• 3-varietà
• incompressibili
• superfici
• dimensione bassa
• topologia
• A-polinomio
• nodi

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Versione italiana <BR><BR>

L'argomento della tesi è lo studio dei caratteri di rappresentazioni del gruppo fondamentale di una varietà in SL_2(C) con lo scopo di ottenere delle informazioni sulla topologia della varietà.<BR><BR>

Considero una varietà M e definisco R(M) come l'insieme delle rappresentazioni del suo grupp fondamentale in SL_2(C). L'insieme dei caratteri delle rappresentazioni in R(M) sarà chiamato X(M).<BR><BR>

Se il gruppo è finitamente generato, su R(M) e X(M) si può dare una struttura di varietà algebrica affine (cosa non banale per X(M) ), sfruttando la quale si definisce il concetto di punto "all'infinito" di X(M), e si associano a questi punti una valutazione di un campo F e una rappresentazione del gruppo in SL_2(F). A partire da questi elementi si costruisce un'azione del gruppo su un albero reale, un particolare tipo di spazio metrico che nel caso in cui la valutazione è a valori in Z è un albero simpliciale.<BR><BR>

Queste azioni su alberi danno informazioni sulla topologia di M. <BR><BR>

Si affronta in maniera particolareggiata il caso dell'azione su un'albero simpliciale, facendo vedere come, se M è una 3-varietà compatta, si può arrivare a costruire un sistema di superfici incompressibili di M. Si fa vedere come con opportune ipotesi su M si possono ottenere superfici incompressibili con certe proprietà, e si mostrano alcune applicazioni, come ad esempio la dimostrare un bel risultato di decomposizione di una 3-varietà. <BR><BR>

Nel caso di una varietà associata ad un nodo si riesce a costruire un invariante del nodo, l' A-polinomio, e si calcolano esplicitamete le pendenze di bordo delle superfici incompressibili costruite in questo modo. <BR><BR>

Il caso delle azioni su alberi reali viene presentato per mostrare una nuova costruzione del bordo di Thurston degli spazi di Teichmuller ed una nuova interpretazione dei punti di bordo aggiunti. <BR><BR><BR>


English version<BR><BR>

The aim of this thesis is studying how the characters of SL_2(C)-representations of the fundamental group of a manifold may bring topological information about the manifold itself.<BR><BR>

Let M be a manifold, R(M) be the set of SL_2(C)-representations of its fundamental group, X(M) be the set of characters of such representations. <BR><BR>

If the fundamental group is finitely generated we can endow R(M) and X(M) with an algebraic structure (which is not simple for X(M)), and using this structure we can define the "points at infinity" of X(M), and we can associate with each of these points a valutation of a field F and a representation of the group in SL_2(F). Starting from these elements we can construct an action of the group on a real tree, a particular kind of metric space that, if the valutation is Z-valued, is an ordinar simplicial tree.<BR><BR>

These actions bring information about the topology of M.<BR><BR>

I have studied in detail the actions on simplicial trees, and I have shown that, if M is a compact 3-manifold, an action on a simplicial tree permits the construction of a system of incompressible surfaces in M. With additional hypotheses on M, it is possible to obtain incompressible surfaces with some additional properties, and I have shown some applications of this, as for example a decomposition result for 3-manifolds.<BR><BR>

If M is a knot manifold, it is possible to construct a knot invariant, the A-polynomial, and it is possible to evaluate the boundary slopes of incompressible surfaces constructed this way.<BR><BR>

The actions on real trees lead to a new construction of the Thurston boundary of Teichmuller spaces and to a new interpretation of the boundary points. <BR><BR>