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Tesi etd-10012013-185929


Thesis type
Tesi di laurea magistrale
Author
COLLARI, CARLO
URN
etd-10012013-185929
Title
The functoriality of Khovanov Homology and the monodromy of knots
Struttura
MATEMATICA
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Prof. Lisca, Paolo
Parole chiave
  • Omologia di Khovanov
Data inizio appello
18/10/2013;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
L&#39;omologia di Khovanov è stata introdotta nel 1999 da Mikhail Khovanov come categorificazione<br>del polinomio di Jones. Questa teoria (co)omologica ha assunto in breve tempo una notevole<br>importanza, anche collegata al fatto che essa è estremamante computatbile. L&#39;omologia di<br>Khovanov è un invariante di link e, inoltre presenta delle proprietà funtoriali (dimostrate per la<br>prima volta da Jacobsson nel suo articolo “An invariant of link cobordisms from Khovanov<br>homology<br>”).<br>Nel 2005 Dror Bar-Natan, nel suo articolo “Khovanov homology<br> for tangles and cobordisms”,<br>riprende la teoria di Khovanov, che nel frattempo, con diverse complicazioni, era stata generalizzata<br>anche ai tangle (si veda l&#39;articolo di Khovanov “A Functor-Valued Invariant of Tangles”), e la<br>presenta in una maniera più geometrica dando vita ad una teoria di Khovanov formale.<br>La presente tesi ripercorre la dimostrazione della funtorialità data da Bar-Natan nel summenzionato<br>articolo e indaga sulle proprietà funtoriali dell&#39;omologia di Khovanov. Il lavoro è organizzato come<br>segue.<br>Nel Capitolo 0 vengono richiamate alcune definizioni di base della teoria dei nodi, come quelle di<br>nodo, link, tangle, diagramma e invariante. Inoltre, viene presentata la costruzione del polinomio di<br>Jones per link.<br>Il Capitolo 1 è dedicato alla descrizione della teoria formale di Khovanov e alla descrizione delle<br>sue relazioni con l&#39;omologia di Khovanov e con le TQFT. Il capitolo esordisce con la descrizione<br>del cubo degli incroci e con la presentazione dei cubi in categorie. Successivamente viene descritto<br>il contesto nella quale è possibile definire la nostra teoria formale e viene introdotta la parentesi di<br>Khovanov . Infine, viene provata l&#39;invarianza per cambio di diagramma della parentesi ed introdotto<br>il grado quantico nel nostro complesso formale. Come corollario si ottiene l&#39;invarianza<br>dell&#39;omologia di Khovanov.<br>Per introdurre la funtorialità dell&#39;omologia di Khovanov è necessario cambiare un pò il contesto. Per<br>questa ragione, nel Capitolo 2, vengono introdotti i cobordismi di link generici e le loro<br>rappresentazioni. In particolare, la rappresentazione di questi cobordismi a noi congeniale è quella<br>tramite movie. Due movie di superfici rappresentano superfici ambientalmente isotope, a bordo<br>fisso, se e solo se sono correlati da un numero finito di mosse di movie. Proprio utilizzando queste<br>che verrà dimostrata la funtorialità a meno di segno del complesso formale di Khovanov.<br>Il quarto capitolo invece presenta alcuni risultati nuovi. In particolare, indaga sulla monodromia dei<br>nodi, nel senso di Jacobsson (si veda “An invariant of link cobordisms from Khovanov homology<br>”).<br>Viene provata l&#39;invarianza, a meno di isomorfismi, del suddettto gruppo e vengono calcolati alcuni<br>gruppi di monodromia.<br>
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