• ottimizzazione combinatoria
• inapprossimabilità
• teoria spettrale dei grafi
• maxcut

Il problema del massimo taglio in un grafo (MaxCUT) consiste nel
trovare una partizione dei nodi in due parti tali che gli archi
con un estremo nella partizione e un estremo nell'altra siano
massimizzati. È uno dei problemi combinatoriali su grafi più naturali
e interessanti. Sfortunatamente come molti dei problemi interessanti è
NP-completo: è uno dei 21 problemi di cui Karp ha dimostrato la
NP-completezza nell'articolo del 1972 che ha gettato le basi della
teoria delle riduzioni.

Esclusa quindi l'esistenza di algoritmi efficienti ed esatti
(assumendo che P =/= NP), la ricerca sui problemi di
ottimizzazione combinatoria si è spostata su due fronti duali:

- Lo sviluppo di algoritmi approssimati}, cioè che trovano
una soluzione subottimale al problema, ma dimostrabilmente vicina
alla soluzione ottima.
- La teoria dell'inapprossimabilità, che studia la massima
precisione che possono raggiungere gli algoritmi polinomiali.

Qualora si dimostri che un problema non è approssimabile oltre un
certo limite teorico (solitamente una funzione dell'ottimo), e che
tale limite è raggiunto da un algoritmo di approssimazione, la
complessità approssimata del problema è essenzialmente risolta, in
quanto sia l'algoritmo che il risultato di inapprossimabilità sono
ottimali.

In questa tesi descriviamo un algoritmo presentato in un recente
lavoro di Trevisan che sfrutta tecniche spettrali per
l'approssimazione di MaxCUT. L'obiettivo di questa tesi è fornire una
sua analisi sperimentale che dimostra che l'algoritmo è applicabile a
problemi di grandi dimensioni.

Per poter sviluppare la tesi, richiameremo il concetto di Laplaciano
di un grafo e alcuni risultati elementari di teoria spettrale dei
grafi. Definiremo i problemi di SparsestCUT e edge expansion,
le disuguaglianze alla Cheeger e l'algoritmo di partizionamento
spettrale, che sono le prime applicazioni storiche della teoria
spettrale e che hanno ispirato l'algoritmo spettrale per MaxCUT.

Nel seguito concentreremo l'attenzione su MaxCUT. Descriveremo
l'algoritmo di Goemans e Williamson, che in un articolo del 1995 hanno
presentato la prima approssimazione non banale, con precisione
alpha_GW = 0.878..., cioè che restituisce una soluzione di valore
almeno alpha_GW volte l'ottimo. L'algoritmo si basa su un
rilassamento geometrico di un problema di programmazione quadratica
intera equivalente a MaxCUT. Tale problema è formulabile come
programma semidefinito, quindi risolubile in tempo polinomiale. La
soluzione del rilassamento viene quindi arrotondata così da ottenere
una soluzione ammissibile del programma quadratico intero.

Non è stato scoperto alcun algoritmo che garantisca un rapporto di
approssimazione al caso pessimo migliore di quello di
Goemans-Williamson. Vedremo come la Unique Games Conjecture, una
recente congettura di Khot et al., implicherebbe l'ottimalità
dell'algoritmo semidefinito. Tale congettura è adoperata per la
costruzione di un verificatore PCP (Probabilistically Checkable
Proof) riducibile a MaxCUT. L'analisi del verificatore si basa su una
congettura recentemente dimostrata: il teorema Majority is Stablest,
sulle proprietà estremali delle funzioni monotone {0,1}^n -> R. Altro
ingrediente fondamentale è l'analisi di Fourier delle funzioni finite,
un campo recentemente in fermento per le sue applicazioni in
combinatoria e informatica teorica.

Infine presenteremo l'algoritmo spettrale per MaxCUT. A differenza
degli approcci tipo Goemans-Williamson, basati su programmazione
semidefinita, esso fa uso dell'autovettore principale del Laplaciano
per trovare un'immersione del grafo nella retta. Tramite un algoritmo
lineare di arrotondamento è quindi possibile estrarre dall'immersione
sottografi con buoni tagli, e ripetere ricorsivamente il
procedimento. Il rapporto di approssimazione raggiunto è almeno
0.507....

Rispetto all'algoritmo semidefinito, l'algortimo spettrale ha
un'analisi elementare ed è facilmente implementabile, visto che
l'unico passo complesso consiste nel calcolo di un autovettore di una
matrice sparsa quanto il grafo. Sfruttando librerie esistenti per il
calcolo numerico di autovettori di matrici sparse, è possibile
applicare l'algoritmo a grafi di dimensioni consistenti. Presenteremo
quindi un'implementazione e un'analisi sperimentale, che mostra che
l'algortimo è molto efficiente in pratica, e che pone nuovi problemi
aperti sulla sua analisi teorica.