E → 𝕂(r^{1/e}) che rappresenta l’isomorfismo in questione è unico a meno di moltiplicazione per una radice e−sima dell’unità ζ ∈< ζ_{e} >. Cioè, ogni altro φ′ con tale proprietà è tale che φ′ = ζφ.

2. Aut(f) ≃ ℤ/eℤ. Tale gruppo ha un elemento σ tale che, per ogni omeomorfismo φ : E → 𝕂(r^{1/e}) tale che f ≃^{φ} f_{e}, si ha che φσ^{−1} = ζ_{e}φ. Tale σ genera Aut(f) ed è chiamato generatore distinto.

3. Sia u ∈ E e p = f(u). Sia σ come sopra. Allora, γ : [0, 1] → 𝕂(r) tale

che

t ↦ p · exp(2π\sqrt{−1}t)

è curva chiusa con p = γ(0) = γ(1) ha sollevamento γ̃ mediante f con punto iniziale σ(u) avente punto finale u.

4. Siano 0 < r̂ < r, Ê := f^{−1}(𝕂(r̂)) e f̂:= f|Ê. Allora, Ê è connesso e f̂: Ê → 𝕂(r̂) è rivestimento a e fogli. Il generatore distinto di Aut(f) si restringe, coì, a quello di Aut(f̂).

Dimostrazione. 1) Sia u ∈ E e p = f(u). Poichè π_{1}(𝕂(r), p) agisce sempre transitivamente sulle fibre del rivestimento (a differenza del gruppo degli automorfismi), si ha che l’orbita di tale azione (cioè la fibra f^{−1}(p)) è in biiezione con π_{1}(𝕂, p)/Stab_{f}(u). Essendo la fibra in questione composta di e elementi, segue facilmente che Stab_{f}(u) ha indice e. Siccome, però, π_{1}(𝕂(r), p) è ciclico, ammette un solo sottogruppo di indice e. Ripetendo lo stesso ragionamento con f_{e} e Stab_{f_{e}} si arriva alla stessa conclusione. Ora, poichè π_{1}(𝕂(r), p) è commutativo, f e f_{e} sono di Galois e, pertanto, l’omeomorfismo di E (come di 𝕂(r^{1/e})) che scambia i fogli fa sì che, se un laccio di π_{1}(𝕂(r), p) si solleva ad un laccio in u, farà lo stesso anche su tutti gli altri punti della fibra di p. Dunque, Stab_{f}(u) = Im(f_{∗}) e Stab_{f_{e}}(u) = Im(f_{e}_{∗}). In conclusione, per la Proposizione 4.0.16, f ≃ f_{e}. D’altro canto, scelti φ e φ′ come sopra, sia α := φ′φ^{−1}. Poichè α ∈ Aut(f_{e}), la conclusione segue immediatamente dal precedente Lemma.

2) Da quanto precedentemente detto segue subito che Aut(f) ≃ Aut(f_{e}) ≃ ℤ/eℤ. Naturalmente, la mappa

g ↦ φ ∘ g ∘ φ^{−1}

è isomorfismo da Aut(f) in Aut(f_{e}). Esso è indipendente dalla scelta di φ. Infatti, per φ′ e α come sopra, abbiamo φ′∘g∘(φ′)^{−1} = α∘(φ∘g∘φ^{−1})∘α^{−1} = φ ∘ g ∘ φ^{−1}, in quanto Aut(f_{e}) è abeliano. Ora, la moltiplicazione per ζ_{e}^{−1} è un generatore di Aut(f_{e}) per il precedente Lemma. Sia σ l’immagine inversa di questo generatore in Aut(f) mediante il precedente isomorfismo. Allora, è chiaro che σ soddisfa la proprietà desiderata ed è unico.

3) Sia u′ = φ(σ(u)) ∈ f_{e}^{−1}(p). Definiamo la curva γ̃ : I → 𝕂(r^{1/e}) come il sollevamento di γ a partire da u′. Allora, γ̃ : t ↦ u′ · exp(2π\sqrt{−1}t/e). Applicando φ^{−1} segue che φ^{−1} ∘ γ̃ è il sollevamento di γ mediante f con punto iniziale σ(u). Il punto finale è φ^{−1} ∘ γ̃(1) = φ^{−1}(u′ · exp(2π\sqrt{−1}/e)) = φ^{−1}(ζ_{e}φ(σ(u))) = u, per il punto 2).

4) Segue subito dal punto 1).

Sia ℙ^{1} il proiettivo unidimensionale di ℂ, che sappiamo essere omotopicamente equivalente alla sfera S^{2} e, in particolare, pensabile^{2} come ℂ ∪ {∞}. Per p ∈ ℙ^{1} sia il disco aperto D(p, r) centrato in p di raggio r > 0 definito come segue:

D(p, r) := \begin{cases}\{z ∈ ℂ : |z − p| < r\} & se p ∈ ℂ \\ \{z ∈ ℂ : |z| > 1/r\} ∪ \{∞\} & se p = ∞ \end{cases}

Il sistema appena descritto rappresenta una base di intorni aperti di ℙ^{1}, che lo rende spazio topologico omeomorfo a S^{2}. Sia, da qui in avanti, P un sottoinsieme finito di ℙ^{1}.

Proposizione 4.1.4. Sia f : R → ℙ^{1} \ P rivestimento di Galois finito. Sia p ∈ P.

1. Sia D = D(p, r) un disco centrato in p di raggio r che non contenga altri elementi di P. Allora, D^{∗} := D − {p} è contenuto in ℙ^{1} \ P. Sia κ_{p} : D^{∗} → 𝕂(r) omeomorfismo che manda z in z − p per p ∈ ℂ (rispettivamente, in 1/z, per p = ∞). Allora, per ogni componente connessa E di f^{−1}(D^{∗}), la mappa f_{E} = κ_{p} ∘ f|_{E} è un rivestimento f_{E} : E → 𝕂(r) ad un numero finito di fogli. Si chiama ogni E siffatta una componente circolare di livello r su p.

2Possiamo immaginare un piano cartesiano pensando i due assi ortogonali come due rette complesse, tracciare la circonferenza S^{1} attorno a 0 e quozientare antipodalmente. Si otterrà un semicerchio (identificato stereograficamente con l’asse orizzontale) i cui vertici si identificano, rappresentando ∞

2. Sia 0 < r̂ < r. Allora, esiste una biiezione tra le componenti circolari E di livello r e le componenti circolari Ê di livello r̂ su p, data per inclusione. Se Ê ⊂ E ⟹ fÊ è restrizione di f_{E} a Ê, e Ê = f_{E}^{−1}(𝕂(r̂)).

3. Il gruppo Aut(f) permuta le componenti circolari E di f^{−1}(D^{∗}) transitivamente. Restringendo l’azione di Stab(E) a E viene indotto un isomorfismo Stab(E) ≃ Aut(f_{E}). Dunque, Stab(E) è ciclico. Sia h_{E} ∈ Stab(E) l’elemento corrispondente al generatore distinto di Aut(f_{E}). Chiamiamo, allora, h_{E} il generatore distinto di Stab(E).

4. Sia h ∈ Aut(f) e E′ = h(E). Allora, hh_{E}h^{−1} = h_{E′}. Allora, gli h_{E} siffatti formano una classe coniugio C_{p} di Aut(f). La classe C_{p} dipende solo da p e da f, ma non dalla scelta del disco D. Sia e l’ordine comune degli elementi di C_{p}. Allora, e è il numero di fogli del rivestimento f_{E} : E → 𝕂(r) per ogni componente E di f^{−1}(D^{∗}). In particolare, C_{p} = {1} ⟺ f_{E} è omeomorfismo.

5. Sia p^{∗} ∈ D^{∗} e \overline{p} = κ_{p}(p^{∗}). Sia λ(t) = κ_{p}^{−1}(\overline{p} · exp(2π\sqrt{−1}t)) un laccio in D^{∗} fissato in p^{∗}. Sia b un punto di R, e q_{0} = f(b). Inoltre, sia δ un cammino in ℙ^{1} \ P che unisce q_{0} e p^{∗}. Allora, γ := δ^{−1}λδ è laccio in ℙ^{1} \ P fissato in q_{0}, e la mappa suriettiva indotta dal sollevamento delle omotopie

π_{1}(ℙ^{1} \ P, q_{0}) → Aut(f)

manda [γ] in un elemento di C_{p}.

Dimostrazione. 1) Ovvio.

2) Banalmente, f^{−1}(D(p, r̂) \ {p}) ⊂ f^{−1}(D^{∗}) e Ê = f_{E}^{−1}(𝕂(r̂)) = E ∩ f^{−1}(D(p, r̂)\{p}), essendo tale insieme connesso per il punto 4) del precedente Corollario. L’isomorfismo tra rivestimenti di Galois di 𝕂(r′), valido per ogni r′, fa sì, quindi, che il numero di componenti connesse di f^{−1}(D(p, r̂) \ {p}) sia costante e non dipenda dal raggio r̂, dovendo rimanere invariati il numero dei fogli e l’azione del rivestimento su questi.

3) Poichè Aut(f) agisce transitivamente sui fogli, permuta anche le componenti connesse E di f^{−1}(D^{∗}) in modo transitivo. Si faccia attenzione al fatto che, proprio in quanto gli elementi di Aut(f) sono omeomorfismi di R in sè, pur potendo scambiare fogli legati a componenti connesse differenti, dovranno necessariamente agire anche come permutazioni sull’insieme di tali componenti. Se, quindi, h ∈ Aut(f) manda un punto di E in un punto di E′, manderà ogni punto di E in un punto di E′. Dunque, è indotto un isomorfismo Stab(E) ≃ Aut(f_{E}). Infatti, per p^{∗} ∈ D^{∗}, l’insieme F_{E} = f^{−1}(p^{∗}) ∩ E è una fibra del rivestimento f_{E}. Agendo Aut(f) transitivamente su f^{−1}(p^{∗}), ogni coppia di punti di F_{E} può essere scambiata mediante qualche h ∈ Stab(E), per quanto detto sopra. Dunque, Stab(E) agisce transitivamente su F_{E} e la restrizione induce l’isomorfismo cercato.

5) Il sollevamento δ̃ di δ mediante f con punto iniziale b, ha punto finale b^{∗} ∈ f^{−1}(p^{∗}) in qualche componente connessa E di f^{−1}(D^{∗}). Sia λ̃ il sollevamento di λ mediante f con punto iniziale h_{E}(b^{∗}). Quindi, il punto finale di λ̃ è b^{∗}, in quanto, come detto nel punto 3), h_{E} è generatore distinto di Aut(f_{E}). Il cammino h_{E} ∘ δ̃ è il sollevamento di δ con punto iniziale h_{E}(b). Quindi, δ̃^{−1}λ̃(h_{E} ∘ δ̃) è il sollevamento di γ con punto iniziale h_{E}(b). Chiaramente, avrà come punto finale b. Dunque, a [γ] è associato h_{E} ∈ C_{p} mediante l’omomorfismo suriettivo π_{1}(ℙ^{1} \ P, q_{0}) → Aut(f).

4) Sia h ∈ Aut(f). Allora, h ∘ λ̃ è il sollevamento di λ mediante f, con punto iniziale h(h_{E}(b^{∗})) ∈ h(E) = E′, e punto finale h(b^{∗}). A differenza che con il sollevamento λ̃, questa volta abbiamo un sollevamento di λ che ha punto finale in un’altra componente connessa: E′. Consideriamo, quindi, il generatore distinto h_{E′} di Aut(f_{E′}). Il sollevamento relativo di λ nel punto h_{E′}(h(h_{E}(b^{∗}))) sarà allora la curva h_{E′} ∘ h ∘ λ̃, avente punto finale il punto iniziale di h∘λ̃, cioè h(h_{E}(b^{∗})), sempre per le proprietà del generatore distinto di Aut(f_{E′}), viste nel precedente Corollario. Cioè, h_{E′}(h(b^{∗})) = h(h_{E}(b^{∗})). Dunque, h_{E}^{−1}h^{−1}h_{E′}h fissa b^{∗} e, quindi, è l’identità. Dunque, hh_{E}h^{−1} = h_{E′}. Nella situazione del punto 2), con Ê ⊂ E, abbiamo, per il punto 4) del precedente Corollario, hÊ = h_{E}, dunque C_{p} non dipende dalla scelta del disco D^{∗}. Inoltre, per ciclicità di Aut(f_{E}), il numero di fogli di f_{E} è esattamente l’ordine e degli elementi di C_{p}.

Sia f : R → ℙ^{1} \ P rivestimento di Galois con un numero finito di fogli. Diciamo che r > 0 è sufficientemente piccolo se D(p, r) ∩ P = {p} per ogni p ∈ P. Fissiamo, ora, p ∈ P. Diciamo che due componenti circolari su p, E ed Ê, sono in relazione tra loro (cioè, tali che E ≡ Ê) se E ⊂ Ê o viceversa. Questa è, per il punto 2) della Proposizione precedente, una relazione di equivalenza all’interno della classe delle componenti circolari su p di livello sufficientemente basso. Tali classi di equivalenza sono dette punti ideali di R su p. Fissato, quindi, r sufficientemente piccolo, ogni punto ideale su p è rappresentato da una sola componente circolare di livello r su p. Cioè, il numero dei punti ideali di R su p è il numero di componenti connesse E di f^{−1}(D^{∗}). Poichè Aut(f) agisce transitivamente su tali componenti, segue che il numero dei punti ideali in questione è ≤ |Aut(f)| =numero di fogli di f. Come visto nel Corollario 4.1.3, tali componenti connesse E sono omeomorfe a dischi privi del centro (i 𝕂(r^{1/e})). I punti ideali sono, quindi, assimilabili ai “centri mancanti”.

Proposizione 4.1.5. Sia f : R → ℙ^{1} \ P rivestimento di Galois finito. Sia \overline{R} l’unione disgiunta di R e dei punti ideali di tutti i p ∈ P. Si definisca V ⊂ \overline{R} aperto se V ∩ R è aperto in R e, per ogni punto ideale π ∈ V, esiste E ∈ π tale che E ⊂ V. Tale topologia rende \overline{R} spazio compatto, connesso e di Hausdorff. Il rivestimento f si estende ad una mappa continua e suriettiva \overline{f} : \overline{R} → ℙ^{1} tale che \overline{f}(π) = p per ogni punto ideale π su p. Inoltre, ogni α ∈ Aut(f) si estende in modo unico ad un omeomorfismo \overline{α} : \overline{R} → \overline{R}, con \overline{f} ∘ \overline{α} = \overline{f}.

Dimostrazione. E’ chiaro che gli aperti appena definiti rendono \overline{R} spazio topologico. Sempre da tale definizione, si ha facilmente che, fissato un punto ideale π, ogni E ∈ π è tale che E ∪ \{π\} è intorno aperto di π in \overline{R}, e ogni intorno aperto V siffatto contiene un tale insieme. Sia, quindi, p ∈ P, e siano π_{1}, ..., π_{m} i punti ideali ad esso legati. Allora, per ognuno di essi ed un livello r sufficientemente basso, vi è esattamente un E_{j} ∈ π_{j} di livello r, per la Proposizione precedente. Si ha, allora,

\overline{f}^{−1}(D(p, r)) = ⋃_{j=1}^{m} E_{j} ∪ \{π_{j}\}.

Poichè f è continua su R, la continuità di \overline{f} segue dal fatto che, come appena osservato, antitrasforma D(p, r) in una unione di aperti di \overline{R}. Ora, ogni α ∈ Aut(f) agisce transitivamente, per quanto precedentemente visto, sulle componenti circolari su p ∈ P di livello r sufficientemente basso e, grazie alla corrispondenza biunivoca sussistente tra le componenti di diverso livello (sufficientemente basso) sullo stesso p, ciò si traduce banalmente in una azione transitiva del tutto identica sui punti ideali di p. Si estende, allora, univocamente ed in modo banale α ad una biiezione \overline{α} : \overline{R} → \overline{R} tale che \overline{f} ∘ \overline{α} = \overline{f}. Siccome, ora, tale \overline{α} permuta gli intorni aperti E_{j} ∪ \{π_{j}\} e α è omeomorfismo di R (il quale è denso in \overline{R} rispetto alla topologia appena introdotta) in sè, segue che \overline{α} è omeomorfismo a sua volta. Vediamo, ora, che \overline{R} è di Hausdorff: presi due punti distinti di \overline{R} aventi diversa immagine in ℙ^{1} mediante \overline{f}, essendo ℙ^{1} spazio di Hausdorff esisteranno due aperti disgiunti U e V che separano le immagini. Essendo \overline{f} continuo e suriettivo, \overline{f}^{−1}(U) e \overline{f}^{−1}(V) sono due aperti che separano i due punti iniziali. Se, infatti, si intersecassero \overline{f} non potrebbe essere una funzione. Se, invece, tali due punti hanno uguale immagine, se questa è in ℙ^{1} \ P esiste un intorno di essa sufficientemente piccolo affinchè le antimmagini non si intersechino, grazie alle proprietà conseguenti dal fatto che f è rivestimento. Se tale immagine è, invece p ∈ P, i due punti in questione sono punti ideali π_{i} e π_{j}, separati dai due aperti E_{i} ∪ \{π_{i}\} e E_{j} ∪ \{π_{j}\}. Inoltre, \overline{R} è connesso in quanto R è denso in \overline{R} ed è connesso. Per densità, infatti, \overline{R} è componente connessa in sè (cioè chiusa e aperta), dalla connessione di R. Per dimostrare la compattezza di \overline{R} cominciamo con l’osservare che tale spazio ha base numerabile. Consideriamo ogni V = D(a, r) ⊂ ℙ^{1} \ P aperto del ricoprimento speciale di ℙ^{1} \ P che rende f un rivestimento, tale che a ∈ ℚ o a = ∞, e r ∈ ℚ. Consideriamo, quindi, tutte le componenti connesse in \overline{R} di f^{−1}(V) per ogni V siffatto. Consideriamo, inoltre, tutti gli insiemi E ∪ {π}, per π punto ideale tale che E ∈ π per un livello r ∈ ℚ sufficientemente basso. Allora, ogni aperto di \overline{R} è unione di aperti delle forme sopra elencate. Infatti, sia U un aperto di \overline{R}. Esso è, allora, unione di un aperto di R con uno o più intorni aperti di qualche punto ideale, della forma E_{j} ∪ {π_{j}} come sopra. Se tale aperto di R non è omeomorfo ad un aperto di ℙ^{1} mediante f, sarà unione di aperti siffatti. Ogni aperto di \overline{R} è, pertanto, unione di aperti di R e di intorni aperti di punti ideali, in quantità numerabile rispettivamente, essendovene uno per ogni foglio del rivesimento f (dunque, in realtà, in quantità finita). Ciascuno di questi è, però, omeomorfo ad un aperto di ℙ^{1}, varietà 2-dimensionale e, quindi, a base numerabile costituita dai dischi D(a, r), per r livello razionale sufficientemente basso. Le antimmagini di questi ultimi mediante \overline{f} sono esattamente gli aperti prima descritti e, pertanto, determinano una base numerabile di \overline{R}. Di fatto, per giungere a tale risultato si è sfruttato l’omeomorfismo locale determinato da f tra R e ℙ^{1} \ P, che rende R a base numerabile. Per tale ragione, quindi, un insieme in \overline{R} è compatto se e solo se è sequenzialmente compatto. Sia, quindi, {a_{n}}_{n∈ℕ} una successione in \overline{R}. Allora, \{\overline{f}(a_{n})\}_{n∈ℕ} è successione in ℙ^{1}, che è compatto. Dunque, la successione immagine ammette sottosuccessione convergente ad un punto di ℙ^{1}. Allora, deve esistere un elemento della fibra di tale punto mediante \overline{f}, a cui converga una sottosuccessione di {a_{n}}_{n∈ℕ}. Se, infatti, ciò fosse falso, preso b in tale fibra, esiste un suo intorno aperto U_{b} che non contiene alcun a_{n}. Ora, ogni intorno di \overline{f}(b) contiene qualche \overline{f}(a_{n}), dunque lo stesso vale per l’immagine mediante \overline{f} di U_{b}. Essendo U_{b} ⊂ \overline{f}^{−1}(\overline{f}(U_{b})), si ha subito l’assurdo.

Teorema 4.1.6. Sia P := {p_{1}, ..., p_{n}} sottoinsieme finito di ℂ, di cardinalità n. Allora, definito S := ℙ^{1} \ P:

1. π_{1}(S, ∗) =< γ_{1}, ..., γ_{n}|γ_{1}...γ_{n} = 1 >, dove ∗ ∉ P e ogni γ_{i} è laccio fissato su ∗ che compie un solo giro antiorario esclusivamente attorno a p_{i} e la cui immagine in S non interseca nessun elemento di P^{3}.

3Naturalmente, per tale asserto, non è affatto necessario che P ⊂ ℂ. Si consideri senza alcuna perdita di generalità P ⊂ ℙ^{1} in questo primo punto del Teorema. L’ipotesi che P ⊂ ℂ è necessaria solo per il secondo punto.

2. Sia G gruppo avente generatori g_{1}, ..., g_{n}. Allora, esistono un rivestimento di Galois f : R → S ed un isomorfismo φ : Aut(f) ≃ G tale che, detta

Φ : π_{1}(S, ∗) → Aut(f)

la mappa suriettiva di sollevamento di ogni classe di omotopia [γ], la composizione

φ ∘ Φ : π_{1}(S, ∗) → G

opera in modo φ ∘ Φ : [γ_{i}] ↦ g_{i} per ogni i = 1, ..., n. Ora, se G è finito, si ha che f : R → S \ {∞} è rivestimento di Galois finito e, date le classi C_{p_{i}} e C_{∞} di G, abbiamo

g_{i} ∈ C_{p_{i}} e (g_{1}...g_{n})^{−1} ∈ C_{∞}

per i = 1, ..., n.

