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Lo scopo del presente lavoro è quello di analizzare alcuni modelli di valutazione delle opzioni di tipo europeo scritte su azioni o indici azionari che siano in grado di riflettere correttamente le caratteristiche del titolo sottostante. Uno dei modelli matematici più utilizzati per prezzare le opzioni è il modello Black-Scholes-Merton in cui il prezzo di un'opzione dipende da cinque variabili fondamentali: il prezzo del titolo sottostante (S), il prezzo d'esercizio (X), il tasso d'interesse privo di rischio (r), la scadenza dell'opzione (T) e la volatilità del sottostante (σ). Un importante limite di tale modello consiste nel considerare che i rendimenti del sottostante seguano un processo i.i.d. e pertanto si assume che la volatilità sia costante nel tempo. Quest'ultimo vincolo viene ampiamente violato nella realtà. L'evidenza empirica mostra alcune caratteristiche tipiche dei rendimenti di titoli azionari, quali l'assenza di autocorrelazione nei rendimenti giornalieri ma elevata correlazione nei loro quadrati. Da qui l'esigenza di considerare una struttura autoregressiva a eteroschedasticità condizionata in riferimento ai rendimenti del sottostante. La tesi è strutturata è suddivisa in quattro capitoli. Nel primo capitolo
vengono presentate alcune proprietà di questi strumenti finanziari, i loro payoffs e infine la put-call parity; verrà inoltre fatta una breve disamina sul funzionamento del mercato delle opzioni, con approfondimenti sugli aspetti contrattuali sia in riferimento al mercato italiano che a quello americano. Nel secondo capitolo viene presentato il modello Black-Scholes-Merton, mostrando come si ricavano le formule di Black-Scholes, le quali forniscono una soluzione in forma chiusa per il prezzo di un'opzione call o put; verranno successivamente discussi i limiti di tale modello e verrà presentato come possa essere utilizzato nel calcolo delle volatilità implicite, che oltre ad essere impiegate nell'analizzare il mercato, offrono un ottimo strumento per testare la validità di un modello di pricing. Nel terzo capitolo viene presentato il "GARCH Option Pricing Model", come estensione del modello Black-Scholes-Merton per tener conto dell'eteroschedasticità condizionale; viene descritto in che modo tale modello possa essere definito in una misura di probabilità neutrale al rischio al fine poter valutare l'opzione rendendo ininfluente il tipo di propensione al rischio degli investitori nella soluzione finale; verrà poi ampliato al modello NGARCH per tener conto dell'asimmetria negativa della distribuzione dei rendimenti dovuta all'effetto leverage; per ogni modello è fornito un confronto analitico con il modello Black-Scholes-Merton. Nel quarto capitolo sono presentate alcune applicazioni fatte su un campione di dati: le opzioni scritte sull'indice S&P 500; l'approccio presentato è quello NGARCH e verrà fatto un confronto numerico tra i prezzi ottenuti con tale modello e i prezzi Black-Scholes.