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Tesi etd-10112003-174635


Thesis type
Tesi di laurea vecchio ordinamento
Author
Alessandrini, Daniele
email address
ferao80@yahoo.com
URN
etd-10112003-174635
Title
Compattificazione di varietà di caratteri e applicazioni topologiche
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Prof. Benedetti, Riccardo
Parole chiave
  • A-polinomio
  • 3-varietà
  • dimensione bassa
  • incompressibili
  • topologia
  • superfici
  • nodi
Data inizio appello
30/10/2003;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
&lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br>Versione italiana &lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br><br>L&#39;argomento della tesi è lo studio dei caratteri di rappresentazioni del gruppo fondamentale di una varietà in SL_2(C) con lo scopo di ottenere delle informazioni sulla topologia della varietà.&lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br><br>Considero una varietà M e definisco R(M) come l&#39;insieme delle rappresentazioni del suo grupp fondamentale in SL_2(C). L&#39;insieme dei caratteri delle rappresentazioni in R(M) sarà chiamato X(M).&lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br><br>Se il gruppo è finitamente generato, su R(M) e X(M) si può dare una struttura di varietà algebrica affine (cosa non banale per X(M) ), sfruttando la quale si definisce il concetto di punto &#34;all&#39;infinito&#34; di X(M), e si associano a questi punti una valutazione di un campo F e una rappresentazione del gruppo in SL_2(F). A partire da questi elementi si costruisce un&#39;azione del gruppo su un albero reale, un particolare tipo di spazio metrico che nel caso in cui la valutazione è a valori in Z è un albero simpliciale.&lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br><br>Queste azioni su alberi danno informazioni sulla topologia di M. &lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br><br>Si affronta in maniera particolareggiata il caso dell&#39;azione su un&#39;albero simpliciale, facendo vedere come, se M è una 3-varietà compatta, si può arrivare a costruire un sistema di superfici incompressibili di M. Si fa vedere come con opportune ipotesi su M si possono ottenere superfici incompressibili con certe proprietà, e si mostrano alcune applicazioni, come ad esempio la dimostrare un bel risultato di decomposizione di una 3-varietà. &lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br><br>Nel caso di una varietà associata ad un nodo si riesce a costruire un invariante del nodo, l&#39; A-polinomio, e si calcolano esplicitamete le pendenze di bordo delle superfici incompressibili costruite in questo modo. &lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br><br>Il caso delle azioni su alberi reali viene presentato per mostrare una nuova costruzione del bordo di Thurston degli spazi di Teichmuller ed una nuova interpretazione dei punti di bordo aggiunti. &lt;BR&gt;&lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br><br><br>English version&lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br><br>The aim of this thesis is studying how the characters of SL_2(C)-representations of the fundamental group of a manifold may bring topological information about the manifold itself.&lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br><br>Let M be a manifold, R(M) be the set of SL_2(C)-representations of its fundamental group, X(M) be the set of characters of such representations. &lt;BR&gt;&lt;BR&gt; <br><br>If the fundamental group is finitely generated we can endow R(M) and X(M) with an algebraic structure (which is not simple for X(M)), and using this structure we can define the &#34;points at infinity&#34; of X(M), and we can associate with each of these points a valutation of a field F and a representation of the group in SL_2(F). Starting from these elements we can construct an action of the group on a real tree, a particular kind of metric space that, if the valutation is Z-valued, is an ordinar simplicial tree.&lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br><br>These actions bring information about the topology of M.&lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br><br>I have studied in detail the actions on simplicial trees, and I have shown that, if M is a compact 3-manifold, an action on a simplicial tree permits the construction of a system of incompressible surfaces in M. With additional hypotheses on M, it is possible to obtain incompressible surfaces with some additional properties, and I have shown some applications of this, as for example a decomposition result for 3-manifolds.&lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br><br>If M is a knot manifold, it is possible to construct a knot invariant, the A-polynomial, and it is possible to evaluate the boundary slopes of incompressible surfaces constructed this way.&lt;BR&gt;&lt;BR&gt;<br><br>The actions on real trees lead to a new construction of the Thurston boundary of Teichmuller spaces and to a new interpretation of the boundary points. &lt;BR&gt;&lt;BR&gt; <br>
File