Dimostrazione. 1) Si ricopre S con n aperti ottenuti “ingrandendo” le regioni di S delimitate dagli n lacci γ_{i}, in modo che tali “ingrandimenti”, essendo S di Hausdorff, oltre a ricoprire S separino i p_{i} ∈ P. L’intersezione comune contiene ∗ ed è semplicemente connessa. Il Teorema di Van Kampen conclude.

2) La presentazione di G mediante i generatori g_{1}, ..., g_{n} è

G =< g_{1}, ..., g_{n}|R_{1}, ..., R_{t} >

dove le R_{i} sono relazioni della forma P_{i} = 1, per P_{i} parola costruita con le n lettere g_{i}. Consideriamo, per ora, S̃:= ℂ \ P. Allora,

π_{1}(S̃, ∗) ≃ ∗_{i=1}^{n}ℤ =: F (n).

Sia H il sottogruppo di π_{1}(S̃, ∗) generato da tutte le parole P_{i} che determinano G e dai loro coniugati. Allora, H ◁ π_{1}(S̃, ∗) e G ≃ F (n)/H. Dato ψ : X → S̃ rivestimento universale, si ha il rivestimento di Galois

ϕ : R := X/H → S̃

come nel Teorema 4.0.20, tale che Aut(ϕ) ≃ π_{1}(S̃, ∗)/H ≃ G. Il medesimo discorso vale per S. Infatti, S = S̃∪{∞} e, pertanto, è indotto un rivestimento di Galois (finito se G è finito) della forma f : R → S\{∞}. Inoltre, il punto 5) della Proposizione 4.1.4 fa sì che, date C_{p_{i}} le classi coniugio associate ai punti p_{i}, i generatori g_{i} di G, in quanto corrispondenti ai [γ_{i}] per la costruzione dell’isomorfismo φ : Aut(f) ≃ G, siano esattamente i generatori distinti delle componenti connesse E_{i} relative ad ogni p_{i} (si veda anche il Corollario 4.1.3).

Essendo, allora, G =< g_{1}, ..., g_{n}, g_{∞}|R_{1}, ..., R_{t}, g_{1}...g_{n}g_{∞} = 1 >, è chiaro, dalla costruzione fatta sopra, che (g_{1}...g_{n})^{−1} corrisponde, a meno di omotopia, al laccio in S che “gira attorno” a ∞, cioè ad un elemento di C_{∞} mediante l’identificazione G ≃ Aut(f), per la Proposizione 4.1.4.

Osserviamo che π_{1}(S^{2}, ∗) = π_{1}(S^{2} \ {p}) = 0, cioè che, nel caso in cui n = 0, il gruppo G è banale, cioè il rivestimento f prima descritto è un omeomorfismo.

Definizione 4.1.7. Sia f : R → ℙ^{1} \ P rivestimento finito e di Galois. Sia C_{p} la classe coniugio associata a p per ogni p ∈ P. Sia

P′ := {p ∈ P : C_{p} ≠ {1}}.

Chiamiamo tipo di ramificazione di f la classe di equivalenza di triple

(Aut(f), P′, {C_{p}}_{p∈P′})

secondo il criterio dato in proposito nel secondo capitolo.

Cerchiamo, ora, di capire quali conseguenze ha sul tipo di ramificazione di un rivestimento finito e di Galois di ℙ^{1} \ P un cambio di varibili su ℙ^{1}. Sia un omeomorfismo g : ℙ^{1} → ℙ^{1} della forma

\begin{cases}z ↦ z − p_{0} \\ ∞ ↦ ∞ \end{cases}

per p_{0} ∈ ℂ, oppure

\begin{cases}z ↦ 1/z \\ 0 ↦ ∞ \\ ∞ ↦ 0 \end{cases} .

Abbiamo, allora, che f̃:= g ∘ f : R → ℙ^{1} \ g(P) è un altro rivestimento finito di Galois, tale che

Aut(f̃) = Aut(f).

Inoltre, f̃ ha tipo di ramificazione [Aut(f), g(P′), {C_{g^{−1}(q)}}_{q∈g(P′)}]. Infatti, per p ∈ P e γ laccio in S = ℙ^{1} che gira attorno a p, sia γ̃ := g ∘ γ laccio che gira una volta attorno a g(p), sempre in senso antiorario, conservando g l’orientazione. Sia b ∈ f^{−1}(q_{0}), dove q_{0} è il punto iniziale e finale di γ. Il sollevamento di γ̃ mediante f̃ equivale al sollevamento di γ mediante f, entrambi costruiti sul punto iniziale b. Ora, l’unico elemento di Aut(f) = Aut(f̃) che manda il punto finale di tale sollevamento nel punto iniziale b è, per il Corollario 4.1.3 (punto 3)), nella classe di Aut(f) associata a p, e nella classe di Aut(f̃) associata a g(p).

Teorema 4.1.8. (R.E.T.-Teorema di Esistenza di Riemann-Forma Topologica) Sia τ = [G, P, {K_{p}}_{p∈P}] tipo di ramificazione, con P = {p_{1}, ..., p_{r}}. Allora, esiste un rivestimento finito di Galois di ℙ^{1} \ P di tipo τ se e solo se esistono dei generatori g_{1}, ..., g_{r} di G tali che g_{1}...g_{r} = 1 e g_{i} ∈ K_{p_{i}}, per i = 1, ..., r.

Dimostrazione. Supponiamo che G abbia generatori g_{1}, ..., g_{r} come nelle ipotesi. Per le considerazioni svolte sopra, possiamo scegliere un cambio di coordinate in ℙ^{1} in modo che ∞ ∈ P. Assumiamo, pertanto, p_{r} = ∞. Per il Teorema precedente, applicato al caso n = r − 1, esiste un rivestimento finito di Galois f : R → ℙ^{1} \ P tale che Aut(f) ≃ G e che ogni g_{i} è contenuto nella classe C_{p_{i}} di Aut(f) associata a p_{i}, per i = 1, ..., n. Inoltre, g_{r} = (g_{1}...g_{n})^{−1} ∈ C_{∞} = C_{p_{r}}. Dunque, C_{p} = K_{p} per ogni p ∈ P. In conclusione, f ha tipo di ramificazione τ. Supponiamo, ora, viceversa che esista f : R → ℙ^{1} \ P rivestimento finito di Galois di tipo τ. Possiamo, allora, assumere che G ≃ Aut(f) e C_{p} = K_{p} per ogni p ∈ P. Sia S = ℙ^{1} \ P. Si consideri nuovamente n = r − 1 e si scelgano ∗ ∈ S e γ_{1}, ..., γ_{n} lacci γ_{i} : [0, 1] → S fissati in ∗ tali che, per ogni i = 1, ..., n, γ_{i} percorra un solo giro attorno a p_{i}. Sia, allora, γ_{r} := (γ_{1}...γ_{n})^{−1}. Data, allora, la mappa suriettiva di sollevamento delle omotopie

Φ : π_{1}(S, ∗) → G,

abbiamo che g_{i} := Φ([γ_{i}]) ∈ C_{p_{i}} per i = 1, ..., r. Gli elementi g_{1}, ..., g_{r} generano G per il precedente Teorema e, chiaramente, g_{1}...g_{r} = 1.

4.2 Legame tra forma algebrica e forma topologica

Cerchiamo di spiegare, a questo punto, la necessarietà delle tecniche geometriche finora esposte nella dimostrazione della forma algebrica del R.E.T. e, più in generale, nello sviluppo della tecnica della Rigidità. Cominciamo con alcune nozioni preliminari.

Definizione 4.2.1. Si dice superficie di Riemann uno spazio topologico connesso e di Hausdorff Y che ammette un atlante di carte compatibili (nel senso delle varietà) che lo rendono 1-varietà complessa olomorfa.

In altre parole, un Y siffatto è uno spazio connesso e di Hausdorff localmente omeomorfo ad aperti di ℂ mediante un sistema di carte {(V_{j}, ϕ_{j})} compatibili in senso olomorfo, cioè tali che

ϕ_{i}ϕ_{j}^{−1} : ϕ_{j}(V_{i} ∩ V_{j}) → ϕ_{i}(V_{i} ∩ V_{j})

4.2. LEGAME TRA FORMA ALGEBRICA E FORMA TOPOLOGICA71

è un biolomorfismo. Naturalmente, ℙ^{1} è una superficie di Riemann, rispetto all’atlante

{(V_{1}, ϕ_{1}), (V_{2}, ϕ_{2})}

dove V_{1} := ℂ e V_{2} := ℂ^{∗} ∪ {∞}, e dove

ϕ_{1} = id_{ℂ}, ϕ_{2} : z ↦ \begin{cases}1/z & se z ∈ ℂ^{∗} \\ 0 & se z = ∞ \end{cases} .

La superficie di Riemann risultante è chiamata sfera di Riemann.

Definizione 4.2.2. 1. Una mappa continua f : Y → Z tra superfici di Riemann è detta analitica se, fissate le carte (V, ϕ) e (V′, ϕ′), rispettivamente, su Y e Z tali che f(V) ⊂ V′, la mappa ϕ′ ∘f ∘ϕ^{−1} : ϕ(V) → ϕ′(V′) è olomorfa.

2. Data Y superficie di Riemann, una funzione meromorfa su Y è una funzione analitica della forma f : Y → ℙ^{1} diversa dalla funzione costantemente ∞. Denotiamo M(Y) l’insieme delle funzioni meromorfe su Y.

Come è noto dall’Analisi Complessa in 1 variabile, una funzione meromorfa su un aperto D di ℂ è una funzione che ammette sviluppo in serie di Laurent

∑_{i=N}^{+∞} a_{i}(z − p)^{i}

per ogni p ∈ D, dove N ∈ ℤ e a_{i} ∈ ℂ. Data, quindi, una carta (V, z) su Y, ogni funzione meromorfa g su Y si esprime nella forma

g(v) = ∑_{i=N}^{+∞} a_{i}(z(v) − z(v_{0}))^{i}

per ogni v_{0} ∈ V, in un suo intorno in V.

Proposizione 4.2.3. Data Y superficie di Riemann, M(Y) è un campo.

Dimostrazione. Come prima cosa, osserviamo che, data f ∈ M(Y), l’insieme dei suoi poli (cioè dove assume valore ∞) è discreto. Infatti, dato v un polo di f, esiste N intero negativo tale che

f(z) = ∑_{i=N}^{+∞} a_{i}(z − z(v))^{i}

per ogni z in un intorno sufficientemente piccolo di z(v) =: p in ℙ^{1}. Per tali z ≠ p, allora, f(z) ≠ ∞ con facilità. Detto questo, è chiaro che somma e prodotto, definiti in modo ovvio, di due mappe f, f′ : Y → ℙ^{1} analitiche non costantemente ∞ sono ancora mappe analitiche della stessa forma. Basta, infatti, osservare che il loro sviluppo di Laurent è, nei poli, l’unica estensione analitica di f ± f′ e ff′, ristrette ai punti di Y che non sono i loro poli. Dunque, M(Y) è anello commutativo con unità. Inoltre, data f ∈ M(Y), è chiaro, per un ragionamento sui suoi zeri analogo a quello prima descritto relativamente ai suoi poli, che l’insieme dei suoi zeri è discreto e, pertanto, tale è l’insieme dei poli di 1/f. Infine, la composizione di f con la mappa analitica ϕ_{2} legata all’atlante che rende ℙ^{1} superficie di Riemann, rende ovviamente analitica 1/f.

Ora, è chiaro che la funzione identità è meromorfa su ℙ^{1}. Poichè, M(ℙ^{1}) è un campo, conterrà ℂ(z), ossia la più piccola estensione di ℂ (campo delle meromorfe costanti) contenente l’identità. Ora, essendo ℙ^{1} compatto, ogni f ∈ M(ℙ^{1}) avrà solo un numero finito di poli p_{1}, ..., p_{s}. A meno di composizione con la mappa analitica ϕ_{2}, è lecito assumere che ∞ non sia un polo. E’ facile capire, ora, come per ogni p_{i} esista una funzione f_{i} meromorfa avente unico polo p_{i} tale che f − f_{i} non abbia p_{i} come polo. Allora, la funzione g := f − ∑_{i=1}^{s} f_{i} è olomorfa su ℂ ed è limitata non essendo ∞ un polo. Dunque, per il Teorema di Liouville, è costante. In conclusione, quindi,

M(ℙ^{1}) = ℂ(z),

essendo ogni f_{i} della forma c/(z − p_{i})^{a} per c costante in ℂ.

Supponiamo, da qui in avanti, P sottoinsieme finito di ℙ^{1} e f : R → ℙ^{1} \ P rivestimento finito e di Galois.

Lemma 4.2.4. Sia U aperto del ricoprimento di S := ℙ^{1} \ P che rende f un rivestimento, tale che {0, ∞} ⊈ U. Per ogni aperto V ⊂ f^{−1}(U) omeomorfo a U, sia ϕ := f|_{V} se ∞ ∉ U, e ϕ := 1/f|_{V} se ∞ ∈ U. Allora, il sistema di coppie (V, ϕ) appena descritto determina un atlante su R, che rende R superficie di Riemann e la mappa f : R → ℙ^{1} analitica. Inoltre, ogni α ∈ Aut(f) è una mappa analitica α : R → R.

Dimostrazione. Date (V_{i}, ϕ_{i}) e (V_{j}, ϕ_{j}) come sopra, si ha che ϕ_{i}ϕ_{j}^{−1} : ϕ_{j}(V_{i} ∩ V_{j}) → ϕ_{i}(V_{i} ∩V_{j}) è l’identità o la mappa z ↦ 1/z. In ogni caso, è biolomorfa. Tali coppie formano quindi un atlante su R, che rende R superficie di Riemann e f : R → ℙ^{1} analitica. Nelle coordinate locali di R appena definite, infatti, α ∈ Aut(f) è l’identità e f l’identità o la mappa z ↦ 1/z.

Sia \overline{f} : \overline{R} → ℙ^{1} l’estensione di f ai punti ideali descritta nella Proposizione 4.1.5. Chiamiamo \overline{f} = f da qui in avanti, per semplicità. Fissato un numero r > 0, per ogni E ∈ π di livello r consideriamo f_{E} := κ_{p} ∘ f|_{E} : E → 𝕂(r) rivestimento a e fogli, per p = f(π). Sappiamo, allora, che esiste un omeomorfismo ϕ : E → 𝕂(r^{1/e}) tale che ϕ^{e} = f_{E}. Si estende ad un omeomorfismo ϕ_{π} : V_{π} → D(0, r^{1/e}), dove V_{π} := E ∪ {π} e D(0, r^{1/e}) = 𝕂(r^{1/e}) ∪ {0}, che manda π in 0. Si tratta di un omeomorfismo in quanto, per ogni r̂ < r, Ê∪{π} corrisponde a D(0, r̂^{1/e}) mediante ϕ, per la Proposizione 4.1.4. Dunque, ϕ_{π} fa corrispondere intorni aperti di π in V_{π} ad intorni aperti di 0 in D(0, r^{1/e}). Ora, le coppie (V_{π}, ϕ_{π}) costituiscono un sistema di coordinate negli intorni dei punti ideali di p in \overline{R}. Insieme alle carte prima descritte che rendono R superficie di Riemann, formano un nuovo sistema di carte per \overline{R}.

Lemma 4.2.5. Il sistema di carte su \overline{R} appena definito costituisce un atlante. Ciò rende \overline{R} superficie di Riemann compatta tale che la mappa f : \overline{R} → ℙ^{1} sia analitica. Inoltre, ogni α ∈ Aut(f) si estende univocamente ad un omeomorfismo analitico \overline{α} : \overline{R} → \overline{R} tale che f ∘ \overline{α} = f.

Dimostrazione. Siano (V, ϕ) e (V_{π}, ϕ_{π}) due carte su \overline{R} tali che la prima fa parte dell’atlante già definito che rende R superficie di Riemann, e la seconda è del tipo sopra descritto. Allora, ϕ_{π}^{e} = f_{E} su V ∩V_{π}, dove p = f(π). Dunque, ϕϕ_{π}^{−1} : ϕ_{π}(V ∩V_{π}) → ϕ(V ∩V_{π}) agisce da un aperto di D(0, r^{1/e}) in un aperto di S omeomorfo a V ∩V_{π} mediante il rivestimento f. Dalla definizione data nel precedente Lemma del sistema di carte che rende R superficie di Riemann si ha che, per z ∈ ϕ_{π}(V ∩ V_{π}) ⊂ D(0, r^{1/e}), la mappa ϕϕ_{π}^{−1} agisca come z ↦ κ_{p}^{−1}(z^{e}) se ∞ ∉ f(V), mentre z ↦ 1/κ_{p}^{−1}(z^{e}) se ∞ ∈ f(V). Ora, poichè π ∉ V, si ha che 0 ∉ ϕ_{π}(V ∩ V_{π}) e, quindi, ϕϕ_{π}^{−1} risulta essere olomorfa. E’, inoltre, omeomorfismo in quanto ϕ_{π} è omeomorfismo tra V_{π} e D(0, r^{1/e}) e ϕ lo è tra V e f(V). Dunque, tale mappa è biolomorfismo. Pertanto, (V, ϕ) e (V_{π}, ϕ_{π}) sono coppie compatibili. Siano, ora, due carte della forma prima descritta (V_{π}, ϕ_{π}) e (V′_{π′}, ϕ′_{π′}) gli intorni coordinati di due punti ideali π e π′ in \overline{R}. Allora, se π ≠ π′, essendo il livello r fissato, per ipotesi, tale che D_{p} e D_{p′} siano sufficientemente piccoli (p = f(π) e p′ = f(π′)), posso scegliere un V del ricoprimento di R che, insieme al sollevamento dei cammini, rende f rivestimento, in modo che V_{π} ∩ V_{π′} ⊂ V (essendo R di Hausdorff). In tale situazione, quindi, (V_{π}, ϕ_{π}) e (V′_{π′}, ϕ′_{π′}) sono compatibili tra loro in quanto entrambi sono tali con (V, ϕ), per ϕ definito rispetto a V come nel precedente Lemma. Assumiamo, allora, π = π′. Si avrà, pertanto, che ϕ′_{π}ϕ_{π}^{−1} : D(0, r^{1/e}) → D(0, r^{1/e}), per il Corollario 4.1.3, è la moltiplicazione per una radice e−sima ζ dell’unità. Essendo, allora, z ↦ ζz biolomorfismo su D(0, r^{1/e}), abbiamo la compatibilità tra le carte della stessa forma (V_{π}, ϕ_{π}) che, di conseguenza, formano insieme a quelle della forma (V, ϕ), che rendono R superficie di Riemann, un atlante di \overline{R} per il quale anche \overline{R} è superficie di Riemann. Lo spazio topologico \overline{R}, dotato della topologia descritta nella Proposizione 4.1.5, è, inoltre, compatto, sempre per la stessa Proposizione. Mostriamo, ora, che f : \overline{R} → ℙ^{1} è analitica. Per ogni punto ideale π non su ∞, si deve far vedere che la mappa fϕ_{π}^{−1} (per f(π) = ∞ la mappa 1/fϕ_{π}^{−1}) è analitica su D(0, r^{1/e}). Essa, però, è proprio z ↦ κ_{p}^{−1}(z^{e}) per p ≠ ∞ e, per p = ∞, la composizione di tale mappa con la carta ϕ_{2} : z ↦ 1/z che dà struttura di superficie di Riemann a ℙ^{1}. Si tratta, quindi, in ogni caso, di una mappa analitica nei punti ideali. Lo è ovviamente anche sui punti di R per il precedente Lemma. Infine, sappiamo che α ∈ Aut(f) si estende unicamente ad un omeomorfismo \overline{α} : \overline{R} → \overline{R} tale che f\overline{α} = f, per la Proposizione 4.1.5. Per il precedente Lemma, inoltre, α è analitico su R. Consideriamo, allora, una carta (V_{π}, ϕ_{π}) su un punto ideale π. Allora, (\overline{α}(V_{π}), ϕ_{π} ∘ \overline{α}^{−1}) è ancora una carta della stessa forma su \overline{α}(π), dove quest’ultimo resta, per la Proposizione 4.1.5, punto ideale. Per la Proposizione 4.1.5, infatti, \overline{α} permuta le componenti circolari di ogni p ∈ P insieme ai loro punti ideali, il che si traduce nel fatto che \overline{α}(V_{π_{i}}) = V_{π_{j}}, per f(π_{i}) = f(π_{j}). La definizione di ϕ_{π} conclude. Allora, in queste coordinate locali, \overline{α} diventa, per il Corollario 4.1.3, z ↦ ζz, per qualche ζ ∈< ζ_{e} >. Dunque, è analitica.

Ovviamente, gli \overline{α}, al variare di α ∈ Aut(f) formano un gruppo isomorfo a Aut(f) mediante l’isomorfismo α ↦ \overline{α}. Confondiamo, allora, per comodità di notazione, da qui in avanti i due concetti. Il gruppo Aut(f) sarà, così, identificato ad un gruppo di isomorfismi analitici^{4} di \overline{R}. Tale gruppo opera transitivamente su ogni fibra f^{−1}(p), per ogni p ∈ ℙ^{1}. Se p ∈ P, agisce, come è noto, sui punti ideali di p.

Lemma 4.2.6. Sia g ∈ M(\overline{R}) tale che g ∘ α = g per ogni α ∈ Aut(f). Allora, g = g′ ∘ f, per qualche g′ ∈ M(ℙ^{1}).

