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Tesi etd-10122010-204743


Thesis type
Tesi di laurea specialistica
Author
DEIALA, STEFANO
URN
etd-10122010-204743
Title
Una metrica riemanniana sullo spazio delle curve e applicazioni
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Dott. Mennucci, Andrea Carlo Giuseppe
Parole chiave
  • Sobolev-type Riemannian metrics
  • shape space
  • geodesic in infinite dimensional manifolds
  • stochastic image segmentation
Data inizio appello
29/10/2010;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
Uno dei principali campi di interesse della computer vision è lo studio delle forme nello spazio e nel piano. Il primo problema che si presenta a tal riguardo è la determinazione di un buon modello matematico di forma e di spazio<br>delle forme. <br>In questa tesi è stato trattato solo il caso bidimensionale. In prima analisi si è scelto di modellizzare lo spazio delle forme con la varietà di Fréchet delle curve piane, lisce, chiuse e immerse che generaralmente viene indicata<br>con M_i .1 Tale scelta però introduce un problema di ridondanza: tutte le riparametrizzazioni di una data curva, infatti, rappresentano la stessa forma. Questo avviene perché ́la scelta di una curva equivale a quella di una sua parametrizzazione e ciò non fa parte del concetto di forma: una forma infatti è un oggetto “geometrico”. Apparentemente il problema può essere risolto “passando al quoziente” di M_i rispetto alle riparametrizzazioni.<br>Questo quoziente però non è una varietà. Per questo motivo si considera in <br>luogo di M_i una varietà il cui quoziente sia ancora una varietà: lo spazio delle <br>curve piane, chiuse, lisce e liberamente immerse. <br>La scelta di uno spazio delle forme avente la struttura di varietà differenziabile è molto importante perché ́consente di definire sul suo fibrato tangente delle metriche riemanniane. Queste ultime permettono di misurare<br>le distanze fra le forme. L’interesse matematico per queste teorie è legato al fatto che esistono metriche che inducono sullo spazio delle forme distanze degeneri.<br>In questa tesi sono state analizzate alcune metriche non degeneri, conosciute in letteratura come metriche di tipo Sobolev. Queste metriche sono definite<br>sul fibrato tangente di M_i (e quindi sul fibrato tangente di M_i,f ⊂ M_i ) e sono<br>geometriche, cioè “passano al quoziente” rispetto alle riparametrizzazioni delle curve. Particolare attenzione è stata rivolta ad una nuova metrica di<br>tipo Sobolev introdotta di recente da Mennucci, Sundaramoorthi, Yezzi e Soatto: H.<br>A differenza delle vecchie metriche di tipo Sobolev, H decompone M_i,f in<br>tre componenti: posizione, lunghezza e forma. Esiste, infatti, un’isometria<br>riemanniana fra (M_i,f , H) e la varietà (R^2 × R × Md , (|, |, H)) dove Md ={c ∈ M_i,f | c = 0 e len(c) = 1}. Questa decomposizione ` particolarmente importante perché (Md , H) è a sua volta isometrica ad una varietà di Stiefel<br>che ammette localmente pseudogeodetiche (il concetto di pseudogeodetica è<br>stato introdotto in questa tesi per distinguere le geodetiche in una varietà dalle geodetiche nel suo completamento metrico (come varietà)).<br>La dimostrazione che tale varietà di Stiefel ammette localmente pseudogeodetiche è costruttiva, nel senso che permette di calcolarle esplicitamente.<br>Questo fatto ha notevole importanza nelle applicazioni. Le formule, infatti,<br>sono molto semplici e quindi le pseudogeodetiche possono essere calcolate<br>numericamente in modo molto efficiente.<br>In questa tesi il calcolo numerico delle pseudogeodetiche è stato utilizzato con buoni risultati per la segmentazione di semplici immagini digitali mediante la minimizzazione dell’energia di Chan-Vese. Sono stati usati tre<br>approcci: stocastico, deterministico e semistocastico. Il primo prevede la<br>ricerca del minimo del funzionale mediante un moto browniano di curve, il<br>secondo usando un algoritmo di discesa nella direzione opposta al gradiente<br>dell’energia (calcolato rispetto alla metrica H) e il terzo è una versione ibrida<br>dei primi due algoritmi.<br>
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