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Tesi etd-01222015-100404


Thesis type
Elaborati finali per laurea triennale
Author
PAGARIA, ROBERTO
URN
etd-01222015-100404
Title
Il gruppo di Brauer di un campo locale
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Vistoli, Angelo
correlatore Del Corso, Ilaria
Parole chiave
  • Brauer
  • campo locale
  • algebre semplici centrali
  • factor set
  • coomologia
  • invariante di Hasse
Data inizio appello
18/07/2014;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
In questa tesi introduciamo il gruppo di Brauer di un campo, un importante invariante utilizzato in algebra e nella teoria dei numeri.<br><br>Nella prima parte trattiamo le nozioni base per definire il gruppo di Brauer, fornendo informazioni sulle algebre, sui moduli e sul prodotto tensore.<br>In particolare definiamo le algebre finite, semplici e centrali (C.S.A.) su un campo e dotiamo l&#39;insieme delle algebre semplici centrali di una relazione d&#39;equivalenza.<br>Solo in seguito definiamo il gruppo di Brauer come l&#39;insieme delle algebre semplici centrali quozientato per la relazione d&#39;equivalenza.<br>Infine dotiamo l&#39;insieme dell&#39;operazione indotta dal prodotto tensore di algebre ottenendo così il gruppo (abeliano) di Brauer.<br>Inoltre parliamo brevemente di campi di spezzamento di algebre e del polinomio caratteristico ridotto di un elemento di un&#39;algebra.<br><br>Nella seconda parte iniziamo lo studio del gruppo di Brauer di un campo qualsiasi.<br>Per fare ciò introduciamo i factor set, funzioni dal gruppo di Galois di un’estensione di campi nel campo esteso con particolari proprietà.<br>Per ogni factor set si riesce a costruire un&#39;algebra semplice centrale; risulta naturale introdurre una relazione d&#39;equivalenza sui factor set tale che due factor set sono equivalenti se e solo se generano algebre equivalenti.<br>Il punto fondamentale è mostrare che ogni elemento del gruppo di Brauer è della forma particolare generata da una classe d&#39;equivalenza di factor set.<br>Arriviamo a caratterizzare il gruppo in base alle estensioni di Galois del campo base e alle classi dei relativi factor set.<br>Nel caso di gruppi di Galois ciclici possiamo scegliere rappresentanti di una classe di factor set molto semplici.<br><br>Per comprendere meglio il gruppo di Brauer si osserva, senza dimostrare, che i factor set non sono altro che i due cocicli del secondo gruppo di coomologia del gruppo di Galois e che la relazione introdotta non è altro che il quoziente per il sottogruppo dei cobordi.<br><br>In seguito definiamo i campi locali, campi dotati di una valutazione discreta, completi rispetto alla metrica indotta e con campo dei residui finito.<br>In questo caso le algebre su campi locali sono dotate di una valutazione e dimostriamo che le estensioni finite di campi locali sono ancora campi locali.<br>Infine caratterizziamo le estensioni non ramificate di campi locali e i loro gruppi di Galois.<br><br>Solo nell&#39;ultimo capitolo definiamo l&#39;invariante di Hasse per un campo locale: un isomorfismo canonico tra il gruppo di Brauer di un campo locale e il gruppo delle radici dell&#39;unità ($\faktor{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$).<br><br>\medskip <br>Una profonda conoscenza dei gruppi di Brauer oltre a fornire un invariante per i campi e classificare le algebre su un determinato campo, è necessaria anche in teoria dei numeri.<br>Alcune applicazioni si trovano nella risoluzione del problema inverso di Galois tramite forme quadratiche; infatti è importante conoscere la due-torsione del gruppo di Brauer del campo su cui si vuole risolvere il problema inverso.<br><br>Inoltre alcune nozioni sui gruppi di Brauer hanno permesso di trovare controesempi al fatto che una varietà algebrica unirazionale sia anche birazionale (ostruzione di Brauer-Manin).
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