Dimostrazione. Poichè Aut(f) permuta gli elementi di f^{−1}(z) ∀z ∈ ℙ^{1}, segue che g assume lo stesso valore su tutti i punti di f^{−1}(z). Chiamiamo g′(z) tale valore. Se U ⊂ ℙ^{1}\(P ∪{∞}) è un aperto ammissibile per f e V è componente connessa di f^{−1}(U), si ha che g′|_{U} = g ∘ f|_{V}^{−1}. Poichè f|_{V} è, insieme a V, carta dell’atlante che rende R superficie di Riemann, segue che g′|_{U} ∈ M(U). E’, infatti, espressione dello sviluppo in serie di Laurent sui punti di U della funzione meromorfa g mediante la carta f|_{V}. Al variare di U nel ricoprimento di ℙ^{1} \ (P ∪ {∞}) ammissibile per f, si ha che g′ ∈ M(ℙ^{1} \ (P ∪ {∞})). Ora, l’estensione g′ : ℙ^{1} → ℙ^{1} è continua in ogni p ∈ P ∪ {∞} e, pertanto, è anche meromorfa per il Teorema di Estensione di Riemann.

4Un isomorfismo analitico è un omeomorfismo analitico il cui inverso è ancora analitico.

Teorema 4.2.7. (R.E.T.-Forma analitica) Sia Y superficie di Riemann compatta. Allora, per ogni sistema finito di punti distinti p_{1}, ..., p_{s} ∈ Y e di numeri complessi c_{1}, ..., c_{s} ∈ ℂ, esiste una g ∈ M(Y) tale che g(p_{i}) = c_{i} per i = 1, ..., s.

La dimostrazione di tale risultato è reperibile su [14].

Teorema 4.2.8. Sia P sottoinsieme finito di ℙ^{1}, e f : R → ℙ^{1} \ P un rivestimento finito e di Galois. Sia f : \overline{R} → ℙ^{1} la sua estensione, prima costruita, ad una mappa analitica. Intendiamo Aut(f), come già detto prima, gruppo di isomorfismi analitici su \overline{R}. Sia ℂ(f) sottocampo di M(\overline{R}) generato come estensione di ℂ per aggiunzione di f (meromorfa per il Lemma 4.2.5). Allora, per ogni α ∈ Aut(f), la mappa

i_{α} : M(\overline{R}) → M(\overline{R})
g ↦ g ∘ α^{−1}

è ℂ(f)−automorfismo di M(\overline{R}). Inoltre, M(\overline{R})/ℂ(f) è estensione FG, tale che la mappa

i : Aut(f) → G(M(\overline{R})/ℂ(f))
α ↦ i_{α}

è isomorfismo.

Dimostrazione. Essendo α isomorfismo analitico \overline{R} → \overline{R}, è chiaro che i_{α}(M(\overline{R})) ⊆ M(\overline{R}) e che tale mappa è, in realtà, suriettiva. Dunque, è una biiezione. Essa, inoltre, fissa gli elementi di ℂ(f): α ∈ Aut(f) e, pertanto, f ∘ α = f ∀α ∈ Aut(f); mentre lo stesso vale per ogni funzione costante \overline{R} → ℂ, banalmente. Si tratta, inoltre, di un omomorfismo di anelli, essendo (g±h)∘α^{−1} = g∘α^{−1}±h∘α^{−1} e (gh)∘α^{−1} = g∘α^{−1}·h∘α^{−1}. Dunque, è un ℂ(f)−automofismo di M(\overline{R}), come richiesto. Ora, poichè i_{αβ} = i_{α}i_{β}, si ha che i è un omomorfismo suriettivo da Aut(f) in qualche sottogruppo G < Aut(M(\overline{R})/ℂ(f)). Ora, M(\overline{R})^{G} consiste di tutte le g ∈ M(\overline{R}) tali che, per ogni α ∈ Aut(f), g ∘ α^{−1} = g. Per il Lemma precedente, però, si sa che esiste, per ciascuna di esse, una g′ ∈ M(ℙ^{1}) tale che g = g′ ∘ f. Allora, poichè M(ℙ^{1}) = ℂ(f), si ha che M(\overline{R})^{G} = ℂ(f). Per il Teorema di Artin, allora, M(\overline{R})/ℂ(f) è estensione FG con gruppo di Galois G = Aut(M(\overline{R})/ℂ(f)). La mappa i è, allora, suriettiva. Sia, allora, α ∈ Aut(f) tale che i_{α} = id. Sia a ∈ \overline{R}, e p = f(a). Per la forma analitica del R.E.T. sappiamo che M(\overline{R}) ≠ ℂ(f) e che esiste g ∈ M(\overline{R}) tale che assume valori a due a due distinti su f^{−1}(p). Detto b := α(a) ∈ f^{−1}(p), si ha che g(b) = i_{α}(g)(b) = g(α^{−1}(b)) = g(a). Per l’ipotesi fatta su g si conclude che a = b, ossia che α = id.

Osserviamo che tale risultato, insieme al Teorema 4.1.6, risolve in senso positivo il Problema Inverso di Galois sul campo ℂ(x) delle funzioni razionali a coefficienti complessi. Infatti, per ogni gruppo finito G esiste un rivestimento f : R → ℙ^{1} \ P (dove |P | è uguale al numero di generatori di G) finito e di Galois tale che G ≃ Aut(f). Inoltre, è stato appena dimostrato che, dato un rivestimento finito e di Galois f : R → ℙ^{1} \ P, esiste una estensione FG della forma M(\overline{R})/ℂ(f) il cui gruppo di Galois è isomorfo a Aut(f). Identificando f con una indeterminata si ha facilmente la soluzione positiva del Problema Inverso di Galois su ℂ(f).

Per identificare la forma algebrica e la forma topologica del R.E.T. si deve ancora, data una estensione FG della forma L/ℂ(x), associare a quest’ultima un rivestimento di ℙ^{1} \ P, per P opportuno sottoinsieme finito di ℙ^{1}, in modo da interpretare sotto il profilo della ramificazione dei rivestimenti siffatti il tipo di ramificazione di una estensione FG di ℂ(x), nel senso dato nel secondo capitolo. Sia, quindi, data una estensione FG della forma L/ℂ(x). Sia F (x, y) un suo polinomio minimo. Anzitutto, è lecito considerare senza perdita di generalità^{5}, F (x, y) ∈ ℂ[x, y] monico. Sia il vincolo \overline{Y} := \{(x, y) ∈ ℂ^{2} : F (x, y) = 0\}. Esso eredita una struttura olomorfa da ℂ^{2}, per il Teorema della Funzione Implicita, per gli x ∈ ℂ tali che F (x, y) è separabile. A meno di quei punti è, allora, assimilabile ad una sottovarietà analitica Y. Inoltre, la mappa

f : \overline{Y} → ℙ^{1}
(x, y) ↦ x

è un rivestimento ramificato, essendo i suoi punti di ramificazione, per quanto appena detto, le radici del discriminante di F ∈ ℂ(x)[y], le quali sono in quantità finita. Ora, le funzioni razionali su \overline{Y}, delle quali si darà presto la definizione, corrispondono alle funzioni razionali della forma f : ℂ^{2} → ℙ^{1} ristrette a \overline{Y}, e costituiscono (si veda [13] per una dimostrazione di tale risultato) il campo M(\overline{Y}) delle funzioni meromorfe su \overline{Y}, la cui struttura di superficie di Riemann è data come descritto nel Lemma 4.2.5, essendo appunto f : Y → S un rivestimento, con S := ℙ^{1} \ P, per P l’insieme delle radici del discriminante di F, ossia i punti di ramificazione di f.

Definizione 4.2.9. 1. Sia K campo algebricamente chiuso. Si definisce varietà algebrica affine (o, più semplicemente, varietà) sull’ideale I ⊆ K[x_{1}, ..., x_{n}] l’insieme

V (I) := \{\overline{a} ∈ K^{n} : h(\overline{a}) = 0 ∀h ∈ I\}.

5Vedi Osservazione 1.1.3.

2. Data una varietà V in K^{n}, si definisce l’ideale

I(V) := \{h(\overline{x}) ∈ K[x_{1}, ..., x_{n}] : h(\overline{a}) = 0 ∀a ∈ V \}.

Definizione 4.2.10. Dato K campo algebricamente chiuso, si definisce, per n ∈ ℕ \ {0}, la topologia di Zariski in K^{n} come la topologia tale che i chiusi rispetto ad essa siano costituiti dalle varietà algebriche affini su tutti i sottoinsiemi (e, di conseguenza, sugli ideali da essi generati) di K[x_{1}, ..., x_{n}].

Poichè K è algebricamente chiuso segue facilmente che ogni varietà V su ideali di K[x_{1}, ..., x_{n}] è ≠ ∅.

Dunque, la mappa

I ↦ V (I)

che associa agli ideali di A le varietà algebriche affini in A è suriettiva. Pertanto, essendo, per ogni I ideale di A

I ⊂ I(V (I)),

si ha che V (I(V (I))) ⊆ V (I) ⟹ V (I(V)) ⊆ V per ogni varietà V in K^{n}. L’inclusione V ⊆ V (I(V)) è ovvia. Dunque,

V = V (I(V))

per ogni varietà V in K^{n}. Una analoga eguaglianza non vale per quanto concerne gli ideali, ossia I ⊊ I(V (I)). Se valesse, infatti, la mappa I ↦ V (I) relativa ad A sarebbe iniettiva, il che è, come sappiamo, assurdo. Abbiamo, però, il seguente risultato, per la cui dimostrazione si rimanda a [9].

Teorema 4.2.11. (Nullstellenstatz-Forma forte) Dato K campo algebricamente chiuso, sia I ideale di K[x_{1}, ..., x_{n}] per n ∈ ℕ fissato. Allora,

I(V (I)) = \sqrt{I}

Definizione 4.2.12. Data V varietà in K^{n}, per K algebricamente chiuso, si definiscono:

1. K[V] := K[x_{1}, ..., x_{n}]/I(V) l’anello delle funzioni regolari su V.

2. K(V) il campo di frazioni di K[V], chiamato campo delle funzioni razionali su V.

E’ chiaro, date queste definizioni, come K[V] corrisponda all’anello delle funzioni polinomiali in n variabili da K^{n} in K, ristrette ai punti del vincolo V, e di come, allo stesso modo, lo stesso discorso valga per K(V) e le funzioni razionali a denominatore non identicamente nullo su V (cioè, ≠ 0 in K[V]). E’ opportuno osservare, comunque, che nonostante l’anello K[x_{1}, ..., x_{n}] sia UFD, ciò non comporta assolutamente che anche K[V] lo sia e, pertanto, in tale situazione non si deve pensare agli elementi di K(V) come a rapporti tra elementi di K[V], con denominatori non nulli, a meno di riduzione ai minimi termini dei quozienti. In tal caso infatti, pur mantenendosi l’algoritmo di fattorizzazione degli elementi^{6} di K[V], viene meno, a priori, l’unicità di tale fattorizzazione. Per esempio, l’anello ℂ[x, y]/(x^{2} − y^{2} + 1) non è UFD in quanto x^{2} = (y − 1)(y + 1), cioè l’irriducibile (y + 1) non è un primo, in quanto divide x^{2}, ma non x. La definizione corretta del generico elemento di K(V) è, pertanto,

K(V) := {[(f, g)] ∈ (K[x_{1}, ..., x_{n}] × (K[x_{1}, ..., x_{n}] \ I(V)))/_{∼}}

dove

(f, g) ∼ (f′, g′) ⟺ fg′ − f′g ∈ I(V).

Un esempio di come si possano avere due diversi rappresentanti di una medesima classe di equivalenza, corrispondenti a due distinte frazioni già ridotte ai minimi termini, è dato, in ℂ[x, y]/(x^{2} − y^{2} + 1), da

[\frac{x}{y + 1}] = [\frac{y − 1}{x}].

Si definisce allora il concetto di dominio di un generico elemento f di K(V) nel seguente modo:

dom(f) := \{\overline{x} ∈ V : ∃ \frac{p}{q} ∈ f; q(\overline{x}) ≠ 0\}.

Definizione 4.2.13. 1. Uno spazio topologico X è detto riducibile se è unione di due suoi chiusi ≠ X, ∅.

2. Un ideale di un anello generico è detto riducibile se è intersezione di due ideali che non coincidono con lui stesso.

Segue, da tale definizione, che una varietà algebrica affine V è riducibile se e solo se I(V) è riducibile. Infatti, è facile capire che

V = V_{1} ∪ V_{2} ⟹ I(V) = I(V_{1} ∪ V_{2}) = I(V_{1}) ∩ I(V_{2})

6Poichè K[x_{1}, ..., x_{n}] è anello Noetheriano, a maggior ragione lo è K[V], trattandosi di un suo quoziente con un ideale.

e che, allo stesso tempo,

I = I_{1} ∩ I_{2} ⟹ V (I) = V (I_{1} ∩ I_{2}) = V (I_{1}) ∪ V (I_{2}).

Inoltre, poichè ogni ideale primo è irriducibile, da ciò segue anche che I(V) primo ⟹ V irriducibile. In realtà, essendo un ideale primo uguale al proprio radicale, dalla forma forte del Nullstellenstatz si ha che P ideale primo ⟹ V (P) irriducibile. Ora, data V varietà irriducibile in K^{n}, sia p elemento non nullo in I(V) tale che ammetta decomposizione p = p_{1}p_{2} in due elementi di K[V] che non siano unità moltiplicative in tale anello. Allora, per \overline{x} ∈ V, essendo le funzioni polinomiali p, p_{1}, p_{2} in questione a valori in un campo e, dunque, in un dominio di integrità, essendo p(\overline{x}) = 0, segue che p_{i}(\overline{x}) = 0, per i = 1 o 2. Definendo, pertanto, S_{i} := I(V) ∪ {p_{i}} per i = 1, 2, segue che le V_{i} := V ((S_{i})), per i = 1, 2, sono due sottovarietà di V tali che V = V_{1} ∪V_{2}. Dall’irriducibilità di V, allora, possiamo assumere che V_{1} = V. Dunque, I(V_{1}) = I(V) e, pertanto, p_{1} ∈ I(V), da cui segue che I(V) è primo. In conclusione, quindi,

V irriducibile ⟺ I(V) ideale primo.

Dato che, come suggerito in precedenza, le varietà trattate saranno i vincoli \overline{Y} := \{(x, y) ∈ ℂ^{2} : F (x, y) = 0\}, per F polinomio minimo di una estensione FG di ℂ(x) e, come tale, irriducibile, si tratta di varietà irriducibili. Dunque, tali che gli ideali I(V) ad esse associati sono primi, per quanto appena detto. Gli anelli K[V] = K[x_{1}, ..., x_{n}]/I(V) delle funzioni regolari su di esse sono, di conseguenza, domini di integrità.

Teorema 4.2.14. Se un anello A è dominio di integrità, indicando con A_{M} i suoi localizzati relativamente alla famiglia 𝔐 degli ideali massimali, si ha che

A = ⋂_{M∈𝔐}A_{M}.

Per la dimostrazione, si rimanda a [9].

Teorema 4.2.15. Gli ideali massimali M in K[x_{1}, ..., x_{n}], per K campo algebricamente chiuso, sono tutti e soli quelli della forma (x_{1}−a_{1}, ..., x_{n}−a_{n}), per (a_{1}, ..., a_{n}) ∈ K^{n}.

Dimostrazione. Poichè K è algebricamente chiuso e M ≠ K[x_{1}, ..., x_{n}], si ha che V = V (M) ≠ ∅. Per (a_{1}, ..., a_{n}) ∈ V è chiaro che

V ((x_{1} − a_{1}, ..., x_{n} − a_{n})) = {(a_{1}, ..., a_{n})} ⊆ V (M)

e, di conseguenza, per la forma forte del Nullstellenstatz, M = I(V (M)) ⊆ I({(a_{1}, ..., a_{n})}). Essendo, M massimale, allora,

M = I({(a_{1}, ..., a_{n})}) = (x_{1} − a_{1}, ..., x_{n} − a_{n}).

Gli ideali massimali di K[x_{1}, ..., x_{n}], dunque, corrispondono ai punti di K^{n}.

Come Corollario segue immediatamente, allora, che gli ideali massimali di K[V] corrispondono ai punti di V. Infatti, la proiezione canonica

π : K[x_{1}, ..., x_{n}] → K[V]

mette in corrispondenza biunivoca gli ideali massimali di K[V] con gli ideali massimali di K[x_{1}, ..., x_{n}] contenenti I(V), ossia esattamente i punti di V.

Pertanto, possiamo concludere che

K[V] = {f ∈ K(V) : dom(f) = V }.

Se, infatti, K[V] è dominio di integrità, da tali ultime considerazioni abbiamo che

K[V] = ⋂_{v_{0}∈V} O_{V,v_{0}}

per O_{V,v_{0}} il localizzato di K[V] rispetto all’ideale massimale M_{v_{0}} corrispondente al punto v_{0} ∈ V. Dunque, K[V] consiste di tutte le funzioni razionali su V che ammettono un rappresentante che non si annulla in v, per ogni v ∈ V. Cioè, tutte le funzioni razionali su V il cui dominio è V. Abbiamo, così, dato una definizione alternativa dell’anello delle funzioni regolari su di una varietà algebrica affine V in K^{n} nel caso particolare in cui V è irriducibile, cioè nello specifico della trattazione che seguirà.

Consideriamo, allora, J := \{f ∈ ℂ[x, y] : f|\overline{Y} = 0\}. E’ facile capire che J è un ideale in ℂ[x, y] e che, detta r : ℂ[x, y] → ℂ[\overline{Y}] la mappa di restrizione a \overline{Y}, si ha la successione esatta corta

0 → J → ℂ[x, y] →^{r} ℂ[\overline{Y}] → 0.

Naturalmente, l’ideale (F) ⊂ ℂ[x, y] è contenuto in J e si ha che ℂ[\overline{Y}] ≃ ℂ[x, y]|_{J}. Ora, la forma forte del Nullstellenstatz ci permette di concludere che J = I(V ((F))) = \sqrt{(F)}, e, in quanto ℂ[x, y] è UFD e, pertanto, i suoi elementi irriducibili sono tutti e soli i primi, si ha che \sqrt{(F)} = (F). Si conclude, allora, che ℂ[\overline{Y}] ≃ ℂ[x, y]|_{(F)}. Ora, avendo ℂ[\overline{Y}] campo di frazioni uguale al campo delle funzioni razionali sui punti di \overline{Y}, ed essendo ℂ(x) il campo di frazioni di ℂ[x], per quanto detto prima segue che

M(\overline{Y}) ≃ ℂ(x)[y]|_{(F)} ≃ L.

All’estensione FG della forma L/ℂ(x) è stato, così, attribuito un rivestimento ramificato f : \overline{Y} → ℙ^{1} tale che f(x, y) = x e che L/ℂ(x) ≃ M(\overline{Y})/ℂ(f), per cui, come visto in precedenza,

G(L/ℂ(x)) ≃ Aut(f).

Un rivestimento g : R → S come nel Teorema 4.2.8 determina, così, una estensione FG della forma M(\overline{R})/ℂ(g) tale che Aut(g) ≃ G(M(\overline{R})/ℂ(g)), il cui polinomio minimo F determina a sua volta un rivestimento ramificato f : \overline{Y} → ℙ^{1} tale che Aut(g) = G(M(\overline{R})/ℂ(g)) ≃ G(M(\overline{Y})/ℂ(f)) ≃ Aut(f). A meno di identificare, infine, f con g come variabili su ℂ, allora, si hanno due estensioni isomorfe di ℂ(f) e, quindi, descritte dallo stesso polinomio minimo F. Ciò fa coincidere i punti di ramificazione di \overline{f} : \overline{Y} → ℙ^{1} e M(\overline{R})/ℂ(g). Il Teorema che seguirà permetterà di concludere, anzi, che anche il loro tipo di ramificazione coincide, essendo essi legati a estensioni FG descritte dallo stesso polinomio minimo. Di fatto, proprio grazie alle conclusioni del seguente Teorema, g può indifferentemente essere impiegato al posto di f e viceversa, nella dimostrazione di quest’ultimo. Identifichiamo, perciò, i tipi di ramificazione algebrici delle estensioni FG della forma L/ℂ con i tipi di ramificazione topologici dei rivestimenti di Galois della forma f : R → ℙ^{1} \ P, per |P | < +∞.

Teorema 4.2.16. Sia P sottoinsieme finito di ℙ^{1} e f : R → ℙ^{1} \ P rivestimento finito e di Galois. Per ogni p ∈ P sia C_{p}^{top} la classe coniugio in Aut(f) associata a p. Per ogni p ∈ ℙ^{1} sia C_{p}^{alg} la classe coniugio in G = G(M(\overline{R})/ℂ(f)) associata a p. Allora, C_{p}^{alg} = \{1\} se p ∉ P. Per ogni p ∈ P, l’isomorfismo i : Aut(f) → G manda C_{p}^{top} in C_{p}^{alg}.

Dimostrazione. Analizziamo i due casi separati.

1) Caso p ∈ ℙ^{1} \ P. Sia v ∈ f^{−1}(p). Allora, esiste una carta (V, ϕ), come descritto nel Lemma 4.2.4, tale che v ∈ V. Se p ≠ ∞ si ha che ∞ ∉ ϕ(V) e ϕ = f|_{V}. Se p = ∞, invece ϕ = 1/f|_{V}. Dunque, ogni g ∈ M(\overline{R}) ha espansione in serie di Laurent in v della forma

g = ∑_{i=N}^{+∞} a_{i}(ϕ − ϕ(v))^{i}.

Si definisce, allora, l’omomorfismo di anelli

ϑ : M(\overline{R}) → Λ = ℂ((t))

g ↦ ∑_{i=N}^{+∞} a_{i}t^{i}.

