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Tesi etd-05242004-133630


Thesis type
Tesi di laurea vecchio ordinamento
Author
Tosatti, Valentino
email address
tosatti@sns.it
URN
etd-05242004-133630
Title
Teoremi dell'indice per morfismi di fibrati vettoriali e per foliazioni
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Supervisors
relatore Prof. Abate, Marco
Parole chiave
  • morfismi di fibrati vettoriali
  • formula di MacPherson
  • teorema di Baum-Bott
  • singolarita'
  • classi caratteristiche
  • foliazioni olomorfe
Data inizio appello
10/06/2004;
Consultabilità
Completa
Riassunto analitico
Versione Italiana

L'argomento della tesi e' lo studio di Teoremi dell'Indice per morfismi di fibrati vettoriali.

Consideriamo una varieta' compatta e orientata X e due fibrati vettoriali complessi E->X, F->X
con un morfismo di fibrati f:E->F. Se supponiamo che f sia non singolare, ovvero ovunque di rango
massimo, allora per ogni classe caratteristica c, vale c(E)=c(K+I) dove K->X e' il fibrato
dato dal nucleo di f e I->X e' quello dato dall'immagine.

Se invece f ha delle singolarita', ovvero punti in cui il rango non sia massimo, ci chiediamo se
sia possibile modificare la formula di sopra aggiungendo dei termini legati alle singolarita' di f.
In generale le singolarita' di tali morfismi possono essere intrattabili, ed ottenere una formula
esplicita e' fuori portata. Risulta quindi naturale imporre una condizione di trasversalita' sulla
f, che garantisce un controllo sulle singolarita'.

Una formula di questo tipo e' stata trovata da R.MacPherson nella sua tesi di Dottorato nel 1970,
ed e' stata recentemente raffinata ed ampliata da R. Harvey e B. Lawson.

In questa tesi studiamo la formula di MacPherson e le sue generalizzazioni di Harvey e Lawson,
e come applicazione di essa diamo una nuova dimostrazione originale del Teorema dell'Indice
di Baum-Bott per foliazioni olomorfe con singolarita'.

Una foliazione olomorfa con singolarita' e' un sottofascio F analitico coerente ed integrabile del
fascio tangente T ad una varieta' complessa. Il Teorema di Baum-Bott calcola le classi caratteristiche
del fascio quoziente T/F, e mostra che esse si localizzano sulle singolarita' della foliazione.
Inoltre in alcuni casi e' possibile calcolare esplicitamente tali localizzazioni.

Noi mostriamo come, supponendo che il fascio F sia localmente libero, il Teorema di Baum-Bott
sia una conseguenza della formula di MacPherson, e come si possano calcolare le localizzazioni.



English Version

The aim of this thesis is the study of Index Theorems for morphisms of vector bundles.

Consider a compact oriented manifold X with two vector bundles E->X, F->X and a morphism
f:E->F. If we suppose that f is nonsingular, i.e. that it has maximal rank everywhere,
then for every characteristic class c we have c(E)=c(K+I), where K->X is the kernel bundle
and I->X is the image bundle.

If on the contrary f has some singularities, that is points where the rank is not maximal,
then we can ask if it is possible to modify the formula above by adding terms related to
the singularities of f. In general such singularities may be intractable, and such an explicit
formula is out of reach. It is then natural to impose a condition of transversality to f,
which gives some control on its singularities.

A formula of this kind has been proved by R. MacPherson in his PhD thesis in 1970,
and has been recently refined and generalized by R. Harvey and B. Lawson.

In this thesis we study MacPheson formula and its generalizations by Harvey and Lawson,
and as an application we give a new original proof of Baum-Bott Index Theorem for
holomorphic foliations with singularities.

A holomorphic foliation with singularities is an analytic coherent and integrable subsheaf F of
the tangent sheaf T of a complex manifold X. Baum-Bott Theorem computes the characteristic classes
of the quotient sheaf T/F, and show that they are localized on the singularities of the foliation.
Moreover in some cases it is possible to explicitly compute such localizations.

We show that, if the sheaf F is locally free, then Baum-Bott Index Theorem is a consequence
of MacPherson formula, and we compute some localizations.
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