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Tesi etd-09042006-161523


Thesis type
Tesi di laurea specialistica
Author
Bedini, Andrea
email address
andrea.bedini@gmail.com
URN
etd-09042006-161523
Title
A fermionic field theory for spanning hyperforests
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
SCIENZE FISICHE
Commissione
Relatore Caracciolo, Sergio
Parole chiave
  • forest
  • hypergraph
  • graph
  • hyperforest
  • matrix-tree theorem
  • Grassman algebra
  • sigma-model
  • supersymmetry
Data inizio appello
26/09/2006;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
Il modello di Potts generalizza il modello di<br>Ising del ferromagnetismo assumendo che le variabili di spin possano<br>assumere q stati distinti. L&#39;interazione tra i primi vicini è a<br>due soli valori a seconda che questi si trovino nello stesso stato o<br>in stati differenti.<br><br>Nonostante questo modello abbia ricevuto inizialmente poca attenzione,<br>fin dagli anni &#39;70 è stato oggetto di grande interesse a seguito del<br>suo ricco comportamento critico e dei suoi stretti legami con alcuni<br>problemi di statistica su reticolo, di combinatoria e di teoria dei<br>grafi.<br><br>Nel 1972 Fortuin e Kasteleyn mostrarono che è<br>possibile estendere la definizione del modello di Potts anche a valori<br>di q non interi. Nel caso in cui l&#39;interazione sia esclusivamente<br>ferromagnetica, questa estensione definisce una misura di<br>probabilità, nota con il nome di random-cluster model, che include come caso particolare (q=1) il già noto modello di percolazione.<br><br>In questa tesi considereremo in particolar modo il limite q -&gt; 0<br>del modello di Potts. Questo caso limite ha un<br>particolare significato combinatorio, infatti la funzione di<br>partizione del modello di Potts corrisponde per q -&gt; 0 alla<br>funzione generatrice delle foreste massimali sul grafo in cui il<br>modello è definito.<br><br>Il limite q -&gt; 0 del modello di Potts acquista ulteriore interesse<br>a seguito della recente scoperta per cui esso<br>può essere descritto da una teoria fermionica contenente un termine<br>Gaussiano e uno speciale accoppiamento a quattro fermioni. Questa<br>teoria fermionica risulta essere equivalente, ad ogni ordine<br>perturbativo, al modello O(N) prolungato analiticamente a N = -1 e<br>ad un modello sigma non lineare con gruppo di (super) simmetria OSP(1|2).<br><br>Questa corrispondenza, seppur perturbativa, ci segnala che, in due<br>dimensioni, questa teoria è asintoticamente libera come gran parte<br>dei modelli sigma non-lineari e le teorie di gauge non-abeliane in<br>quattro dimensioni.<br><br>In questo lavoro viene sviluppata un estensione della teoria<br>fermionica sopracitata al caso in cui siano presenti interazioni a<br>più corpi.<br><br>Generalizzando opportunamente il modello di Potts per includere tali<br>interazioni, si mostra come nel limite q -&gt; 0 la funzione di<br>partizione di questo modello si riconduca alla funzione generatrice<br>delle iperforeste massimali sull&#39;ipergrafo definito dall&#39;interazione a<br>più corpi. Viene quindi formulata in termini di variabili di<br>Grassmann una teoria fermionica che descrive tali oggetti combinatori.<br><br>Successivamente questa teoria viene studiata nell&#39;ipotesi che le<br>interazioni formino un ipergrafo completo. In questo caso, che<br>fisicamente corrisponde ad una teoria di campo medio, il modello è<br>esattamente risolubile e la funzione di partizione può essere<br>calcolata esplicitamente. Ciò costituisce di per sé un risultato<br>di interesse combinatorio in quanto fornisce il conteggio delle<br>iperforeste massimali sull&#39;ipergrafo completo.<br><br>Si mostra infine questa teoria sia anch&#39;essa in corrispondenza (sempre<br>perturbativa) con un modello sigma non lineare con supersimmetria OSP(1|2). Viene osservato come la supersimmetria del modello<br>\sigma non lineare induca nella teoria puramente fermionica una<br>super-simmetria non manifesta e come questa sia in relazione con<br>l&#39;algebra dei prodotti scalari per N = -1.<br>
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