E’ ovvio che tale omomorfismo non è nullo e, pertanto, è una immersione di campi. Se p ≠ ∞, si ha che f = ϕ = p + (ϕ − ϕ(v)) su V e, quindi, ϑ(f) = p + t. Se p = ∞, allora f = 1/ϕ = 1/(ϕ − ϕ(v)) su V, cioè ϑ(f) = 1/t. Dunque, ϑ : M(\overline{R}) → Λ estende la mappa ϑ_{p} : ℂ(f) → ℂ(t) descritta nel secondo capitolo e, pertanto, ϑ_{p}F è polinomio minimo dell’estensione ϑ(M(\overline{R}))/ℂ(t). Essendo, però, ϑ(M(\overline{R})) ⊂ Λ, l’indice di ramificazione e_{M(\overline{R}),p} è 1, cioè C_{p}^{alg} = \{1\}. Naturalmente, poi, C_{p}^{top} = \{1\}, come descritto nella Proposizione 4.1.4.

2) Caso p ∈ P. Sia π ∈ f^{−1}(p) un punto ideale. Sia (V_{π}, ϕ_{π}) una carta su \overline{R}, tale che π ∈ V_{π}, come descritta nel Lemma 4.2.5. Dunque, E ∪ {π} = V_{π} e ϕ_{π}^{e} = κ_{p} ∘ f su V_{π}. Ogni g ∈ M(\overline{R}) ha sviluppo in serie di Laurent in π della forma

g = ∑_{i=N}^{+∞} b_{i}ϕ_{π}^{i}.

Definiamo l’omomorfismo di anelli

ϑ : M(\overline{R}) → Λ_{e} = ℂ((τ))

g ↦ ∑_{i=N}^{+∞} b_{i}τ^{i}

per τ^{e} = t. Di nuovo, si tratta di una immersione di campi, e ϑ estende la mappa ϑ_{p} : ℂ(f) → Λ. Infatti, poichè ϕ_{π}^{e} = κ_{p} ∘ f, si ha che f = κ_{p}^{−1} ∘ ϕ_{π}^{e} = p + ϕ_{π}^{e} se p ≠ ∞, mentre f = 1/ϕ_{p}^{e} se p = ∞. Allora, ϑ(f) = p + τ^{e} = p + t nel primo caso, e ϑ(f) = τ^{−e} = t^{−1} nel secondo. Sia, pertanto, ω generatore distinto di G(Λ_{e}/Λ). Allora, ω : ∑_{i=N}^{+∞} b_{i}τ^{i} ↦ ∑_{i=N}^{+∞} b_{i}(ζ_{e}τ)^{i}. La classe C_{p}^{alg} conterrà, quindi, l’elemento ϑ^{−1} ∘ ω ∘ ϑ. D’altra parte, la classe C_{p}^{top} contiene il generatore distinto h_{E} di Stab(E) ≃ Aut(f_{E}) in Aut(f). Se, quindi, si dimostra che

i(h_{E}) = ϑ^{−1} ∘ ω ∘ ϑ

segue il Teorema. Per definizione, dunque, h_{E} preserva E, e quindi V_{π}, ed è generatore distinto del rivestimento f_{E} : E → 𝕂(r). Poichè ϕ_{π}^{e}|_{E} = f_{E}, si ha che ϕ_{π} ∘ h_{E}^{−1} = ζ_{e}ϕ_{π} su E e, quindi, su V_{π}, per il Corollario 4.1.3. Data g ∈ M(\overline{R}), si ha, allora,

i(h_{E})(g) = g ∘ h_{E}^{−1} = ∑_{i=N}^{+∞} b_{i}(ϕ_{π} ∘ h_{E}^{−1})^{i} = ∑_{i=N}^{+∞} b_{i}(ζ_{e}ϕ_{π})^{i},

in un intorno di π. Per la definizione di ω, sopra descritta, segue l’asserto.

Tale risultato conclude, pertanto, la dimostrazione del R.E.T., in quanto identifica i tipi di ramificazione delle estensioni FG della forma L/ℂ(x) con quelli dei rivestimenti finiti di Galois del tipo f : R → ℙ^{1} \ P, per P finito. Infatti, insieme ai risultati precedenti ciò comporta che ad ogni rivestimento della forma appena descritta corrisponde una estensione FG del tipo L/ℂ(x) con uguale tipo di ramificazione τ, e che ad essa corrisponde ancora un rivestimento della stessa forma del precedente con il medesimo tipo τ. Tale biunivocità, insieme alla dimostrazione della forma topologica del R.E.T. (vedi Teorema 4.1.8) permette di concludere.

La tecnica della Rigidità, pertanto, si basa su una intuizione geometrica fondamentale: ogni gruppo finito G, ammettendo una presentazione finita per generatori e relazioni, è isomorfo al gruppo degli automorfismi di un rivestimento finito e di Galois f : R → ℙ^{1} \ P, dove |P | è la cardinalità (finita) dei generatori di G e, anzi, un tipo algebrico τ_{G} = [G, P, {C_{p}}_{p∈P}] corrisponde al tipo topologico τ_{f} = [Aut(f), P, {C_{p}}_{p∈P}] del rivestimento f costruito a partire da G. Inoltre, ogni rivestimento siffatto induce una estensione FG della forma M(\overline{R})/ℂ(f), come precedentemente descritto, il cui polinomio minimo F (x, y) determina una varietà algebrica affine \overline{Y} in ℂ^{2}, che non è una sottovarietà in senso classico di ℂ^{2}, per il Teorema della Funzione Implicita, nei punti x ∈ ℂ su cui F ha radici multiple. Il rivestimento ramificato indotto \overline{Y} → ℙ^{1} definito come (x, y) ↦ x ha, allora, come punti di ramificazione esattamente i punti p ∈ ℂ su cui F ha radici multiple. Questi, però, sono esattamente i punti di P, in quanto, come si è visto, la forma forte del Nullstellenstatz implica l’isomorfismo tra estensioni M(\overline{R})/ℂ(f) ≃ M(\overline{Y})/ℂ(f). Si ha, allora, la sostanziale identificazione dei due rivestimenti R → ℙ^{1} \ P e Y → ℙ^{1} \ P, insieme ai loro tipi di ramificazione. Ciò dà soluzione positiva al Problema Inverso di Galois su ℂ(x), costituendo lo stimolo fondamentale allo sviluppo delle tecniche di Discesa, Rigidità e Razionalità, illustrate nel precedente capitolo. D’altro canto, l’obiettivo di dare dimostrazione alla forma algebrica del R.E.T. si traduce, sulla base dei precedenti risultati, nel cercare di identificare il tipo algebrico τ_{est} = [G(L/ℂ(x)), P′, {C_{p}}_{p∈P′}] di una estensione FG della forma L/ℂ(x) con il tipo topologico τ_{riv} = [Aut(f), P, {C_{p}}_{p∈P}] del rivestimento finito e di Galois f : Y → ℙ \ P da essa indotto nel senso prima spiegato. L’idea intuitiva che sta alla base di tale identificazione risiede nel fatto che il rivestimento ramificato f : \overline{Y} = \{(x, y) ∈ ℂ^{2} : F (x, y) = 0\} → ℙ^{1} dato dalla proiezione canonica (x, y) ↦ x ha i propri fogli corrispondenti alle radici del polinomio minimo F dell’estensione in esame. Si lavora, quindi, con l’obiettivo di mostrare che il gruppo di Galois di F agisce sulle radici di F come Aut(f) sui fogli di f. A questo scopo è di fondamentale importanza il Teorema 4.2.16, che identifica i due tipi di ramificazione identificando a livello locale i generatori distinti associati ad ogni p ∈ P, P′. Ora, P = P′ per la Proposizione 2.2.1, a meno di aggiungere il caso in cui ∞ è punto di ramificazione (nel senso dato nella Proposizione 2.2.1); caso che, comunque, può essere escluso mediante un semplice cambiamento di coordinate su ℙ^{1}. Dunque, grazie all’isomorfismo L/ℂ(x) ≃ M(\overline{Y})/ℂ(f), l’iniezione

ℂ(f) →^{ϑ_{p}} Λ

che mappa f ↦ t + p o f ↦ 1/t a seconda che p sia o no ∞, si estende ad una iniezione

M(\overline{Y}) →^{ϑ} Λ_{e_{L,p}}

grazie a cui l’isomorfismo

i : Aut(f) → G(M(\overline{Y})/ℂ(f))
α ↦ i_{α}

descritto nel Teorema 4.2.8 si traduce, mediante il Teorema 4.2.16, nell’isomorfismo

Aut(f) ≃^{i} G(L/ℂ(x))

h_{E} ↦ ϑ^{−1}ωϑ.

L’azione di Aut(f) sui fogli di f_{E}, cioè localmente in D_{p} \ {p}, equivarrà a quella di G(L/ℂ(x)) sulle radici di F localmente in p, cioè ω e h_{E} si identificano, eguagliando l’azione dei due gruppi che, localmente, saranno Aut(f_{E}) e G(Λ_{e_{L,p}}/Λ). Tale azione è ciclica, di ordine e = e_{L,p} e, poichè hh_{E}h^{−1} = h_{E′} (come spiegato in precedenza), ogni componente circolare avrà lo stesso numero e di fogli su p e Aut(f_{E}) agirà allo stesso modo su ciascuna di esse, esattamente come sappiamo comportarsi G(Δ/Λ) su ciascun fattore H di ϑ_{p}F su Λ. L’azione di G(L/ℂ(x)) sulle radici di F sarà, pertanto, data localmente su ogni p ∈ ℙ^{1} dallo scambio circolare dei fogli di f sui punti ideali (o di ramificazione) di contatto di questi ultimi; azione identica su ciascuna componente circolare E di f su p.

Problema di Immersione

Analizziamo ora una nuova tecnica di approccio al Problema Inverso, basata sul linguaggio e sui fondamentali risultati dell’Algebra Omologica, che presenta il problema in questione sotto una nuova prospettiva. Il Problema Inverso è, infatti, interpretabile anche come un particolare sottocaso del cosiddetto Problema di Immersione. Il Problema di Immersione consiste, data una successione esatta corta di gruppi finiti

0 → N → G → H → 0

ed un’estensione E/ℚ avente gruppo di Galois H, nel trovare un’estensione F/E avente gruppo di Galois N, tale che F/ℚ sia estensione di Galois con gruppo di Galois G. Il caso in cui H = {0} è quello del Problema Inverso. A differenza di quanto accade con il Problema Inverso, però, si vedrà in seguito come sia possibile costruire esempi in cui il Problema di Immersione non è risolubile. L’approccio al Problema Inverso sotto questa nuova prospettiva manifesta bene la sua grande efficacia rivelandosi lo strumento grazie a cui si sono ottenuti i, probabilmente, due più importanti risultati in questo ambito:

Teorema 5.0.17. (Scholtz-Reichardt, 1936) Per ogni numero primo l ≠ 2, ogni l−gruppo è realizzabile come gruppo di Galois su ℚ.

Teorema 5.0.18. (Shafarevich, 1954) Ogni gruppo finito risolubile è realizzabile come gruppo di Galois su ℚ.

Entrambi i risultati sono stati ottenuti procedendo per induzione, grazie alle note proprietà degli l−gruppi e dei gruppi finiti risolubili: ogni l−gruppo ammette sottogruppo normale di indice l e un gruppo finito è risolubile se e solo se è tale ogni suo sottogruppo normale e il quoziente ad esso corrispondente. Si intende il gruppo G che si vuole realizzare come estensione di un suo sottogruppo normale il cui quoziente è già realizzato e si cerca di risolvere il problema di immersione che ne deriva.

5.1 Funtori derivati

Diamo rapidamente alcuni richiami di Algebra Omologica. Per gli scopi di questo lavoro ci si limiterà a trattare complessi di cocatene, intesi come R−moduli graduati, per un comune R anello commutativo con unità. Osserviamo che, insieme agli omomorfismi che li legano, essi formano una categoria preadditiva e che, pertanto, è lecito supporre additivi^{1} i funtori che saranno applicati alle sue sottocategorie.

5.1.1 Risoluzioni proiettive e iniettive

Definizione 5.1.1. Siano X e Y due complessi di cocatene, e f, g : X → Y due morfismi di complessi. Una omotopia tra i due morfismi è un morfismo H di grado -1, tale che

dH + Hd = f − g,

dove d è la mappa di cobordo.

Definizione 5.1.2. Una equivalenza omotopica tra due complessi X e Y è una coppia di morfismi f, g, per cui f : X → Y e g : Y → X, tale che fg ∼ 1_{Y} e gf ∼ 1_{X}.

E’ un facile esercizio verificare che la coomologia è un funtore di omotopia e che l’omotopia è una relazione di equivalenza. Segue, inoltre, da quanto appena detto che, se due complessi sono omotopicamente equivalenti, ciascuno dei due morfismi dell’equivalenza omotopica induce un isomorfismo in coomologia.

Lemma 5.1.3. (Lemma del Serpente) Sia 0 → X →^{f} Y →^{g} Z → 0 una successione esatta corta di complessi di cocatene. Esiste, allora, un unico morfismo graduato δ^{∗} di connessione, di grado 1, tale che rende esatto il triangolo

1Un funtore (covariante) T : C → D tra categorie preadditive è detto additivo se, per ogni coppia di oggetti A, B in C, è omomorfismo di gruppi tra Hom_{R}(A, B)

e Hom_{R}(T (A), T (B)). Il caso controvariante sarà relativo ai gruppi Hom_{R}(A, B) e Hom_{R}(T (B), T (A)).

\xymatrix{H^{∗}(X) \ar[rr]^{f_{∗}} & & H^{∗}(Y) \ar[dl]^{g_{∗}} \\ & H^{∗}(Z) \ar[ul]^{δ_{∗}}} .

Per la dimostrazione, si rimanda a [11].

Definizione 5.1.4. Un R−modulo P si dice proiettivo se il funtore covariante Hom_{R}(P, ·) è esatto.

Ricordiamo che il funtore Hom_{R}(A, ·), che agisce dalla categoria degli R−moduli a quella dei gruppi abeliani, è sempre esatto a sinistra (la dimostrazione è una semplice verifica). Un R−modulo P è pertanto proiettivo se e solo se ogni diagramma

\xymatrix{ & P \ar[d]^{r} \\ A \ar[r]^{j} & B \ar[r] & 0}

con riga esatta è tale che esiste un morfismo r′ : P → A per cui r si fattorizza mediante A, cioè si ha che r = jr′.

Proposizione 5.1.5. Sono equivalenti:

1) P è R−modulo proiettivo.

2) Ogni successione esatta corta

0 → A → B → P → 0

spacca.

3) P è addendo diretto di un modulo libero.

4) Per ogni diagramma commutativo

\xymatrix{ & P \ar[d]^{r} \ar[dr]^{0} \\ A \ar[r] & B \ar[r] & C}

con riga esatta, l’omomorfismo r si fattorizza mediante A.

Per la dimostrazione si rimanda a [11], [4].

Osserviamo, in particolare, che ogni modulo libero è proiettivo, mentre il viceversa non vale a priori. Per esempio, ℤ/3ℤ è ℤ/6ℤ−modulo proiettivo, ma non libero. Tuttavia, è noto (vedi [11]) che, se R è un PID e un dominio di integrità, ogni sottomodulo di un R−modulo libero è ancora libero e, pertanto, dalla Proposizione sopra si ha facilmente che, in questo particolare caso, si ha la doppia implicazione.

Proposizione 5.1.6. Ogni R−modulo è quoziente di un R−modulo libero.

Dimostrazione. Sia S un insieme di generatori di un R−modulo arbitrario A. Sia

L := ⨁_{s∈S} R

l’R−modulo libero corrispondente. Definiamo l’omomorfismo ϕ : L → A tale che ϕ : (r_{s})_{s∈S} ↦ ∑_{s∈S} r_{s}s. Per la definizione data di S, ϕ è suriettivo.

Ciò significa che, fissato un R−modulo A, si ha una successione esatta corta 0 → A_{1} →^{i} L_{0} →^{j} A → 0, dove L_{0} è R−modulo libero. Se R è dominio a ideali principali, come abbiamo detto si ha che A_{1} = L_{1}, R−modulo libero. La successione esatta corta così ottenuta si chiama, allora, presentazione libera di A. In caso generale, invece, si ripete lo stesso processo su A_{1}, ottenendo una successione esatta

0 → A_{2} → L_{1} → L_{0} → A → 0.

Proseguendo tale procedimento si ottiene una successione esatta lunga

... → L_{n} → ... → L_{1} → L_{0} → A → 0

detta risoluzione libera di A.

Definizione 5.1.7. Una successione esatta lunga della forma

... → P_{n} → ... → P_{1} → P_{0} → 0

è detta risoluzione proiettiva di A se ognuno degli R−moduli P_{i} è proiettivo

Naturalmente, avendo prima dimostrato che è sempre possibile costruire una risoluzione libera di un R−modulo A qualsiasi, è automaticamente dimostrata l’esistenza delle risoluzioni proiettive.

Definizione 5.1.8. Un R−modulo I è detto iniettivo se il funtore controvariante Hom_{R}(· , I) è esatto.

Ha dimostrazione del tutto analoga a quella che si ha nel caso covariante Hom_{R}(A, ·) che il funtore Hom_{R}(· , B) è esatto a sinistra per ogni R−modulo B. Sempre in analogia al caso proiettivo si ha che I è modulo iniettivo se e solo se per ogni diagramma della forma

\xymatrix{0 \ar[r] & B \ar[d]^{r} \ar[r] & C \\  & I}

con riga esatta, l’omomorfismo r si fattorizza mediante C. Vale, inoltre, una Proposizione analoga alla 4.1.5:

Proposizione 5.1.9. Sono equivalenti:

1) I è R−modulo iniettivo.

2) Una successione esatta corta

0 → I → B → C → 0

spacca.

3) I è fattore diretto di un modulo colibero^{2}.

4) Ogni diagramma della forma

\xymatrix{A \ar[dr]_{0} \ar[r] & B \ar[d]^{r} \ar[r] & C \\  & I}

con riga esatta è tale che r si fattorizza mediante C.

Definizione 5.1.10. Dato un R−modulo A, una successione esatta lunga della forma

0 → A → I_{0} → ... → I_{n} → ...

tale che ogni modulo I_{n} è iniettivo, è detta risoluzione iniettiva di A.

E’ meno facile che nel caso proiettivo dimostrare che anche le risoluzioni iniettive esistono sempre. Cominciamo con l’osservare che i concetti di modulo colibero e iniettivo sono reciprocamente legati in modo del tutto duale a come lo sono moduli liberi e proiettivi. Ciò non deve stupire, in quanto è già evidente un legame duale tra i moduli iniettivi e quelli proiettivi, nella struttura dei diagrammi commutativi con righe esatte mediante cui sono definiti.

2Un R−modulo è detto colibero quando è prodotto diretto di copie di R^{∗} := Hom_{ℤ}(R, ℚ/ℤ)

Definizione 5.1.11. Se R è dominio a ideali principali, un R−modulo A è detto divisibile se, per ogni a ∈ A e ogni r ∈ R − {0}, esiste (non necessariamente unico) un b ∈ A tale che a = br.

Proposizione 5.1.12. Sia R dominio a ideali principali. Allora, un R−modulo è iniettivo se e solo se è divisibile.

Si veda [11] per una dimostrazione dettagliata della Proposizione sopra e del fatto che da essa segue come Corollario che ogni quoziente di un R−modulo iniettivo, per R dominio a ideali principali, è a sua volta iniettivo.

Proposizione 5.1.13. Ogni gruppo abeliano si immerge in un gruppo abeliano divisibile (e, quindi, iniettivo).

Dimostrazione. Poichè un prodotto diretto di moduli è iniettivo se e solo se i fattori sono iniettivi (e lo stesso vale con i proiettivi, vedi [11]), sarà sufficiente costruire un monomorfismo dal gruppo abeliano A in un prodotto diretto di copie di ℚ/ℤ, che è ovviamente divisibile. Sia, allora, a ∈ A non nullo, e sia (a) il sottogruppo da esso generato. Definiamo α : (a) → ℚ/ℤ come segue: se l’ordine di a è infinito, scelgo α(a) ≠ 0 arbitrario; se l’ordine di a è finito, scelgo α(a) ≠ 0 tale che il suo ordine divida quello di a. Poichè ℤ è dominio a ideali principali, dalla definizione stessa di modulo iniettivo si ha che esiste una mappa β_{a} : A → ℚ/ℤ tale che il diagramma

\xymatrix{(a) \ar[d]_{α} \ar[r] & A \ar[dl]^{β_{a}} \\ ℚ/ℤ}

commuti. Per la proprietà universale del prodotto diretto, β_{a} definisce, così, un unico omomorfismo

β : A → ∏_{a∈A,a≠0} ℚ/ℤ.

Chiaramente, β è un monomorfismo, in quanto β_{a}(a) ≠ 0 se a ≠ 0.

Relativamente ai gruppi abeliani, il gruppo additivo ℤ è proiettivo ed è tale che per ogni gruppo abeliano G non nullo esiste un omomorfismo ϕ : ℤ → G. Il gruppo ℚ/ℤ ha proprietà duali: è iniettivo e per ogni gruppo abeliano G non nullo esiste un omomorfismo ψ : G → ℚ/ℤ. Essendo chiamato gruppo abeliano libero una somma diretta di copie di ℤ, si chiamerà colibero un prodotto (attenzione: non una somma) diretto di gruppi coliberi. Sia R^{∗} := Hom_{ℤ}(R, ℚ/ℤ). Dichiariamo, allora, che R^{∗} è tale che, per ogni R−modulo A non nullo, esiste un omomorfismo non nullo ϕ : A → R^{∗}. Dato, infatti, un omomorfismo non nullo di gruppi abeliani ψ : A → ℚ/ℤ, ad esso corrisponderà via l’isomorfismo

Hom_{R}(A, Hom_{ℤ}(R, G)) ≃ Hom_{ℤ}(A, G)

(vedi [11]), dove A è R−modulo e G gruppo abeliano, un omomorfismo non nullo ϕ : A → R^{∗}.

Definizione 5.1.14. Un R−modulo è detto colibero se è prodotto diretto di copie di R^{∗}.

