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Tesi etd-04272004-224110


Thesis type
Tesi di laurea vecchio ordinamento
Author
Martinazzi, Luca Massimo Andrea
email address
l.martinazzi@sns.it
URN
etd-04272004-224110
Title
Il problema di Plateau non parametrico in codimensione arbitraria
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Prof. Giaquinta, Mariano
Parole chiave
  • calcolo delle variazioni
  • geometria differenziale
  • equazioni differenziali
  • superfici minime
Data inizio appello
13/05/2004;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
L&#39;oggetto di questa tesi è lo studio del problema di Plateau non paramentrico: data una funzione psi:partial Omega subset R(n)rightarrow R{m}, esiste un grafico M{G}_u, u:ClOmega rightarrow R(m), avente come bordo M(G)_(psi) e la cui area M(H)n(M(G)_u) sia minima tra le sottovarietà di R(n+m) aventi lo stesso bordo?<br>Il problema è legato alla teoria delle equazioni differenziali: se u è soluzione del problema, allora la variazione prima dell&#39;area di M(G)_u è nulla, e ciò equivale ad un&#39;equazione ellittica, nota come emph(equazione delle superfici minime) eqref(msediv), se m=1, ed un sistema ellittico, il emph(sistema delle superfici minime) eqref(mssnonpar), se m&gt;1. Diremo che il grafico M(G)_u è minimo se la sua variazione prima è nulla.<br>Assumeremo sempre che il dominio Omega e il dato al bordo psi siano di classe C infty e le funzioni u considerate saranno almeno Lipschitziane.<br><br>In codimensione 1 (m=1) il problema di Plateau non parametrico è stato largamente studiato fino ai tardi anni 60. Nel 1968 H. Jerkins e J. Serrin mostrano che il problema è risolubile per ogni dato al bordo psi se e solo se partial over Omega ha curvatura media non negativa in ogni punto. Quest&#39;ultima ipotesi serve a fornire una textbf(stima a priori del gradiente) sul bordo. La soluzione in codimensione 1 è unica e minimizza l&#39;area perchè textbf(il funzionale area), che associa ad una funzione u l&#39;area del suo grafico M(A)(u), textbf(è strettamente convesso}. Inoltre una soluzione Lipschitziana dell&#39;equazione delle superfici minime è C infty grazie al celebre textbf(teorema di De Giorgi) sulla<br>H&#34;olderianità delle soluzioni deboli di equazioni ellittiche.<br><br>Gli strumenti usati in codimensione 1 non si applicano in codimensione maggiore: le stime a priori del gradiente non si generalizzano, il funzionale area non è piu convesso e il teorema di regolarità di De Giorgi si applica solo alle equazioni scalari e, quindi, non al sistema delle superfici minime.<br><br><br>Nel 1977 H. Lawson e R. Osserman provano che in codimensione maggiore di 1 il problema dell&#39;esistenza di grafici minimi con dato al bordo assegnato non è in generale risolubile nemmeno se il dominio Omega è una palla n-dimensionale. Anche l&#39;unicità e la stabilità sono false, a causa della mancata convessità dell&#39;area: è provata l&#39;esistenza di un dato al bordo psi per cui il sistema delle superfici minime ha almeno 3 soluzioni di cui una instabile. Lawson e Osserman esibiscono, infine, un grafico Lipschitziano ma non C 1 di area minima, in contrasto con la regolarità in codimensione 1.<br><br>Nel 2002 Mu-Tao Wang ha dimostrato alcuni risultati positivi in codimensione arbitraria . Egli mostra che il flusso per curvatura media (il meno flusso gradiente del funzionale area) del grafico iniziale M(G)_psi (adesso psi è pensato esteso a tutto Omega) converge ad un grafico minimo se la norma C 2 di psi è sufficientemente piccola. Il risultato è basato su una stima a priori del gradiente sul bordo tipica dei problemi di evoluzione e fa uso del principio di massimo parabolico.<br><br>Mu-Tao Wang descrive anche una regione della Grassmanniana degli n-piani G(n,m) su cui il funzionale area è convesso; tale regione contiene i piani tangenti dei grafici textbf(area-decreasing). Applicando questo risultato ed un teorema di regolarità di Allard per varifold minimi, si ottiene un teorema di tipo Bernstein: il grafico minimo di una funzione area-decreasing definita su tutto R(n) è un piano n-dimensionale. Questo teorema e il teorema di Allard implicano che un grafico minimo area-decreasing è C infty.<br><br>L&#39;esposizione degli argomenti mette in luce le differenze a livello geometrico e di equazioni differenziali tra il problema di Plateau in codimensione 1 e maggiore di 1. Il materiale dei capitoli ref(capitolosottov), ref(capitolocodim1) e ref(capitololo) è coperto esaurientemente dalla letteratura degli ultimi decenni. Le dimostrazioni dei capitoli ref(capitolocodarb) e ref(capitoloreg), invece, sono in buona parte in parte inedite: gli articoli originali fanno uso di risultati non presenti in letteratura. Ad esempio, il teorema ref(convergenza) e i teoremi sui coni minimi del capitolo ref(capitoloreg), su cui si basano il risultato di esistenza, il teorema di Bernstein e la regolarità in codimensione maggiore di 1, sono originali.<br><br>Le idee presentate nella tesi si mostrano inclini ad ulteriori utilizzi: la convessità dell&#39;area tra le mappe area-decreasing può essere utile nel provare un teorema di unicità e stabilità o in un approccio variazionale. Ho avuto la possibilità di discutere personalemente questi sviluppi con il prof. Mu-Tao Wang presso la Columbia University, economicamente supportato dalla Scuola Normale Superiore e dai fondi di ricerca del prof. Wang; ad entrambi va il mio ringraziamento. In varie occasioni ho discusso i problemi collegati alla tesi, oltre che con il mio relatore, con i prof. Luigi Ambrosio e Giovanni Alberti, che ringrazio per l&#39;interessamento mostrato e i suggerimenti.<br><br>Desidero, infine, ringraziare sentitamente il mio relatore, prof. Mariano Giaquinta, e la Scuola Normale Superiore. Il primo per la grande disponibilità e cordialità mostrati durante questo lavoro, iniziato nel settembre 2002, quando gli chiesi un tema per il mio colloquio del terz&#39;anno presso la Scuola Normale. Quest&#39;ultima per avermi fornito un ambiente di studio sereno, stimolante e produttivo che, affiancato all&#39;Università di Pisa, è un terreno ideale per un giovane che voglia accostarsi al mondo della ricerca in matematica.<br>
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