• varieta'
• iperboliche

La dimostrazione della congettura di geometrizzazione di Thurston ha fornito un potentissimo strumento per lo studio delle $3$-variet�. In particolare ora sembra possibile la risoluzione di una congettura detta di Haken virtuale. Tale congettura afferma che ogni $3$-variet� compatta, orientabile, irriducibile, con gruppo fondamentale infinito ha un rivestimento finito che contiene una superficie incompressibile\footnote{Una superficie immersa $i: S \hookrightarrow M$ si dice incompressibile se � diversa dalla $2$-sfera e se $i_{*}: \pi_{1}(S) \rightarrow \pi_{1}(M)$ � iniettiva}. Assumendo la congettura di geometrizzazione di Thurston, la congettura di Haken virtuale rimane aperta solo per le $3$-variet� iperboliche.
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Lo scopo di questa tesi � ripercorrere i passi fatti da Jeremy Kahn e Vladimir Markovic nella risoluzione della congettura del sottogruppo di superficie. Tale congettura, formulata da Friedhelm Waldhausen, afferma che il gruppo fondamentale di ogni $3$-variet� iperbolica chiusa contiene un sottogruppo isomorfo al gruppo fondamentale di una superficie diversa dalla $2$-sfera. Questo sembra essere un risultato che pu� portare alla risoluzione della congettura di Haken virtuale.