Tale definizione è consistente con quella di ℚ/ℤ come gruppo colibero, essendo ℚ/ℤ ≃ Hom_{ℤ}(ℤ, ℚ/ℤ).

Proposizione 5.1.15. Ogni R−modulo A è sottomodulo di un modulo colibero.

Dimostrazione. Sia a ∈ A non nullo, e sia (a) il sottomodulo da esso generato. Sappiamo, da quanto detto prima, che esiste un omomorfismo α : (a) → R^{∗}. Poichè R^{∗} è iniettivo, esiste β_{a} : A → R^{∗} tale che il diagramma

\xymatrix{(a) \ar[d]_{α} \ar[r] & A \ar[dl]^{β_{a}} \\ R^{∗}}

commuti. Dalla proprietà universale del prodotto diretto segue che β_{a} definisce un omomorfismo

β : A → ∏_{a∈A,a≠0} R^{∗}

che è ovviamente un monomorfismo.

Possiamo, quindi, concludere che, dato un R−modulo A, esiste sempre una successione esatta corta

0 → A → I_{A} → I_{A}/A → 0

per I_{A} := ∏_{a∈A,a≠0} R^{∗} = R^{∗}^{A} e, pertanto, in analogia con quanto già visto per la costruzione delle risoluzioni libere degli R−moduli, ripetendo i medesimi ragionamenti sul R−modulo I_{A}/A si costruisce allo stesso modo una risoluzione iniettiva di A.

5.1.2 Funtori coomologici

Definizione 5.1.16. Un funtore coomologico covariante è una famiglia T = {T_{n}}_{n∈ℕ} di funtori covarianti additivi tale che, fissata una qualunque successione esatta corta di R−moduli

0 → A′ → A → A′′ → 0,

per ogni n ∈ ℕ esiste un morfismo di connessione δ_{n} : T_{n}(A′′) → T_{n+1}(A′) tale che

0 → T_{0}(A′) → T_{0}(A) → T_{0}(A′′) →^{δ_{0}} T_{1}(A′) → ...

sia successione esatta lunga e che tali omomorfismi di connessione commutino con i morfismi tra successioni esatte corte.

E’ interessante osservare come il Lemma del Serpente evidenzi il fatto che il funtore additivo e covariante di coomologia sia un funtore coomologico e, di conseguenza, esatto a sinistra. In modo del tutto analogo si dà la definizione di funtore coomologico controvariante.

Come appena sottolineato, se T è funtore coomologico, T_{0} è esatto a sinistra. Ci si propone, allora, fissato un funtore additivo S esatto a sinistra, di costruire un funtore coomologico T tale che T_{0} = S, a meno di equivalenza naturale. Una simile costruzione è l’obiettivo di tale paragrafo, in quanto si rivela, in una sua forma standard, il concetto fondamentale nello sviluppo della cosiddetta coomologia dei gruppi, o di Galois, e va sotto il nome di funtore derivato.

Definizione 5.1.17. Se S è funtore additivo ed esatto a sinistra, un funtore coomologico T tale che T_{0} sia naturalmente equivalente a S è detto estensione coomologica di S.

Definizione 5.1.18. Siano T, U funtori coomologici additivi e covarianti. Una trasformazione naturale da T a U è una famiglia {ϕ_{n}}_{n∈ℕ} di trasformazioni naturali ϕ_{n} : T_{n} → U_{n} tali che, fissata una qualsiasi successione esatta corta

0 → A′ → A → A′′ → 0,

gli omomorfismi di connessione commutino con esse; si abbia, cioè, per ogni n ∈ ℕ la commutatività del diagramma

\xymatrix{T_{n}(A′′) \ar[d]^{ϕ_{n}} \ar[r]^{δ_{n}^{T}} & T_{n+1}(A′) \ar[d]^{ϕ_{n+1}} \\ U_{n}(A′′) \ar[r]^{δ_{n}^{U}} & U_{n+1}(A′)} .

La definizione relativa ai funtori controvarianti è del tutto analoga.

Lemma 5.1.19. Siano T e U funtori coomologici covarianti, e sia τ : T_{0} → U_{0} una trasformazione naturale. Se, allora, T si annulla sui moduli iniettivi in dimensione positiva (cioè, per n ≥ 1), esiste una trasformazione naturale ϕ : T → U che estende τ. Se, quindi, τ è in realtà una equivalenza naturale e anche U si annulla sui moduli iniettivi, ϕ è una equivalenza naturale.

Dimostrazione. La costruzione di ϕ avviene per via induttiva. Come primo passo si pone, ovviamente, ϕ_{0} := τ. Supponiamo, ora, di avere costruito ϕ_{n} per un certo n ∈ ℕ. Come spiegato in precedenza, esiste un R−modulo iniettivo standard I_{A} = (R^{∗})^{A} in cui A si immerge naturalmente. Si ha, allora, una successione esatta corta

0 → A → I_{A} → I_{A}/A → 0.

Poichè T e U sono funtori coomologici e T si annulla sui moduli iniettivi in dimensione positiva, si ha che il seguente diagramma

\xymatrix{T_{n}(I_{A}/A) \ar[d]^{ϕ_{n}} \ar[r]^{δ_{n}^{T}} & T_{n+1}(A) \ar[r] & 0 \\ U_{n}(I_{A}/A) \ar[r]^{δ_{n}^{U}} & U_{n+1}(A)}

ha riga superiore esatta e, pertanto, è possibile costruire un omomorfismo ϕ_{n+1} : T_{n+1}(A) → U_{n+1}(A) imponendo che il quadrato che si viene, così, a formare commuti. Occorre dimostrare che le ϕ_{n} così costruite sono naturali. Otterremo ciò ancora per induzione su n. Supponiamo, pertanto, che ϕ_{n} sia naturale. Fissato, allora, un omomorfismo A → B, si ha, dalla naturalità di ϕ_{n} che il diagramma

\xymatrix{T_{n}(I_{A}/A) \ar[dd]^{ϕ_{n}} \ar[dr] \ar[rr]^{δ_{n}^{T}} &  & T_{n+1}(A) \ar[dd]^{ϕ_{n+1}} \ar[dr] \ar[rr] &  & 0 \\  & T_{n}(I_{B}/B) \ar[dd]^{ϕ_{n}} \ar[rr] &  & T_{n+1}(B) \ar[dd]^{ϕ_{n+1}} \\ U_{n}(I_{A}/A) \ar[dr] \ar[rr]^{δ_{n}^{U}} &  & U_{n+1}(A) \ar[dr] \\  & U_{n}(I_{B}/B) \ar[rr] &  & U_{n+1}(B)}

ha la riga superiore esatta e tutte le facce, eccetto quella a destra, commutative. E’ facile, però, capire come tutto ciò comporti proprio che anche tale faccia è commutativa, per cui ϕ_{n+1} è anch’essa naturale. Rimane da verificare che la ϕ così ottenuta commuta con gli omomorfismi connettivi. Sia, dunque,

0 → A → B → C → 0

successione esatta corta qualsiasi. Costruiamo, allora, un diagramma commutativo

\xymatrix{A \ar[d]_{1_{A}} \ar[r] & B \ar[d] \ar[r] & C \ar[d] \ar[r] & 0 \\ A \ar[r] & I_{A} \ar[r] & I_{A}/A \ar[r] & 0}

con righe esatte. Ciò può essere fatto grazie alla definizione di modulo iniettivo, quale è I_{A}. Si ricostruisce, allora, un cubo commutativo analogo al precedente, una cui faccia sarà proprio

\xymatrix{T_{n}(C) \ar[d]^{ϕ_{n}} \ar[r]^{δ_{n}^{T}} & T_{n+1}(A) \ar[d]^{ϕ_{n+1}} \\ U_{n}(C) \ar[r]^{δ_{n}^{U}} & U_{n+1}(A)} .

Poichè le altre facce commutano con facilità, segue che lo fa anche quest’ultima.

L’importanza di tale ultimo Lemma risiede nel fatto che, se un funtore covariante esatto a sinistra ha estensione coomologica che si annulla sui moduli iniettivi in dimensione positiva, essa è unica a meno di trasformazione naturale. Ed è unica, a meno di equivalenza naturale, ad avere tali proprietà.

Lemma 5.1.20. Siano T e U funtori coomologici controvarianti definiti sulla categoria degli R−moduli finitamente generati e τ : T_{0} → U_{0} una trasformazione naturale. Se T si annulla sui moduli proiettivi in dimensione positiva, esiste un’unica trasformazione naturale ϕ : T → U che estende τ.

Dimostrazione. Fissato un R−modulo finitamente generato A, abbiamo precedentemente visto come esista un omomorfismo suriettivo π : L → A, dove, essendo S un insieme di generatori di A, L := ⨁_{s∈S} R. Si ha, pertanto, una successione esatta corta della forma

0 → Ker(π) → L → A → 0.

Si ripetono, a questo punto, esattamente gli stessi passaggi svolti nella dimostrazione del precedente Lemma, in modo del tutto analogo.

Per gli scopi di questo lavoro non è restrittivo supporre, da qui in avanti, che gli R−moduli trattati da qui in avanti siano finitamente generati.

Lemma 5.1.21. Siano A e A′ R−moduli e f : A → A′ omomorfismo. Se P e P′ sono risoluzioni proiettive, rispettivamente, di A e A′, esiste un morfismo di complessi f̃: P → P′ che estende f, cioè tale che

\xymatrix{P \ar[d]_{ϵ} \ar[r]^{f̃} & P′ \ar[d]^{ϵ′} \\ A \ar[r]_{f} & A′}

è commutativo. Inoltre, due morfismi siffatti sono omotopi.

Dimostrazione. Si consideri il diagramma

\xymatrix{ & P_{0} \ar[d]^{fϵ} \\ P′_{0} \ar[r]_{ϵ′} & A′ \ar[r] & 0}

Poichè P_{0} è proiettivo, esiste un f̃_{0} : P_{0} → P′_{0} tale che ϵ′f̃_{0} = fϵ. Sia, ora, il diagramma

\xymatrix{ & P_{1} \ar[d]^{f̃_{0}d_{1}} \\ P′_{1} \ar[r]_{d′_{1}} & P′_{0} \ar[r]_{ϵ′} & A′}

Poichè ϵ′f̃_{0}d_{1} = fϵd_{1} = 0, esiste una mappa f̃_{1} : P_{1} → P′_{1} tale che d′_{1}f̃_{1} = f̃_{0}d_{1}. Assumendo, ora, per ipotesi induttiva che sia definita f̃_{n} : P_{n} → P′_{n} per n < m (m > 1) tale che d′_{n}f̃_{n} = f̃_{n−1}d_{n} per n > 0, si ha il diagramma

\xymatrix{ & P_{m} \ar[d]^{f̃_{m−1}d_{m}} \\ P′_{m} \ar[r]_{d′_{m}} & P′_{m−1} \ar[r]_{d′_{m−1}} & P′_{m−2}}

Poichè d′_{m−1}f̃_{m−1}d_{m} = f̃_{m−2}d_{m−1}d_{m} = 0, esiste una mappa f̃_{m} : P_{m} → P′_{m} tale che d′_{m}f̃_{m} = f̃_{m−1}d_{m}. Abbiamo, pertanto, esteso f : A → A′ a f̃: P → P′, come desiderato. Supponiamo, ora, che vi siano due estensioni f̃, f̃′ di f. Sia il diagramma

\xymatrix{ & P_{0} \ar[d]^{τ} \\ P′_{1} \ar[r]_{d′_{1}} & P′_{0} \ar[r]_{ϵ′} & A}

dove τ = f̃′_{0} − f̃_{0}. Poichè ϵ′τ = ϵ′f̃′_{0} − ϵ′f̃_{0} = fϵ − fϵ = 0, esiste una mappa s_{0} : P_{0} → P′_{1} tale che d′_{1}s_{0} = f̃′_{0} − f̃_{0}. Assumiamo che s_{n} : P_{n} → P′_{n+1} sia già definita per ogni n < m (m > 0) e sia tale che d′_{n+1}s_{n} + s_{n−1}d_{n} = f̃′_{n} − f̃_{n} per n > 0, e che, inoltre, si abbia il diagramma

\xymatrix{ & P_{m} \ar[d]^{τ} \\ P′_{m+1} \ar[r]_{d′_{m+1}} & P′_{m} \ar[r]_{d′_{m}} & P′_{m−1}}

con τ = f̃′_{m} − f̃_{m} − s_{m−1}d_{m} tale che d′_{m}τ, per ipotesi induttiva, è 0. Esiste, allora, s_{m} : P_{m} → P′_{m+1} tale che il precedente diagramma commuti, cioè, sia tale che d′_{m+1}s_{m} + s_{m−1}d_{m} = f̃′_{m} − f̃_{m}.

Come conseguenza abbiamo, quindi, che tutte le risoluzioni proiettive di un R−modulo A sono omotopicamente equivalenti mediante una mappa che abbia l’identità come componente in dimensione -1. Con procedimenti del tutto analoghi si dimostra che gli stessi risultati valgono con le risoluzioni iniettive.

Fissiamo, a questo punto, un funtore additivo controvariante S. Scelto un modulo A sia

... → P_{1} → P_{0} → A → 0

una sua risoluzione proiettiva. Applicando ad essa S ricaviamo un complesso di cocatene

0 → SA → SP_{0} → SP_{1} → ...

Dal precedente Lemma ricaviamo che due complessi siffatti sono omotopi e, poichè la coomologia è funtore di omotopia, è univocamente definito il gruppo graduato di coomologia R^{n}SA, per n ≥ 0, di tale complesso. Se, inoltre, B è un altro modulo e f : A → B è omomorfismo, data una risoluzione proiettiva Q di B, esisterà, sempre per il precedente Lemma una estensione f̃: P → Q che, risultando unica a meno di omotopia, fa sì che la mappa R^{n}f : R^{n}SA → R^{n}SB sia ben definita. E’ una facile verifica accertarsi di come R^{n} sia un funtore covariante. Lo stesso risultato è, naturalmente, ottenuto scegliendo un funtore covariante S e risoluzioni iniettive degli R−moduli A e B. In tale ultimo caso si conviene di chiamare la famiglia di funtori RS := {R^{n}S}_{n∈ℕ}, come funtore derivato di S. Assumiamo a priori che R^{0}SA = SA in entrambi i casi.

Teorema 5.1.22. Sia S funtore additivo controvariante. La famiglia RS = {R^{n}S}_{n∈ℕ} è funtore coomologico che si annulla sui moduli proiettivi in dimensione positiva. Se, quindi, S è esatto a sinistra, RS è estensione coomologica di S.

Dimostrazione. Sia

0 → A →^{f} B →^{g} C → 0

successione esatta corta di R−moduli. Siano, allora, ϵ′ : P′_{0} → A e ϵ′′ : P′′_{0} → C degli omomorfismi suriettivi, con P′_{0}, P′′_{0} R−moduli proiettivi. Vogliamo, allora, dimostrare che esiste una presentazione proiettiva ϵ : P_{0} → B tale che, dato il diagramma

\xymatrix{ & P′_{0} \ar[d]^{ϵ′} & P_{0} \ar[d]^{ϵ} & P′′_{0} \ar[d]^{ϵ′′} \\ 0 \ar[r] & A \ar[r]^{f} & B \ar[r]^{g} & C \ar[r] & 0}

avente riga esatta, esistono i : P′_{0} ↪ P_{0} e j : P_{0} ↠ P′′_{0}, rispettivamente monomorfismo ed epimorfismo, tali che il diagramma commutativo risultante ha entrambe le righe esatte. Sia, quindi, P_{0} := P′_{0}⊕P′′_{0} R−modulo proiettivo. Pertanto, definiamo i come l’immersione canonica di P′_{0} in P_{0}, e j come la proiezione canonica di P_{0} in P′′_{0}. Definiamo, quindi, ϵ : P_{0} → B. Poichè P′′_{0} è proiettivo, ϵ′′ si fattorizza attraverso B, cioè è tale che esiste un omomorfismo r : P′′_{0} → B per cui ϵ′′ = gr. Pertanto, si definisce ϵ(p′, p′′) := fϵ′(p′) + r(p′′). Il diagramma

\xymatrix{P′_{0} \ar[d]^{ϵ′} \ar[r]^{i} & P_{0} \ar[d]^{ϵ} \ar[r]^{j} & P′′_{0} \ar[d]^{ϵ′′} \\ A \ar[r]^{f} & B \ar[r]^{g} & C}

è, allora, commutativo e ha righe esatte. Segue dalla dimostrazione del Lemma dei Cinque (vedi [11]) che essendo, in tale situazione, ϵ′ e ϵ′′ suriettivi, anche ϵ lo è. Data questa situazione è noto (vedi [11]) che è esatta la successione corta

0 → Ker(ϵ′) → Ker(ϵ) → Ker(ϵ′′) → 0.

Ripetendo lo stesso ragionamento su tale successione esatta corta invece che su

0 → A → B → C → 0

e procedendo induttivamente in questo modo si è costruita una successione esatta corta di risoluzioni proiettive di A, B, C. Poichè P_{n} = P′_{n} ⊕ P′′_{n} per n ≥ 0 e, siccome S è funtore additivo, le righe

0 → SP′′_{n} → SP_{n} → SP′_{n} → 0

sono ancora esatte e spaccano^{3}. Per il Lemma del Serpente, allora, si ha che un funtore derivato di un funtore additivo è funtore coomologico. Se, ora, A è modulo proiettivo, scelgo come sua risoluzione proiettiva

... → 0 → 0 → A →^{id} A → 0,

ottenendo il complesso SA → 0 → 0 → ... che è ovviamente esatto in dimensione positiva. Supponiamo, infine, S esatto a sinistra, e scegliamo una risoluzione proiettiva di A della forma

... → P_{1} →^{d} P_{0} →^{ϵ} A → 0.

Allora, sarà esatta anche la successione

0 → SA →^{Sϵ} SP_{0} →^{Sd} SP_{1}

e, pertanto, SA ≃^{Sϵ} Ker(Sd). Essendo, però, Ker(Sd) = H^{0}(SP), si ha la tesi.

Teorema 5.1.23. Sia S funtore additivo covariante. La famiglia RS := {R^{n}S}_{n∈ℕ} è funtore coomologico che si annulla sugli iniettivi in dimensione positiva. Se S è esatto a sinistra, allora RS è estensione coomologica di S.

La dimostrazione è analoga a quella del precedente Teorema. Osserviamo che, come conseguenza di tali risultati, i funtori derivati sono unici a meno di equivalenza naturale.

Definizione 5.1.24. Sia B un R−modulo. Si chiamano, allora, Ext_{R}^{n}(· , B) i funtori derivati del funtore Hom_{R}(· , B).

3Date le iniezioni banali id_{A} : A → A ⊕ B e id_{B} : B → A ⊕ B e T funtore additivo, siano χ_{A} := id_{A} ⊕ 0, χ_{B} := 0 ⊕ id_{B} : A ⊕ B → A ⊕ B; allora, id_{T (A⊕B)} = T (id_{A⊕B}) = T (χ_{A}) + T (χ_{B}) : T (A) ⊕ T (B) → T (A ⊕ B)

Poichè Hom_{R}(· , B) è esatto a sinistra, il Teorema 5.1.22 comporta che Ext_{R}(· , B) è estensione coomologica di Hom_{R}(· , B) che si annulla sui moduli proiettivi in dimensione positiva. Sia, ora, un morfismo B → B′ ed una risoluzione proiettiva di un modulo A

... → P_{1} → P_{0} → A → 0.

Il diagramma indotto

\xymatrix{Hom_{R}(P_{0}, B) \ar[d] \ar[r] & Hom_{R}(P_{1}, B) \ar[d] \ar[r] & ... \\ Hom_{R}(P_{0}, B′) \ar[r] & Hom_{R}(P_{1}, B′) \ar[r] & ...}

è banalmente commutativo in quanto Hom_{R} è un bifuntore. Abbiamo, così, costruito un morfismo di complessi, che induce gli omomorfismi

Ext_{R}^{n}(A, B) → Ext_{R}^{n}(A, B′),

i quali rendono anche Ext_{R}(A, ·) un funtore.

Proposizione 5.1.25. I funtori derivati di Hom_{R}(A, ·) sono gli Ext_{R}^{n}(A, ·)

Dimostrazione. Per il Lemma 5.1.19 e il Teorema 5.1.22, è sufficiente mostrare che, poichè Ext_{R}^{0}(A, B) = Hom_{R}(A, B), Ext_{R}(A, ·) è funtore coomologico che si annulla sui moduli iniettivi. Sia, dunque, 0 → B′ → B → B′′ → 0 una successione esatta di R−moduli. Scelta, allora, una risoluzione proiettiva P di A, si ha il seguente diagramma commutativo, le cui colonne sono esatte, per la definizione stessa di modulo proiettivo:

\xymatrix{0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\ Hom_{R}(P_{0}, B′) \ar[d] \ar[r] & Hom_{R}(P_{1}, B′) \ar[d] \ar[r] & ... \\ Hom_{R}(P_{0}, B) \ar[d] \ar[r] & Hom_{R}(P_{1}, B) \ar[d] \ar[r] & ... \\ Hom_{R}(P_{0}, B′′) \ar[d] \ar[r] & Hom_{R}(P_{1}, B′′) \ar[d] \ar[r] & ... \\ 0 & 0}

Per il Lemma del Serpente, allora, Ext_{R}(A, ·) risulta essere funtore coomologico. Se, infine, B è iniettivo, data una risoluzione proiettiva P di A, si ha che

0 → Hom_{R}(A, B) → Hom_{R}(P_{0}, B) → Hom_{R}(P_{1}, B) → ...

è esatta e, pertanto, Ext_{R}(A, ·) è nullo in dimensione positiva.

Teorema 5.1.26. Ext_{R}^{n} è un bifuntore, per ogni n ∈ ℕ.

