ETD system

Electronic theses and dissertations repository

 

Tesi etd-05242004-133630


Thesis type
Tesi di laurea vecchio ordinamento
Author
Tosatti, Valentino
email address
tosatti@sns.it
URN
etd-05242004-133630
Title
Teoremi dell'indice per morfismi di fibrati vettoriali e per foliazioni
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Prof. Abate, Marco
Parole chiave
  • morfismi di fibrati vettoriali
  • formula di MacPherson
  • teorema di Baum-Bott
  • singolarita'
  • classi caratteristiche
  • foliazioni olomorfe
Data inizio appello
10/06/2004;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
Versione Italiana<br><br>L&#39;argomento della tesi e&#39; lo studio di Teoremi dell&#39;Indice per morfismi di fibrati vettoriali.<br><br>Consideriamo una varieta&#39; compatta e orientata X e due fibrati vettoriali complessi E-&gt;X, F-&gt;X<br>con un morfismo di fibrati f:E-&gt;F. Se supponiamo che f sia non singolare, ovvero ovunque di rango<br>massimo, allora per ogni classe caratteristica c, vale c(E)=c(K+I) dove K-&gt;X e&#39; il fibrato<br>dato dal nucleo di f e I-&gt;X e&#39; quello dato dall&#39;immagine.<br><br>Se invece f ha delle singolarita&#39;, ovvero punti in cui il rango non sia massimo, ci chiediamo se<br>sia possibile modificare la formula di sopra aggiungendo dei termini legati alle singolarita&#39; di f.<br>In generale le singolarita&#39; di tali morfismi possono essere intrattabili, ed ottenere una formula<br>esplicita e&#39; fuori portata. Risulta quindi naturale imporre una condizione di trasversalita&#39; sulla<br>f, che garantisce un controllo sulle singolarita&#39;.<br><br>Una formula di questo tipo e&#39; stata trovata da R.MacPherson nella sua tesi di Dottorato nel 1970,<br>ed e&#39; stata recentemente raffinata ed ampliata da R. Harvey e B. Lawson.<br><br>In questa tesi studiamo la formula di MacPherson e le sue generalizzazioni di Harvey e Lawson,<br>e come applicazione di essa diamo una nuova dimostrazione originale del Teorema dell&#39;Indice<br>di Baum-Bott per foliazioni olomorfe con singolarita&#39;.<br><br>Una foliazione olomorfa con singolarita&#39; e&#39; un sottofascio F analitico coerente ed integrabile del<br>fascio tangente T ad una varieta&#39; complessa. Il Teorema di Baum-Bott calcola le classi caratteristiche<br>del fascio quoziente T/F, e mostra che esse si localizzano sulle singolarita&#39; della foliazione.<br>Inoltre in alcuni casi e&#39; possibile calcolare esplicitamente tali localizzazioni.<br><br>Noi mostriamo come, supponendo che il fascio F sia localmente libero, il Teorema di Baum-Bott<br>sia una conseguenza della formula di MacPherson, e come si possano calcolare le localizzazioni.<br><br><br><br>English Version<br><br>The aim of this thesis is the study of Index Theorems for morphisms of vector bundles.<br><br>Consider a compact oriented manifold X with two vector bundles E-&gt;X, F-&gt;X and a morphism<br>f:E-&gt;F. If we suppose that f is nonsingular, i.e. that it has maximal rank everywhere,<br>then for every characteristic class c we have c(E)=c(K+I), where K-&gt;X is the kernel bundle<br>and I-&gt;X is the image bundle.<br><br>If on the contrary f has some singularities, that is points where the rank is not maximal,<br>then we can ask if it is possible to modify the formula above by adding terms related to<br>the singularities of f. In general such singularities may be intractable, and such an explicit<br>formula is out of reach. It is then natural to impose a condition of transversality to f,<br>which gives some control on its singularities.<br><br>A formula of this kind has been proved by R. MacPherson in his PhD thesis in 1970,<br>and has been recently refined and generalized by R. Harvey and B. Lawson.<br><br>In this thesis we study MacPheson formula and its generalizations by Harvey and Lawson,<br>and as an application we give a new original proof of Baum-Bott Index Theorem for<br>holomorphic foliations with singularities.<br><br>A holomorphic foliation with singularities is an analytic coherent and integrable subsheaf F of<br>the tangent sheaf T of a complex manifold X. Baum-Bott Theorem computes the characteristic classes<br>of the quotient sheaf T/F, and show that they are localized on the singularities of the foliation.<br>Moreover in some cases it is possible to explicitly compute such localizations.<br><br>We show that, if the sheaf F is locally free, then Baum-Bott Index Theorem is a consequence<br>of MacPherson formula, and we compute some localizations.
File