Dimostrazione. Siano dati gli omomorfismi di R−moduli A′ → A e B → B′. Siano P e P′ risoluzioni proiettive, rispettivamente, di A e A′. Essendo, come già detto in precedenza, Hom_{R} un bifuntore, il diagramma

\xymatrix{Hom_{R}(P_{0}, B) \ar[dd] \ar[dr] \ar[rr] &  & Hom_{R}(P_{1}, B) \ar[dd] \ar[dr] \ar[r] & ... \\  & Hom_{R}(P′_{0}, B) \ar[dd] \ar[rr] &  & Hom_{R}(P′_{1}, B) \ar[dd] \ar[r] & ... \\ Hom_{R}(P_{0}, B′) \ar[dr] \ar[rr] &  & Hom_{R}(P′_{1}, B) \ar[dr] \ar[r] & ... \\  & Hom_{R}(P′_{0}, B′) \ar[rr] &  & Hom_{R}(P′_{1}, B′) \ar[r] & ...}

è commutativo. La coomologia di tale diagramma, calcolata sui vertici di ogni faccia verticale, dà luogo al diagramma

\xymatrix{Ext_{R}^{n}(A, B) \ar[d] \ar[r] & Ext_{R}^{n}(A′, B) \ar[d] \\ Ext_{R}^{n}(A, B′) \ar[r] & Ext_{R}(A′, B′)} ,

commutativo a sua volta, dalla definizione stessa di funtore.

5.2 Coomologia dei gruppi

Dato un gruppo G generico, si assume di chiamare G-modulo un Λ−modulo A, dove Λ := ℤ[G]. Si osservi che la struttura “moltiplicativa” (cioè, rispetto alla legge di composizione in G) di Λ non è necessariamente commutativa e, pertanto, Λ non è ℤ−libero. Si consideri, ora, il funtore (·)^{G} applicato alla categoria dei G−moduli, dove, dato un G−modulo A, A^{G} è l’insieme degli elementi di A lasciati fissi dall’azione di G.

Osservazione 5.2.1. Il funtore (·)^{G}, che agisce dalla categoria dei G−moduli a quella dei gruppi abeliani è additivo.

Dimostrazione. Dato l’omomorfismo di G−moduli f : A → B, se a ∈ A^{G} si ha che g(f(a)) = f(g(a)) = f(a) per ogni g ∈ G. Dunque, effettivamente, f^{G} : A^{G} → B^{G}. E’, poi, facile capire che, dati i morfismi A →^{f} B →^{h} C, si ha che (hf)^{G} = h^{G}f^{G} e che 1_{A}^{G} = 1_{A^{G}}. Dunque, (·)^{G} è funtore covariante. E’ additivo perchè, date f, h : A → B e a ∈ A^{G}, g(f(a) + h(a)) = f(ga) + h(ga) = f(a) + h(a) e, pertanto, (f + h)^{G} = f^{G} + h^{G}.

Ora, poichè, fissato un G−modulo A, A^{G} ≃ (Hom_{ℤ}(ℤ, A))^{G} ≃ Hom_{Λ}(ℤ, A), segue da ciò che (·)^{G} è funtore esatto a sinistra e, pertanto, i suoi funtori derivati ne costituiscono una estensione coomologica che si annulla sui G−moduli iniettivi. Tuttavia, poichè Ext_{Λ} è un bifuntore e i funtori derivati di Hom_{Λ}(ℤ, ·) su A e quelli derivati di Hom_{Λ}(· , A) su ℤ coincidono (vedi gli ultimi due risultati del precedente paragrafo), Ext_{Λ}(ℤ, A) è univocamente determinato a meno di trasformazione naturale anche intendendo Hom_{Λ}(ℤ, ·), per ogni G−modulo A, come il funtore Hom_{Λ}(· , A) applicato a ℤ. In tal caso, infatti, sarà estensione coomologica di ciascuno dei suddetti funtori controvarianti additivi (esatti a sinistra) che si annulla in dimensione positiva sui proiettivi. Si assume di chiamare, da qui in avanti,

H^{n}(G, ·) := Ext_{Λ}^{n}(ℤ, ·)

avendo definito senza alcuna ambiguità tale struttura. Esiste, ora, una risoluzione Λ−libera standard di ℤ, grazie alla quale si ha una maggiore maneggevolezza della coomologia dei gruppi. Definiamo i Λ−moduli liberi

L_{n} := Λ^{n+1} = ⨁_{i=1}^{n+1} Λ

per n ∈ ℕ. Essi saranno gli oggetti della risoluzione cercata. La mappa di bordo che attribuiamo ad essi è la medesima con la quale si costruisce l’omologia singolare di uno spazio topologico, intendendo, qui, come simplessi standard le stringhe finite di elementi distinti di G. Pertanto:

∂_{n} : Λ^{n+1} → Λ^{n}

(g_{0}, ..., g_{n}) ↦ ∑_{i=0}^{n}(−1)^{i}(g_{0}, ..., ĝ_{i}, ..., g_{n})

Il complesso di catene così ottenuto è aciclico (vedi [6]) e, pertanto, essendo ϵ : Λ → ℤ la proiezione canonica di Λ sul G−modulo ℤ (tale che ℤ = ℤ^{G}), determina la risoluzione libera standard

... → L_{1} → L_{0} → ℤ → 0

di ℤ come G−modulo.

Sia, ora

C^{n}(G, A) := {f : ⨁_{i=1}^{n} G → A}

insieme delle funzioni da G^{n} ad A. Esso è, ovviamente, gruppo abeliano additivo. Esiste una corrispondenza biunivoca

Hom_{Λ}(L_{n}, A) → C^{n}(G, A)

che, ad ogni f ∈ Hom_{Λ}(L_{n}, A), associa h ∈ C^{n}(G, A) tale che h(g_{1}, ..., g_{n}) := f(1, g_{1}, g_{1}g_{2}, ..., ∏_{i=1}^{n} g_{i}). La mappa di cobordo indotta è

dh(g_{1}, ..., g_{n+1}) = g_{1}h(g_{2}, ..., g_{n+1})+∑_{i=1}^{n}(−1)^{i}h(g_{1}, ..., g_{i}g_{i+1}, ..., g_{n+1})+(−1)^{n+1}h(g_{1}, ..., g_{n}).

Si è, così, costruito l’isomorfismo tra complessi di cocatene

\xymatrix{Hom_{Λ}(L_{0}, A) \ar[d]^{≃} \ar[r] & Hom_{Λ}(L_{1}, A) \ar[d]^{≃} \ar[r] & ... \\ C^{0}(G, A) \ar[r]^{d_{0}} & C^{1}(G, A) \ar[r]^{d_{1}} & ...}

la coomologia delle cui righe è proprio H^{∗}(G, A). Ora, è chiaro che Hom_{Λ}(Λ, A) ≃ A ≃ C^{0}(G, A) = {f : ℤ → A} ed, essendo H^{0}(G, A) = Ker(d_{0}), si ricava che H^{0}(G, A) = A^{G}.

Se |G| < +∞, si può estendere a sinistra il complesso, ottenendo

A →^{d_{−1}} A →^{d_{0}} C^{1}(G, A) → ...

dove d_{1}(a) := ∑_{g∈G} ga. Il complesso modificato dà luogo alla coomologia H̃^{∗}(G, A), tale che H̃^{n} = H^{n} per n ≥ 1, e H̃^{0}(G, A) = A^{G}/N_{G}^{A}, dove tale ultimo gruppo è detto gruppo norma residuo, essendo N_{G}(a) = ∑_{g∈G} ga.

Ora, volendo applicare le tecniche di coomologia dei gruppi al Problema Inverso, verranno d’ora in avanti trattati gruppi profiniti, in quanto è noto (vedi [8] e [10]) che ogni gruppo di Galois di una estensione astratta di campi è gruppo profinito relativamente alla topologia indotta dalla base di Krull su di esso. Ricordiamo la definizione:

Definizione 5.2.2. Un gruppo topologico G è detto profinito se è compatto, di Hausdorff e ha una base di intorni aperti di 1 costituita da sottogruppi normali.

Teorema 5.2.3. 1) Un gruppo topologico è profinito se e solo se è compatto, di Hausdorff e totalmente disconnesso.

2) Un gruppo topologico è profinito se e solo se è limite inverso di gruppi finiti dotati della topologia discreta.

La dimostrazione è reperibile su [10] e su [5].

Senza ulteriori specificazioni, si assumono continui gli omomorfismi tra gruppi profiniti.

Definizione 5.2.4. Dato un gruppo profinito G, un G−modulo topologico è un gruppo topologico M di Hausdorff, abeliano, con struttura di G−modulo tale che l’azione

G × M → M
(g, m) ↦ g(m)

è continua.

Il termine “G−modulo”, senza l’aggettivo “topologico”, intende che M è discreto, cioè l’azione di G su M sopra descritta è continua, assumendo M con topologia discreta.

Lemma 5.2.5. Sia G gruppo profinito e M G−modulo discreto. Allora:

1) ∀m ∈ M ⟹ Stab_{G}(m) := {g ∈ G : g(m) = m} è aperto.

2) M = ∪_{U∈U}M^{U}, con U famiglia dei sottogruppi normali aperti di G.

Dimostrazione. 1) G × {m} è aperto in G × M, facente parte della base di Tychonoff. Inoltre, data

ϕ : G × M → M
(g, m) ↦ g(m),

si ha che anche ϕ^{−1}(m) è aperto in G × M. Allora, poichè

Stab_{G}(m) × {m} = G × {m} ∩ ϕ^{−1}(m)

e, siccome si tratta necessariamente, essendo {m} costituito di un solo elemento, di un elemento della base di Tychonoff, segue che Stab_{G}(m) è aperto in G.

2) m ∈ M^{Stab_{G}(m)}, al variare di m ∈ M.

Analizziamo le principali proprietà della coomologia dei gruppi profiniti. Sia G un gruppo profinito, e sia A un G−modulo. Chiamiamo N la base di intorni aperti di 1 costituita da sottogruppi normali. Sia I un insieme in corrispondenza biunivoca con N, che ne indicizza gli elementi; attribuiamo ad esso un ordine parziale ponendo

i ≤ j ⟺ N_{i} ⊇ N_{j}

il che rende {G/N_{i}}_{i∈I} un sistema inverso, per il II Teorema di Omomorfismo, mediante le proiezioni canoniche

π_{ij} : G/N_{j} → G/N_{i},

per i ≤ j. Parallelamente, lo stesso ordine parziale rende {A^{N_{i}}}_{i∈I} un sistema diretto mediante le inclusioni banali A^{N_{i}} ⊆ A^{N_{j}}, per i ≤ j. Si ha, allora

G ≃ lim_{⟵}_{N∈N} G/N

∪_{N∈N} A^{N} = A^{∩_{N∈N} N} ≃ lim_{⟶}_{N∈N} A^{N}.

Naturalmente, se A è discreto,

A = lim_{⟶}_{N∈N} A^{N}.

Per n ≥ 1 fissato, assumendo N, M ∈ N tali che N ≤ M (il che significa che N ⊇ M), lo schema commutativo

\xymatrix{f_{N} : (G/N)^{n} \ar[r] & A^{N} \ar[d]_{i} \\ f_{M} : (G/M)^{n} \ar[u]_{π} \ar[r] & A^{M}}

(dove π è proiezione canonica e i immersione) induce una mappa τ_{N,M} : C^{n}(G/N, A) → C^{n}(G/M, A). Pertanto, {C^{n}(G/N, A)}_{N∈N} è sistema diretto mediante le τ_{N,M} appena costruite. Si ha, così, la situazione, per N ≤ M,

\xymatrix{C^{n−1}(G/N, A^{N}) \ar[d]^{τ_{N,M}^{n−1}} \ar[r]^{d_{n−1}} & C^{n}(G/N, A^{N}) \ar[d]^{τ_{N,M}^{n}} \ar[r]^{d_{n}} & C^{n+1}(G/N, A^{N}) \ar[d]^{τ_{N,M}^{n+1}} \\ C^{n−1}(G/M, A^{M}) \ar[r]^{d_{n−1}} & C^{n}(G/M, A^{M}) \ar[r]^{d_{n}} & C^{n+1}(G/M, A^{M})} .

Il funtore covariante di coomologia determina, quindi, un sistema diretto {H^{n}(G/N, A^{N})}_{N∈N}. Si definisce, pertanto,

H_{C}^{n}(G, ∪_{N∈N} A^{N}) := lim_{⟶}_{N∈N} H^{n}(G/N, A^{N}).

Se, quindi, A è discreto, si ricava H_{C}^{n}(G, A), che coincide con H^{n}(G, A), naturalmente, nel caso in cui |G| < +∞.

Sia, ora, F/K una estensione FG, avente gruppo di Galois G. Il gruppo G agirà, dunque, su F in quanto gruppo di automorfismi di F, rendendo G−moduli i due gruppi (abeliani) (F, +) e (F^{∗}, ·). E’, pertanto, lecito applicare gli strumenti della coomologia dei gruppi al caso di gruppi di Galois e di estensioni di Galois. Come prima cosa, sappiamo che H^{0}(G, F) = F^{G} = K e che H^{0}(G, F^{∗}) = F^{∗}^{G} = K^{∗}. Studiamo, allora, le proprietà dei gruppi di coomologia in dimensione positiva.

Teorema 5.2.6. ∀n > 0 ⟹ H^{n}(G, F) = 0.

Dimostrazione. Per il Teorema della Base Normale, esiste un elemento α dell’estensione, tale che F ≃ ⨁_{g∈G}(g·α)K, ossia tale che i suoi G−coniugati costituiscano una K−base dello spazio vettoriale F. Posso, allora, identificare ogni elemento di F con una stringa (g_{1}(α)k_{1}, ..., g_{r}(α)k_{r}), per k_{1}, ..., k_{r} ∈ K e G = {g_{1}, ..., g_{r}}. Poichè Λ = ℤ[G], è lecito definire un elemento ϕ del gruppo additivo abeliano Hom_{ℤ}(Λ, K) tale che ϕ(g_{i}) := k_{i}, per i = 1, ..., r, imponendo che sia ℤ−omomorfismo. E’, allora, facile rendersi conto di come tale associazione (g_{1}(α)k_{1}, ..., g_{r}(α)k_{r}) ↦ ϕ costituisca, in realtà, un isomorfismo F ≃ Hom_{ℤ}(Λ, K). Sia, ora, P una risoluzione proiettiva di ℤ. Allora,l’n−simo elemento del complesso di cocatene (Hom_{Λ}(P, F), d) è

Hom_{Λ}(P_{n}, F) = Hom_{Λ}(P_{n}, Hom_{ℤ}(Λ, K)) ≃ Hom_{ℤ}(P_{n}, K).

Essendo, allora, ℤ uno ℤ−modulo libero e, pertanto, anche proiettivo, si ha dalla definizione di quest’ultimo e dal fatto che Ext_{ℤ} è un bifuntore, che il complesso (Hom_{Λ}(P, F), d) = (Hom_{ℤ}(P, K), d) è esatto in dimensione positiva.

Corollario 5.2.7. Se F/K è estensione FG ciclica avente gruppo di Galois G =< g >, ogni elemento u ∈ F di traccia 0 è della forma ga−a, per qualche a ∈ F.

Dimostrazione. N_{G}(u) = ∑_{g∈G} g·u = 0. Sia f ∈ C^{1}(G, F) funzione qualsiasi tale che f : g ↦ u. Allora, posto n := |G|,

∑_{i=0}^{n−1} g^{i}u = ∑_{i=0}^{n−1} g^{i}f(g) = f(g) + gf(g) + ... + g^{n−1}f(g) = 0.

Vogliamo sapere se una tale mappa può essere un 1-cociclo. Definendola in modo che sia tale, ricaviamo allora, che, essendo f ∈ Z^{1}(G, F) e, pertanto, f(1) = f(1) + f(1) ⟹ f(1) = 0 ⟹ f(g^{n}) = 0,

0 = f(g^{n}) = gf(g^{n−1}) + f(g) = g^{2}f(g^{n−2}) + gf(g) + f(g) = ... = N_{G}(u)

il che mostra la compatibilità della scelta fatta. Dato u ∈ F avente traccia nulla, quindi, è sempre possibile costruire f ∈ Z^{1}(G, F) tale che f(g) = u. Il precedente Teorema, a questo punto, fa sì che Z^{1}(G, F) = B^{1}(G, F). La costruzione, precedentemente fatta, della mappa di cobordo d del complesso di cocatene (C^{n}(G, F), d) mostra facilmente come, ora, esista a ∈ F ≃ C^{0}(G, F) tale che u = f(g) = ga − a.

Definizione 5.2.8. Dato un G−modulo A, si definisce

H^{−1}(G, A) := N_{G}^{A}/I_{G}A

per N_{G}^{A} := Ker(N_{G} : A → A) e I_{G}A := {ga − a, ∀a ∈ A, ∀g ∈ G}.

Come conseguenza del precedente Corollario abbiamo, allora, che, se G(F/K) è ciclico e finito, allora H^{1}(G, F) ≃ H^{−1}(G, F) = 0.

Teorema 5.2.9. Sia F/K estensione FG. Allora, H^{1}(G, F^{∗}) = 0.

Dimostrazione. Sia γ : G → F^{∗} un 1-cociclo. Per il Teorema di indipendenza dei caratteri, si ha che b := ∑_{g∈G} γ(g)g ∈ F [G] non è azione nulla su F e, pertanto, esiste x ∈ F tale che c = b · x ≠ 0. Se h ∈ G, si ha che

h · c = ∑_{g∈G} h · γ(g)(hg) · x = ∑_{g∈G} \frac{γ(hg)}{γ(h)}(hg) · x = \frac{c}{γ(h)}

e, quindi, γ(h) = \frac{h·c^{−1}}{c^{−1}} . Dunque, γ è un 1-cobordo.

Corollario 5.2.10. (Teorema 90 di Hilbert) Se F/K è estensione FG ciclica tale che G =< g >, se ω ∈ F è tale che^{4} N_{G}(ω) = 1, esiste a ∈ F tale che ω = ga/a.

La dimostrazione è del tutto analoga a quella del Corollario 5.2.7.

Corollario 5.2.11. Se F/K è estensione finita e ciclica di grado n e gruppo di Galois G, se si ha che < ζ_{n} >⊆ K, ⟹ ∃b ∈ K tale che F = K(\sqrt[n]{b}).

4Per evitare di appesantire ulteriormente le notazioni, si conviene di adoperare la medesima simbologia sia nel caso additivo che in quello moltiplicativo

5.3. REALIZZAZIONE DI ℤ/4ℤ E DI Q_{8} 107

Dimostrazione. Sia ζ_{n} ∈ K. Ovviamente, N_{G}(ζ_{n}) = 1. Per il Teorema 90 di Hilbert, allora, esiste α ∈ F^{∗} tale che ζ_{n} = \frac{g(α)}{α}, per G =< g >. Dunque, g(α) = ζ_{n}α e, pertanto, i coniugati di α mediante G saranno {α, ζ_{n}α, ..., ζ_{n}^{n−1}α}, distinti per la definizione stessa di ζ_{n}. Inoltre, g(α^{n}) = (g(α))^{n} = (ζ_{n}α)^{n} = α^{n} ⟹ α^{n} ∈ K. Dunque, si è costruito un elemento α ∈ F tale che ha n = [F : K] coniugati distinti e che è radice n−sima di un elemento di K. Il suo polinomio minimo sarà, pertanto, x^{n} − α^{n}, per cui F = K(\sqrt[n]{b}), con b = α^{n}.

5.3 Realizzazione di ℤ/4ℤ e di Q_{8}

Vediamo, finalmente, quali applicazioni ha il bagaglio degli strumenti fin qui introdotti nell’approccio al Problema di Immersione. Diamo due esempi, il primo dei quali è ℤ/4ℤ. Come si vedrà, in questo caso l’obiettivo non è tanto la realizzazione di un gruppo che, essendo ciclico e finito, è uno dei casi più semplici in assoluto da trattare, bensì la sua interpretazione da un punto di vista del Problema di Immersione. Il maggior pregio del Problema di Immersione è quello di basarsi in modo essenziale sul Teorema Fondamentale della Teoria di Galois: si costruisce una torre di estensioni di Galois K_{1} ⊂ K_{2} ⊂ K_{3} in modo che in questa si rispecchi la natura stessa del gruppo G̃ che si vuole realizzare, per realizzare anzitutto il gruppo quoziente G(K_{2}/K_{1}) e cercare, poi, di capire quali proprietà debba avere l’estensione K_{3}/K_{2} (o, equivalentemente, il suo elemento primitivo) in modo che G̃ possa essere isomorfo a G(K_{3}/K_{1}). L’analisi del caso ℤ/4ℤ costituisce un ottimo esempio in cui tali concetti trovano applicazione nel classificare le due possibili forme di una estensione di grado 4 in base alla natura dell’elemento primitivo di una estensione quadratica intermedia.

5.3.1 Gruppi di ordine 4

Come è noto, i gruppi di ordine 4 sono abeliani e, dunque, sono necessariamente in una delle due seguenti forme: ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ oppure ℤ/4ℤ. Entrambe si realizzano molto facilmente su ℚ: ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ ≃ G(ℚ(\sqrt{n_{1}}, \sqrt{n_{2}})/ℚ), dove n_{1}n_{2} ≠ □ in ℚ, e ℤ/4ℤ ≃ G(ℚ(ζ_{5})/ℚ). In tutti e due i casi si costruisce una torre di estensioni K ⊂ K_{2} ⊂ K_{4} (volendo, in generale, realizzare tali gruppi su un generico campo K tale che char(K) ≠ 2) tale che K_{2} = K(\sqrt{ϵ}), per ϵ ∈ K^{∗} − (K^{∗})^{2}. Per il Teorema di Cauchy, infatti, un gruppo di ordine 4 ammette sottogruppo (normale) di ordine 2, il che si traduce, per il Teorema Fondamentale della Teoria di Galois, in una situazione di questo tipo. Pertanto, un generico elemento di K_{2} è della forma a + b\sqrt{ϵ}, per a, b ∈ K e, quindi, K_{4} sarà della forma K_{4} = K_{2}(\sqrt{a + b\sqrt{ϵ}}). Come prima cosa, osserviamo che, ovviamente, vi sono scelte di a, b ∈ K per cui K_{4}/K non è nemmeno di Galois (per esempio, se K = ℚ e ϵ = 2, si ha tale situazione con a = 0 e b = 1). Forniamo, allora, un importante risultato, che caratterizza la natura dell’estensione K_{4}/K in base alla scelta della tripla a, b, ϵ in K.

Teorema 5.3.1. Una estensione di quarto grado K_{4} = K(\sqrt{a + b\sqrt{ϵ}}), con a, b, ϵ come sopra, è di Galois e ciclica se e solo se a^{2} −b^{2}ϵ = c^{2}ϵ, per qualche c ∈ K^{∗}.

Prima di procedere alla dimostrazione, introduciamo un concetto di basilare importanza. Sia H un sottogruppo di un gruppo G qualsiasi. Sia {g_{1}H, ..., g_{k}H} l’insieme dei suoi laterali sinistri. Scelto un rappresentante g_{i} si ha, allora, che per ogni g ∈ G esiste un g_{j} tale che gg_{i}H = g_{j}H. Fissata, quindi, una scelta di rappresentanti {g_{1}, ..., g_{k}}, si definisce h_{i}(g), al variare di g in G, come quell’elemento di H tale che gg_{i} = g_{j}h_{i}(g). Ora, date due diverse scelte di rappresentanti

{g_{1}, ..., g_{k}}
{g̃_{1}, ..., g̃_{k}}

si ha l’esistenza di {h_{1}, ..., h_{k}} ⊂ H tali che g̃_{i} = g_{i}h_{i} per i = 1, ..., k. Allora, gg̃_{i} = gg_{i}h_{i} = g_{j}h_{i}(g)h_{i}. Quindi, g̃_{j} = g_{j}h_{j} ⟹ g_{j} = g̃_{j}h_{j}^{−1} ⟹ gg̃_{i} = g̃_{j}h_{j}^{−1}h_{i}(g)h_{i}. Pertanto, gg̃_{i} = g̃_{j}h̃_{i}(g), dove h̃_{i}(g) = h_{j}^{−1}h_{i}(g)h_{i}. Gli elementi h_{i}(g) dipendono, pertanto dalla scelta dei rappresentanti e, dunque, non consentono di definire una funzione da G/H a H. Tuttavia, supponendo, per ora, il caso k = 2, si ha che h̃_{1}(g)h̃_{2}(g) = h_{j_{1}}^{−1}h_{1}(g)h_{1}h_{j_{2}}^{−1}h_{2}(g)h_{2}. Essendo, allora, j_{1} = 1, 2, se j_{1} = 2, si ha che j_{2} = 1 e, dunque, h_{2}^{−1}h_{1}(g)h_{1}h_{1}^{−1}h_{2}(g)h_{2} = h_{2}^{−1}h_{1}(g)h_{2}(g)h_{2} ≡ h_{1}(g)h_{2}(g) mod(DH). Allo stesso modo, j_{1} = 1 ⟹ j_{2} = 2 e, quindi, h_{1}^{−1}h_{1}(g)h_{1}h_{2}^{−1}h_{2}(g)h_{2} ≡ h_{1}(g)h_{2}(g) mod(DH). Ripetendo in modo analogo tali procedimenti sulle permutazioni di {1, ..., k} si ha che ∏_{i=1}^{k} h_{i}(g) è ben definito mod(DH). Si definisce, allora,

V er_{H}^{G} : G/DG → H/DH

\overline{g} ↦ ∏_{i=1}^{k} h_{i}(g)(DH).

Se, poi, g ∈ DG, è chiaro che h_{i}(g) = g_{j}^{−1}gg_{i} ⟹ ∏_{i=1}^{k} h_{i}(g) ∈ DG ∩ H = DH. L’omomorfismo V er_{H}^{G} così definito è detto transfer.

Dimostrazione. Dato un generico gruppo finito G, si scelga 0 ≠ ϵ ∈ Hom(G, ℤ/2ℤ). Sia H := Ker(ϵ). Scegliamo, allora, χ ∈ Hom(H, ℤ/2ℤ) e chiamiamo H_{χ} := Ker(χ). Si è, così, costruita una catena di sottogruppi di G di indice 2: H_{χ} ◁ H ◁ G.

Lemma 5.3.2. H_{χ} ◁ G, G/H_{χ} ≃ ℤ/4ℤ ⟺ Cor_{H}^{G}χ = ϵ.

Dimostrazione. Definiamo l’omomorfismo

Cor_{H}^{G} : Hom(H, ℤ/2ℤ) → Hom(G, ℤ/2ℤ)

χ ↦^{Cor_{H}^{G}} ψ : G → ℤ/2ℤ

dove si ha che

g ↦^{ψ} χ(V er_{H}^{G}g).

Supponiamo che H_{χ}◁G e che G/H_{χ} ≃ ℤ/4ℤ. Poichè ℤ/4ℤ è abeliano, DG ⊆ H_{χ} = Ker(χ) e, quindi, ψ è ben definito, in quanto g ↦ χ(V er_{H}^{G} \overline{g}) = χ(\overline{h}), con \overline{h} ∈ H/DH. Ora, DH ⊆ DG ⊆ H_{χ} = Ker(χ) ⟹ χ(\overline{h}) = χ(h), che è un valore univocamente determinato in ℤ/2ℤ. Dunque, nel nostro particolare caso, è una buona definizione quella di Cor_{H}^{G}. Usando, ora, G/H_{χ} ≃ ℤ/4ℤ al posto di G, si considera di conseguenza H/H_{χ} ≃ ℤ/2ℤ al posto di H. Il transfer indotto è, allora,

V er : ℤ/4ℤ → ℤ/2ℤ
s ↦ 2s

in quanto, scelti 0, 1 come rappresentanti di ℤ/2ℤ in ℤ/4ℤ, s+0 = a+h_{1}(s) e s+1 = b+h_{2}(s), per a, b permutazione di 0 e 1. Dunque, h_{1}(s)+h_{2}(s) ≡ 2s(2). Tale mappa è, quindi, suriettiva. Il II Teorema di Omomorfismo rende, allora, commutativo e con frecce suriettive il diagramma

\xymatrix{G/DG \ar[d]^{π} \ar[r]^{V er_{H}^{G}} & H/DH \ar[d]^{π} \\ G/H_{χ} \ar[r]_{V er} & H/H_{χ}} .

Essendo, però, χ ≠ 0 per ipotesi, è suriettivo e, pertanto, ψ = χ ∘ V er_{H}^{G} è suriettivo, dunque non nullo e, di conseguenza, necessariamente uguale a ϵ.

Supponiamo, ora, che Cor_{H}^{G} = ϵ. Sia s ∈ G − H. Allora, V er_{H}^{G}(h) ≡ hshs^{−1}(DH). Se, infatti, ϵ ≠ 0, |G/H| = 2. Allora, per h ∈ H, hsH = sH ⟹ hs = sh_{s} e hH = H ⟹ h1 = 1h. Allora, si ha quanto detto.

Dunque, per h ∈ H, χ(V er_{H}^{G}h) = χ(h) + χ(shs^{−1}) = (Cor_{H}^{G}χ)(h) = ϵ(h). Essendo, però, H = Ker(ϵ), si ha che ϵ(h) ≡ 0(2). Se, poi, h ∈ H_{χ}, si avrà che χ(h) = 0. Allora, χ(shs^{−1}) = 0, cosicchè H_{χ} ◁ G. Infine, χ(s^{2}) = χ(V er_{H}^{G}s), essendo, come visto prima nel caso additivo, V er_{H}^{G}s = s^{2}. Allora, χ(s^{2}) = χ(V er_{H}^{G}s) = (Cor_{H}^{G}χ)(s) = ϵ(s) ≡ 1(2), sicchè s^{2} ∉ H_{χ}. Allora, χ non può essere nullo. Che sia iniettivo o no si avrà, inoltre, in ogni caso che G/H_{χ} ha ordine 4. Siccome, però, vi è un elemento s ∈ G − H tale che non è in H_{χ} in quanto neanche s^{2} lo è, non può avere ordine 2 e, pertanto, G/H_{χ} ≃ ℤ/4ℤ.

Sia, ora, G := G_{K} := G(\overline{K}/K). Le estensioni K_{2} e K_{4} definiscono omomorfismi ϵ e χ come nel precedente Lemma. Cioè,

H = G(\overline{K}/K_{2}) = Ker(ϵ)  H_{χ} = G(\overline{K}/K_{4}) = Ker(χ)

dove

ϵ : G(\overline{K}/K) → ℤ/2ℤ  χ : G(\overline{K}/K_{2}) → ℤ/2ℤ

sono le proiezioni banali su K_{2} e K_{4} rispettivamente. Ora, poichè

Hom(G_{K}, ℤ/2ℤ) ≃ K^{∗}/(K^{∗})^{2}

mediante l’isomorfismo che ad ogni a ∈ K^{∗} associa il carattere ϕ : σ ↦ \frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}} (si veda [10] per un analogo con la Teoria di Kummer Classica), dichiariamo che

\xymatrix{Cor_{H}^{G} : Hom(G_{K_{2}}, ℤ/2ℤ) \ar[d]^{≃} \ar[r] & Hom(G_{K}, ℤ/2ℤ) \ar[d]^{≃} \\ K_{2}^{∗}/(K_{2}^{∗})^{2} \ar[r] & K^{∗}/(K^{∗})^{2}}

è proprio la norma, e che

Cor_{H}^{G}χ = ϵ ⟺ N_{K_{2}/K}(a + b\sqrt{ϵ}) = ϵc^{2}

per c ∈ K^{∗}. Chiamiamo, infatti, α := a + b\sqrt{ϵ} l’elemento di K_{2}^{∗} tale che K_{4} = K_{2}(\sqrt{α}). Allora,

(Cor_{H}^{G}χ_{α})(σ) = χ_{α}(V er_{H}^{G}σ)

per σ : \sqrt{ϵ} ↦ −\sqrt{ϵ}. Identifichiamo, inoltre, l’omomorfismo ϵ sopra descritto, con il carattere

σ ↦ \frac{σ(\sqrt{ϵ})}{\sqrt{ϵ}}.

Essendo G(K(\sqrt{ϵ})/K) = \{G_{K_{2}}, σG_{K_{2}}\}, con Cor_{H}^{G}χ_{α} = ϕ_{β} ∈ Hom(G_{K}, ℤ/2ℤ) per qualche β ∈ K^{∗}, si deve mostrare che β = N_{K_{2}/K}(α). Sia, pertanto, s ∈ G tale che s(\sqrt{ϵ}) = −\sqrt{ϵ}, s(β) = β ∀β ∈ \overline{K} − \{±\sqrt{ϵ}\}. Allora, G(K_{2}/K) = {H, sH}. Inoltre, s ∈ Z(G) e s = s^{−1}. Poi, dato un σ ∈ G qualsiasi, detto \overline{τ} = V er_{H}^{G} \overline{σ} ∈ H/DH, essendo H/H_{χ} ≃ ℤ/2ℤ abeliano, DH ⊆ H_{χ} = Ker(χ) ⟹ χ_{α}(\overline{τ}) = χ_{α}(τ) e, quindi, (Cor_{H}^{G}χ_{α})(σ) = χ_{α}(V er_{H}^{G}σ) è ancora una mappa ben definita. A questo punto, se σ ∈ H ⟹ σ1 = 1σ e σs = sh_{σ} ⟹ V er_{H}^{G}(σ) = σs^{−1}σs ≡ σ^{2}(DH), e, allo stesso modo, σ ∈ G − H ⟹ σ1 = sh_{σ} e σs = 1h̃_{σ} ⟹ V er_{H}^{G}(σ) = s^{−1}σ^{2}s ≡ σ^{2}(DH). Si è, pertanto, ottenuto che

(Cor_{H}^{G}χ_{α})(σ) = χ_{α}(σ^{2}) = \frac{σ^{2}(\sqrt{a + b\sqrt{ϵ}})}{\sqrt{a + b\sqrt{ϵ}}} = \frac{σ^{2}(\sqrt{a + b\sqrt{ϵ}})σ^{2}(\sqrt{a − b\sqrt{ϵ}})}{\sqrt{a + b\sqrt{ϵ}} · σ^{2}(\sqrt{a − b\sqrt{ϵ}})}.

Ora, G_{K} opera transitivamente sulle 4 radici

\sqrt{a + b\sqrt{ϵ}}  −\sqrt{a + b\sqrt{ϵ}}  \sqrt{a − b\sqrt{ϵ}}  −\sqrt{a − b\sqrt{ϵ}}

del polinomio minimo che dà l’estensione K_{4}/K. Tale azione è simmetrica: ponendo K̃_{4} la chiusura normale di K_{4} in \overline{K}, vi sono due possibilità; G(K̃_{4}/K) ≃ ℤ/4ℤ oppure G(K̃_{4}/K) ≃ ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ. Nel primo caso si avrà che un suo elemento σ è tale che σ^{2} = −1, dove < σ^{2} >≃ G(K̃_{4}/K_{2}). Pertanto, l’azione circolare sarà

\xymatrix{\sqrt{a + b\sqrt{ϵ}} \ar[r]|{σ} & \sqrt{a − b\sqrt{ϵ}} \ar[d]^{σ} \\ −\sqrt{a + b\sqrt{ϵ}} \ar[u]^{σ} & −\sqrt{a − b\sqrt{ϵ}} \ar[l]^{σ}} .

Dunque,

σ^{2}(\sqrt{N(α)}) = \sqrt{N(α)}.

Allora,

χ_{α}(σ^{2}) = \frac{\sqrt{N(α)}}{\sqrt{a + b\sqrt{ϵ}} · σ^{2}(\sqrt{a − b\sqrt{ϵ}})}.

Infine,

\sqrt{a + b\sqrt{ϵ}} · σ^{2}(\sqrt{a − b\sqrt{ϵ}}) = σ(\sqrt{a + b\sqrt{ϵ}})σ(\sqrt{a − b\sqrt{ϵ}})

e, pertanto,

(Cor_{H}^{G}χ_{α})(σ) = \frac{\sqrt{N(α)}}{σ(\sqrt{N(α)})} = \frac{σ(\sqrt{N(α)})}{\sqrt{N(α)}}.

Nel secondo caso, è ancora più immediata la conclusione attraverso i medesimi passaggi.

Teorema 5.3.3. Dato ϵ ∈ K^{∗} − (K^{∗})^{2}, il campo K(\sqrt{ϵ}) si estende ad una estensione ciclica di grado 4 di K se e solo se ϵ è somma di due quadrati.

Dimostrazione. Per il precedente Teorema, abbiamo che il campo in questione ammette l’estensione desiderata se e solo se questa è della forma K(\sqrt{a + b\sqrt{ϵ}}), per a, b ∈ K tali che esiste c ∈ K^{∗} per cui a^{2} − b^{2}ϵ = ϵc^{2}. Ora, in tale caso, se b^{2} + c^{2} = 0, essendo per ipotesi c ≠ 0, si ha che \sqrt{−1} ∈ K e, pertanto, ogni ϵ ∈ K è somma di due quadrati. Se, invece, b^{2} + c^{2} ≠ 0, abbiamo che

ϵ = (\frac{ab}{b^{2} + c^{2}} )^{2} + (\frac{ac}{b^{2} + c^{2}} )^{2}.

Se, viceversa, ϵ è somma di due quadrati in K, sia ϵ = λ^{2} + μ^{2}. Ponendo, allora, a = λ^{2} + μ^{2}, b = λ, c = μ, segue che a^{2} − b^{2}ϵ = c^{2}ϵ.

5.3.2 Il gruppo delle unità dei quaternioni

Definizione 5.3.4. Dato un gruppo topologico G, si dice G-gruppo un gruppo A, dotato della topologia discreta, su cui esista una azione continua di G.

Fissati a ∈ A e σ ∈ G, l’azione di σ su a è solitamente denotata

(σ, a) ↦^{σ} a.

Tale definizione è data con lo scopo di generalizzare il concetto di G−modulo al caso non commutativo e, pertanto, si richiederà che

σ(ab) :=^{σ} a^{σ}b.

L’idea fondamentale è cercare di estendere al caso dei G−gruppi quanto sviluppato, a livello di tecniche coomologiche, nel caso dei G−moduli. Ci limitiamo qui a definire 1-cocicli di G su A le funzioni continue f ∈ C^{1}(G, A) tali che f(στ) = f(σ)^{σ}f(τ), e 1-cobordi le g ∈ C^{1}(G, A) tali che esista b ∈ A per cui g(σ) := \frac{^{σ}b}{b}. Indichiamo gli 1-cocicli come Z^{1}(G, A), e gli 1-cobordi come B^{1}(G, A). Non è necessario approfondire, per gli scopi di questo lavoro la costruzione effettiva della coomologia relativa ai G−gruppi. Ci si limiterà ad indicare H^{1}(G, A) := Z^{1}(G, A)/B^{1}(G, A). Esiste un risultato (vedi [5]) per cui Teorema 5.3.5. ^{5}Dato un G−gruppo A,

H^{1}(G, A) ≃ T ORS(A)

Sulla base di tale definizione, abbiamo che un G−modulo A è semplicemente un G−gruppo abeliano. Assumiamo, da qui in avanti, che i gruppi trattati siano profiniti. Vediamo, quindi, come interpretare il Problema di Immersione generico sotto il profilo dei nuovi concetti introdotti.

Dato un gruppo finito G ed un gruppo abeliano A, ci chiediamo, allora, quanti gruppi Ĝ esistono tali che A sia isomorfo ad un sottogruppo normale di Ĝ e G al rispettivo quoziente. Consideriamo, cioè, ogni successione esatta corta della forma

0 → A →^{i} Ĝ →^{j} G → 0,

di gruppi topologici tali che l’azione di G su A sia

σa := σ̂aσ̂^{−1}

dove σ̂ ∈ Ĝ è antimmagine di σ ∈ G mediante j. Tale azione è ben definita in quanto A è abeliano; essendo infatti, per ipotesi, G ≃^{j} Ĝ/A, un altro rappresentante del laterale sinistro σ̂A sarà necessariamente della forma σ̂b, per b ∈ A e, siccome bab^{−1} = a, il valore di ^{σ}a prescinde dalla scelta dei rappresentanti. E’ bene, quindi, sottolineare fin da subito che tutto il discorso che sarà da qui in poi portato avanti sull’interpretazione della coomologia dei G−gruppi dal punto di vista del Problema di Immersione, sarà vincolato all’abelianità di A. Se, ora, lo schema

\xymatrix{1 \ar[r] & A \ar[d]^{∥} \ar[r] & Ĝ′ \ar[d]^{f} \ar[r] & G \ar[d]^{∥} \ar[r] & 1 \\ 1 \ar[r] & A \ar[r] & Ĝ \ar[r] & G \ar[r] & 1}

è commutativo, con f isomorfismo topologico, si dice che due le successioni esatte corte che costituiscono le righe sono equivalenti. Più precisamente:

Definizione 5.3.6. Due estensioni 1 → A → Ĝ → G → 1 di G mediante A sono dette equivalenti se esiste un isomorfismo topologico f tale che il precedente diagramma commuti. Indichiamo con EXT (A, G) l’insieme delle classi di equivalenza [Ĝ] rispetto a tale relazione.

5L’insieme delle classi di isomorfismo di A−torsori (si veda [5] per la definizione), per un G−gruppo A assegnato, è indicato come TORS(A)

Osserviamo che EXT (A, G) ha un elemento particolare, detto distinto, dato dalla classe rappresentata da

Ĝ = A ⋊_{φ} G

dove

φ : G → Aut(A) σ ↦ {a ↦^{σ} a, ∀a ∈ A} .

Allora, A ⋊_{φ} G è gruppo contenente sia G che A e tale che ogni suo elemento ha unica presentazione aσ, per a ∈ A e σ ∈ G, con operazione binaria (aσ)(a′σ′) = a^{σ}a′σσ′.

Diamo, ora, dimostrazione di un importantissimo risultato, che determina un legame fondamentale tra le classi di equivalenza di estensioni di G mediante A e le classi di coomologia in H^{2}(G, A).

Teorema 5.3.7. (Schreirer)

H^{2}(G, A) ≃ EXT (A, G)

Dimostrazione. Cerchiamo di definire una mappa λ : EXT (A, G) → H^{2}(G, A). Data [Ĝ] classe in EXT (A, G) rappresentata dalla successione esatta corta

1 → A → Ĝ → G → 1,

scegliamo una sezione continua s : G → Ĝ di π : Ĝ → G come s(σ) = σ̂, cioè tale che π ∘ s = id_{G} e che manda in modo continuo laterali in rappresentanti dei medesimi. Vediamo perchè una simile mappa esiste.

Lemma 5.3.8. Siano K ⊆ H sottogruppi normali chiusi del gruppo profinito G. Allora, la proiezione π : G/K → G/H ha sezione continua s : G/H → G/K.

Dimostrazione. Sia S = {S} la famiglia dei sottogruppi normali chiusi di G tali che K ⊆ S ⊆ H. Sia, allora, X l’insieme delle coppie (S, s), per s : G/H → G/S sezione continua. Poichè (H, 1) ∈ X, segue che X ≠ ∅. Diciamo, allora, che (S, s) ≤ (S′, s′) ⟺ S ⊇ S′ e s = π_{s} ∘ s′, dove

\xymatrix{ & G/H \ar@{-->}[dr]^{s′} \ar[dl]^{s} \\ G/S & & G/S′ \ar[ll]^{π_{s}}} .

Allora, X è induttivamente ordinato. Inoltre, se {(S, s)} è catena ascendente, il sottogruppo ∩_{S∈S}S è ancora chiuso e normale, con facilità. Per il Lemma di Zorn, allora, (K, s) è l’elemento massimale, come richiesto.

Dovendo, ora, essere chiusi nella topologia indotta dalla base di Krull i sottogruppi normali di Ĝ che ammettono realizzazione di Galois su un campo intermedio, non è restrittivo supporre, quindi, ai fini di una applicazione di questi risultati al Problema di Immersione relativo, A chiuso. In ogni caso, come già detto all’inizio, il Problema Inverso è riferito esclusivamente a gruppi finiti, dunque, in realtà, non è neppure restrittivo supporre tali, dotati della topologia discreta, i gruppi in questione. Pertanto, essendo 1 e A sottogruppi normali chiusi, l’esistenza di una sezione continua s : G → Ĝ della proiezione al quoziente è garantita dal precedente Lemma. Ora, ogni γ̂ ∈ Ĝ ha unica presentazione della forma γ̂ = aσ̂, a ∈ A, σ ∈ G, e si ha che σ̂a = σ̂aσ̂^{−1}σ̂ =^{σ} aσ̂, pensando A ◁ Ĝ. Gli elementi σ̂τ̂ e σ̂τ hanno, ora, uguale proiezione στ, cioè ∃x(σ, τ) ∈ A, tale che σ̂τ̂ = x(σ, τ)σ̂τ. Naturalmente, la funzione x : G^{2} → A viene supposta tale che x(σ, 1) = x(1, σ) = 1, in modo da evitare ambiguità nella descrizione della sezione continua^{6}. Poichè s è continua e A è in Ĝ, x(σ, τ) è una mappa continua a sua volta, mediante composizione con la legge di gruppo (topologico). Dunque, x ∈ C^{2}(G, A). L’associatività del prodotto in Ĝ comporta, inoltre, che (σ̂τ̂)ρ̂ = x(σ, τ)σ̂τρ̂ = x(σ, τ)x(στ, ρ)σ̂τρ = σ̂(τ̂ρ̂) = σ̂x(τ, ρ)τ̂ρ =^{σ} x(τ, ρ)σ̂τ̂ρ =^{σ} x(τ, ρ)x(σ, τρ)σ̂τρ. Allora, abbiamo univocamente costruito una classe di coomologia c := [x(σ, τ)] ∈ H^{2}(G, A). Tale classe non dipende dalla scelta della sezione continua. Scelta, infatti, un’altra sezione continua s′ tale che s′(σ) = σ̃, si ha che σ̃ = y(σ)σ̂, per y(σ) ∈ A, e σ̃τ̃ = x̃(σ, τ)σ̃τ. Per il 2-cociclo x̃(σ, τ) otteniamo σ̃τ̃ = x̃(σ, τ)y(στ)x(σ, τ)^{−1}σ̂τ̂ = x̃(σ, τ)x(σ, τ)^{−1}y(στ)y(σ)^{−1}σ̃y(τ)^{−1}τ̃ = x̃(σ, τ)x(σ, τ)^{−1}y(στ)y(σ)^{−1}·^{σ}y(τ)^{−1}σ̃τ̃. Cioè,

x̃(σ, τ) = x(σ, τ)y(σ, τ)

dove y(σ, τ) è il 2-cobordo

y(σ, τ) = y(σ)y(στ)^{−1} ·^{σ} y(τ).

La classe di coomologia c = [x(σ, τ)], inoltre, non dipende dalla scelta del rappresentante di [Ĝ]. Se, infatti, f è isomorfismo topologico tra Ĝ e Ĝ′, con f(σ̂) = σ̂′, si ha che σ̂′τ̂′ = f(σ̂)f(τ̂) = f(σ̂τ̂) = f(x(σ, τ)σ̂τ) = x(σ, τ) ˆ(στ)′, cioè le estensioni Ĝ e Ĝ′ inducono lo stesso 2-cociclo x(σ, τ). Abbiamo, pertanto, costruito una mappa ben definita

λ : EXT (A, G) → H^{2}(G, A)
[Ĝ] ↦ [x(·, ·)]

6ˆ1 = a ∈ A ⟹ σ̂ˆ1 = x(σ, 1)σ̂ e si potrebbe definire s′ : σ ↦ σ̂a

Cerchiamo, ora, di costruire la mappa inversa. Ogni classe coomologica c ∈ H^{2}(G, A) contiene un 2-cociclo normalizzato x(σ, τ) (cioè tale che x(σ, 1) = x(1, σ) = 1). Per quanto visto prima, infatti, si sceglie c = [x(σ, τ)] ∈ H^{2}(G, A), dove x(σ, τ)x(στ, ρ) =^{σ} x(τ, ρ)x(σ, τρ) per σ, τ fissati e al variare di ρ in G. Allora, x(σ, 1) =^{σ} x(1, ρ). Dunque, x(1, ρ) = a ∈ A, costante in quanto ^{σ}x(1, ρ) dipende solo da σ. Si sceglie, allora, una mappa y ∈ C^{1}(G, A) tale che y(1) = a. Il 2-cobordo da essa prodotto sarà, allora, y(σ, τ) = y(σ)y(στ)^{−1} ·^{σ} y(τ), il che comporta che y(σ, 1) =^{σ} a. Dunque, x(σ, 1)y(σ, 1)^{−1} = 1. Si vede, poi, che x(1, σ)x(σ, ρ) = x(σ, ρ)x(1, ρσ) = x(σ, ρ)a. Siccome, però, A è abeliano, si ritorna (giustamente) all’eguaglianza x(1, σ) = a. Nello stesso tempo, y(1, σ) = y(1) = a. Allora, x(1, σ)y(1, σ)^{−1} = 1. Si è, così, costruito un rappresentante normalizzato di c = [x(σ, τ)] ∈ H^{2}(G, A). Sia, quindi, x(σ, τ) normalizzato. Si scelga, poi,

Ĝ := A × G

dotato della topologia di Tychonoff, sul quale definiamo la moltiplicazione continua:

(a, σ)(b, τ) := (x(σ, τ)a^{σ}b, στ).

Vediamo perchè si tratta di un gruppo.

1) Proprietà associativa: ((a, σ)(b, τ))(c, ρ) = (x(σ, τ)a^{σ}b, στ)(c, ρ) = (x(στ, ρ)x(σ, τ)a^{σ}b^{στ}c, στρ) = = (x(σ, τρ)^{σ}x(τ, ρ)a^{σ}b^{στ}c, στρ) = (a, σ)(x(τ, ρ)b^{τ}c, τρ) = (a, σ)((b, τ)(c, ρ)).

2) Esistenza del neutro: (a, σ)(1, 1) = (x(σ, 1)a, σ) = (a, σ) = (x(1, σ)a, σ) = (1, 1)(a, σ).

3) Esistenza degli inversi: (a, σ)([^{σ^{−1}}x(σ, σ^{−1})^{σ^{−1}}a]^{−1}, σ^{−1}) = (a^{σ}(^{σ^{−1}}a)^{−1}, σσ^{−1}) = (1, 1).

Dunque, Ĝ = A × G è gruppo topologico con topologia prodotto indotta da quelle di A e G. Inoltre, le mappe a ↦ (a, 1) e (a, σ) ↦ σ inducono la successione esatta corta

1 → A → Ĝ → G → 1.

Ponendo σ̂ := (1, σ), abbiamo

σ̂^{−1} = (^{σ^{−1}}x(σ, σ^{−1}), σ^{−1})

e che

σ̂(a, 1)σ̂^{−1} = (x(σ, 1)^{σ}a, σ)(^{σ^{−1}}x(σ, σ^{−1})^{−1}, σ^{−1}) = (^{σ}a, 1).

Dunque, A è G−modulo, con azione data proprio per coniugio mediante le antimmagini σ̂ dei σ. Abbiamo, cioè, costruito un elemento [Ĝ] ∈ EXT (A, G). Esso non dipende dalla scelta del 2-cociclo normalizzato x in c. Se, infatti, x′(σ, τ) = x(σ, τ)y(σ, τ)^{−1} ne è un altro, con y(σ, τ) = y(σ)y(στ)^{−1} ·^{σ} y(τ), e se Ĝ′ è il gruppo A × G con operazione binaria definita mediante x′, la mappa f : Ĝ → Ĝ′ tale che f : (a, σ) ↦ (y(σ)a, σ) è isomorfismo topologico tra Ĝ e Ĝ′ per cui il diagramma

\xymatrix{1 \ar[r] & A \ar[d]^{∥} \ar[r] & Ĝ′ \ar[d]^{f} \ar[r] & G \ar[d]^{∥} \ar[r] & 1 \\ 1 \ar[r] & A \ar[r] & Ĝ \ar[r] & G \ar[r] & 1}

commuta. Inoltre, y(1) = 1, in quanto 1 = x′(1, σ) = x(1, σ)y(1)^{−1} = y(1). Infatti, la f appena descritta è, banalmente, biiettiva. La suriettività è ovvia: (y(σ)^{−1}a, σ) ∈ f^{−1}(a, σ), per ogni (a, σ) ∈ Ĝ. Inoltre, f^{−1}(1, 1) = (y(1)^{−1}, 1) = (1, 1), per quanto appena detto. Resta da verificare che si tratta effettivamente di un omomorfismo di gruppi. Dunque, f((a, σ)(b, τ)) = f(x(σ, τ)a^{σ}b, στ) = f(x′(σ, τ)y(σ)^{σ}y(τ)a^{σ}b, στ). Allo stesso tempo, abbiamo che f(a, σ)f(b, τ) = (y(σ)a, σ)(y(τ)b, τ) = (x′(σ, τ)y(σ)a^{σ}(y(τ)b), στ) = (x′(σ, τ)y(σ)^{σ}y(τ)a^{σ}b, στ). Dunque, f è isomorfismo tra Ĝ′ e Ĝ. La commutatività del diagramma sopra è immediata. Quindi, [Ĝ′] = [Ĝ]. Si è, pertanto, costruita la mappa ben definita

μ : H^{2}(G, A) → EXT (A, G)
[x(·, ·)] ↦ [Ĝ]

Ora, se x è 2-cociclo ottenuto dalla sezione continua s : G → Ĝ, per qualche Ĝ estensione 1 → A → Ĝ → G → 1, la mappa f : (a, σ) ↦ aσ̂ è isomorfismo tra A × G, dotato dell’operazione di gruppo descritta tramite x, e Ĝ. Infatti, presa Ĝ estensione di A mediante G, questa determina l’azione di G su A in modo tale che ^{σ}a = σ̂aσ̂^{−1}, per ogni a ∈ A e σ ∈ G. Inoltre, la mappa λ prima definita associa a [Ĝ] la classe di coomologia in H^{2}(G, A) rappresentata dal 2-cociclo x definito in modo tale che σ̂τ̂ = x(σ, τ)σ̂τ, al variare di σ e τ in

G. Dunque, (a, σ)(b, τ) = (x(σ, τ)a^{σ}b, στ) ↦^{f} x(σ, τ)a^{σ}bσ̂τ = a^{σ}bx(σ, τ)σ̂τ =

a^{σ}bσ̂τ̂ = aσ̂bσ̂^{−1}σ̂τ̂ = aσ̂bτ̂ = f(a, σ)f(b, τ). Poichè A ◁ Ĝ è tale che G ≃ Ĝ/A, l’unicità della presentazione degli elementi di Ĝ nella forma aσ̂ rende f l’isomorfismo cercato. Dunque, il 2-cociclo x rende A × G, a meno di isomorfismo, esattamente il gruppo Ĝ di partenza, da cui μ = λ^{−1}.

Cerchiamo, a questo punto, di applicare i risultati cui siamo giunti nel realizzare il gruppo delle unità dei quaternioni Q_{8}. Come sappiamo, si tratta di un gruppo di ordine 8, avente 3 sottogruppi ciclici di ordine 4 e 1 sottogruppo ciclico di ordine 2, che è, per le note proprietà dei p−gruppi, Z(Q_{8}). La situazione è

[figure: Q_{8}; < i >; < j >; < k >; < −1 >; 1]

Scegliamo, quindi, Z(Q_{8}) =< −1 > come sottogruppo normale. E’, allora, facile vedere che, chiamando G̃ := Q_{8}, si ha che G := G̃/ < −1 >≃ ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ. Cerchiamo, allora, di risolvere il Problema di Immersione

1 →< −1 >→ G̃ → G → 1.

Il gruppo G ha facile realizzazione G = G(L/ℚ), dove L = ℚ(\sqrt{n_{1}}, \sqrt{n_{2}}), con n_{1}n_{2} ≠ □_{ℚ}. Si tratta, quindi, di scegliere n_{1} e n_{2} in modo tale che esista ζ ∈ L^{∗} −(L^{∗})^{2} tale che G̃ ≃ G(L(\sqrt{ζ}/ℚ). Siano n_{1} e n_{2} primi tra loro e liberi da quadrati. Sia ζ ∈ L^{∗}. Consideriamo, quindi, l’1-cobordo b ∈ B^{1}(G, L^{∗}) tale che

b : G → L^{∗} σ ↦^{b} \frac{σ(ζ)}{ζ} .

Allora, L(\sqrt{ζ})/ℚ è di Galois se e solo se σ(ζ) = □ζ, con □ ∈ (L^{∗})^{2}, cioè, se e solo se b ∈ Z^{1}(G, (L^{∗})^{2}). Viceversa, poichè Z^{1}(G, (L^{∗})^{2}) ⊂ Z^{1}(G, L^{∗}), il Teorema 5.2.9 ci permette di concludere che, per ogni b ∈ Z^{1}(G, (L^{∗})^{2}), esiste ζ ∈ L^{∗} tale che, per ogni σ ∈ G, b(σ) = σ(ζ)/ζ. Siccome, però, σ(ζ)/ζ ∈ (L^{∗})^{2}, si è determinata l’estensione di Galois L(\sqrt{ζ})/ℚ. Cerchiamo di definire il gruppo di Galois di tale estensione. Poichè G(L(\sqrt{ζ})/L) ≃< −1 > è un gruppo abeliano, posso applicare a questa situazione il Teorema di Schreirer. Cerchiamo, allora, le estensioni G̃ di < −1 > mediante G. Sia, per ogni σ ∈ G, a(σ) := \sqrt{b(σ)}. Poichè b ∈ Z^{1}(G, (L^{∗})^{2}), si ha che a(σ) ∈ L^{∗}. Consideriamo la sezione continua s : G → G̃ tale che σ̃(\sqrt{ζ}) = a(σ)\sqrt{ζ}. Poichè a(σ)\sqrt{ζ} = \sqrt{b(σ)ζ} = \sqrt{σ(ζ)}, si tratta di una definizione consistente con il fatto che σ̃ sia estensione di σ. Infatti, se si sostituisce ζ con ζ^{2}, σ̃(ζ) = σ(ζ). Sia, quindi, [ϵ] ∈ H^{2}(G, < −1 >) in corrispondenza con [G̃ ≃ Q_{8}]. Dunque, x ∈ [ϵ] è tale che σ̃τ̃ = x(σ, τ)σ̃τ, cioè x(σ, τ) = σ̃τ̃(σ̃τ)^{−1}. Ora, la successione corta

1 →< −1 >→ L^{∗} →^{(·)^{2}} (L^{∗})^{2} → 1

è esatta. Per il Lemma del Serpente, allora,

H^{1}(G, (L^{∗})^{2}) →^{δ} H^{2}(G, < −1 >) →^{j} H^{2}(G, L^{∗})

è esatta. Si ha, pertanto, che

δb(σ, τ) = \frac{σ(a(τ))a(σ)}{a(στ)}

per la definizione dell’omomorfismo di connessione δ nota dalla dimostrazione del Lemma del Serpente (si veda [11] o [6]). E’, peraltro, chiaro che δb ∈ Im(δ) ⊆ Ker(j) ⟹ è rappresentato da un 2-cobordo rispetto ad elementi^{7}di L^{∗}. Cioè, è della forma

y(σ, τ) = \frac{y(σ)^{σ}y(τ)}{y(στ)}

dove y ∈ C^{1}(G, L^{∗}). Per quanto detto prima tale y è proprio a. Essendo σ̃(τ̃(\sqrt{ζ})) = σ̃(a(τ)\sqrt{ζ}) = σ̃(a(τ))a(σ)\sqrt{ζ} = σ(a(τ))a(σ)\sqrt{ζ} e ˜(στ)(\sqrt{ζ}) = a(στ)\sqrt{ζ}, segue che, allora,

δb(σ, τ) = \frac{(σ̃τ̃)(\sqrt{ζ})}{˜(στ)(\sqrt{ζ})}

cioè, che

δb = ϵ.

Quindi, per trovare una estensione L(\sqrt{ζ})/L tale che G̃ = Q_{8}, basterà cercare una 1-cocatena in L^{∗} il cui cobordo sia ϵ. Si cerca, cioè, a ∈ C^{1}(G, L^{∗}) tale che a^{2} ∈ Z^{1}(G, (L^{∗})^{2}) e che δa^{2} = ϵ.

Sia, quindi, L = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}). Si cerca un ζ ∈ L^{∗} tale che G(L(\sqrt{ζ})/ℚ) ≃ Q_{8}. Dobbiamo, allora, per quanto appena detto, trovare un a ∈ C^{1}(G, L^{∗}) tale che a^{2} ∈ Z^{1}(G, (L^{∗})^{2}) e δa^{2} = ϵ. Sia, quindi, a ∈ C^{1}(ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ, ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3})^{∗}). Le coppie sono

(0, 0) =< −1 >  (1, 0) = i  (0, 1) = j  (1, 1) = k

7Si faccia attenzione al fatto che j è indotto dall’immersione < −1 >⊂ L^{∗}, per cui δb è un 2-cobordo se inteso a valori in L^{∗}, ma non in ±1.

120 CAPITOLO 5. PROBLEMA DI IMMERSIONE dove assumiamo i, j, k di ordine 2 (cioè, a meno del segno) e ĩ, j̃, k̃ le tre unità dei quaternioni, con ordine 4. Allora,

ϵ((1, 0), (0, 1)) = ϵ(i, j) = \frac{ĩ ; j̃}{ĩj} = 1

ϵ((1, 0), (1, 0)) = ϵ(i, i) = \frac{ĩ ; ĩ}{ĩi} = −1

...

Come agisce G(L/ℚ) ≃ ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ su L^{∗}?

i = (1, 0) ⟹ \begin{cases}\sqrt{2} ↦ −\sqrt{2} \\ \sqrt{3} ↦ \sqrt{3} \end{cases}

j = (0, 1) ⟹ \begin{cases}\sqrt{2} ↦ \sqrt{2} \\ \sqrt{3} ↦ −\sqrt{3} \end{cases}

k = (1, 1) ⟹ \begin{cases}\sqrt{2} ↦ −\sqrt{2} \\ \sqrt{3} ↦ −\sqrt{3} \end{cases}

Si cerca, allora, a : G → L^{∗} tale che

∀σ, τ ∈ G ⟹ ϵ(σ, τ) = \frac{σ(a(τ))a(σ)}{a(στ)}.

Poichè

σ = (0, 0) ⟹ \frac{a(τ)a(0, 0)}{a(τ)} = \frac{˜1τ̃}{˜1τ} = 1,

si ha che a(0, 0) = 1. Invece, se σ = (1, 0) = τ,

\frac{σ(a(1, 0))a(1, 0)}{a(0, 0)} = \frac{ĩ^{2}}{ĩi} = −1

Essendo a(1, 0), a(0, 1), a(1, 1) espressioni della forma

α + β\sqrt{2} + γ\sqrt{3} + δ\sqrt{6}

per α, β, γ, δ ∈ ℚ, si ricava, nel caso σ = τ = (1, 0), α^{2} − 2β^{2} + 3γ^{2} − 6δ^{2} = −1 una cui soluzione è

α = −2  β = −1  γ = 1  δ = 1 .

Procedendo in modo analogo si ha

a(0, 0) = 1
a(1, 0) = −2 + \sqrt{2} − \sqrt{3} + \sqrt{6}
a(0, 1) = −\sqrt{2} + \sqrt{3}
a(1, 1) = \sqrt{2} − 1

Volendo, ora, costruire esplicitamente l’elemento ζ ∈ L^{∗} che determina l’estensione desiderata, abbiamo che

b(0, 0) = 1
b(1, 0) = 15 − 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3} − 6\sqrt{6}
b(0, 1) = 5 − 2\sqrt{6}
b(1, 1) = 3 − 2\sqrt{2}.

Essendo ζ = a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} si avrà

b(1, 0) = \frac{a − b\sqrt{2} + c\sqrt{3} − d\sqrt{6}}{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}} = 15 − 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3} − 6\sqrt{6}

b(1, 1) = \frac{a − b\sqrt{2} − c\sqrt{3} + d\sqrt{6}}{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}} = 3 − 2\sqrt{2}

.........

La soluzione del sistema lineare quadrato che si crea è l’elemento ζ cercato.

Concludiamo osservando che il Problema di Immersione, a differenza del Problema Inverso ammette situazioni in cui si dimostra privo di soluzione. Sempre rimanendo nel caso di Q_{8}, la scelta L = ℚ(\sqrt{−1}, \sqrt{n}), con n intero positivo e libero da quadrati non permette l’esistenza di un elemento 122 CAPITOLO 5. PROBLEMA DI IMMERSIONE ζ ∈ L^{∗} − (L^{∗})^{2} tale che Q_{8} ≃ G(L(\sqrt{ζ})/ℚ). Se, infatti, il problema di immersione corrispondente avesse soluzione, si avrebbe

−1 = ϵ((1, 0), (1, 0)) = \overline{a(1, 0)}a(1, 0) = |a(1, 0)|^{2}

il che è chiaramente assurdo.

Bibliografia

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