• Kakeya's theorem
• generating functions
• derivations
• t-quotient
• t-core
• partitions
• Ferrers diagrams
• representations theory
• Young diagrams
• symmetric group
• irreducibility
• tableau
• symmetric field
• Schur functions
• symmetric functions
• Galois theory
• trascendental extensions
• Newton polynomials

In questa tesi presentiamo la teoria classica delle funzioni simmetriche con le sue applicazioni allo studio dei caratteri del gruppo simmetrico. Studiamo inoltre il problema di stabilire quando il campo delle funzioni simmetriche in n variabili sia generato da polinomi di Newton.

Abbiamo in particolare che in due variabili i polinomi di Newton
N_a = x^a + y^a , N_b = x^b + y^b, N_c = x^c + y^c ,
con a,b,c interi positivi, distinti e tali che (a,b,c) = 1, sono sempre sufficienti per generare l’intero campo delle funzioni simmetriche in caratteristica zero.

Un lavoro originale di questa tesi è lo studio di questo problema in caratteristica positiva, e in particolare mostreremo che se si richiede addizionalmente che a,b,c,a−c,a−b,b−c siano primi con la caratteristica p, allora anche in questo caso N_a, N_b, N_c sono sufficienti per generare l’intero campo delle funzioni simmetriche. Qualora queste ipotesi non siano soddisfatte, esibiremo una famiglia di controesempi, che in particolare mostra che è necessario richiedere che le differenze a−c,a−b,b−c siano prime con p.

Dopo aver trattato i preliminari di combinatoria riguardanti le partizioni di interi, diagrammi di Young e tableau, definiamo l’anello delle funzioni simmetriche Λ in infinite variabili e studiamo le famiglie principali di generatori di Λ come Z-modulo indicizzate dalle partizioni di interi λ, ovvero le funzioni simmetriche monomiali m_λ, elementari e_λ, complete h_λ e le somme di potenze p_λ.

Esaminiamo quindi le funzioni generatrici delle e_λ, h_λ, p_λ ricavando le fondamentali relazioni fra di esse, e introduciamo l’involuzione ω sull’anello Λ, studiando la sua azione sulle basi fondamentali. Osserviamo come già in questa a circostanza vengano alla luce stutture del gruppo simmetrico, e forniamo alcuni esempi elementari di applicazioni della teoria delle funzioni simmetriche, tra cui il teorema di Pólya con applicazione allo studio delle colorazioni, e la caratterizzazione dei numeri di Stirling del primo e del secondo tipo come funzioni simmetriche elementari e complete valutate in un intervalli di interi.

Introduciamo successivamente la base delle funzioni di Schur s_λ, e ricaviamo la fondamentale formula di Jacobi-Trudi che permette di scrivere gli s_λ in termini degli e_λ e h_λ. Caratterizziamo inoltre la scrittura delle somme di potenze p_ρ nelle funzioni di Schur s_λ in termini delle decomposizioni dei diagrammi delle partizioni λ in strisce di bordo.

Introduciamo quindi un prodotto scalare Z-lineare su Λ che rende duali le basi m_λ e h_λ, e vediamo che tale prodotto scalare è simmetrico, definito positivo, e che le funzioni di Schur s_λ sono una base ortonormale rispetto ad esso, e i p_λ una base ortogonale. Tale prodotto scalare permette inoltre di definire le funzioni di Schur skew s_λ/µ , e vedremo come attraverso lo studio di esse sia possibile caratterizzare i coefficienti dei monomi m_ν nelle funzioni di Schur s_λ, detti numeri di Kostka, che per ogni coppia di partizioni λ,ν risulteranno corrispondere al numero di tableau di forma λ e peso ν.

Vediamo successivamente le relazioni fondamentali fra le matrici che definiscono la scrittura di una base in termini di un’altra base, e come le matrici di transizione fra le basi studiate possano essere scritte in termini di alcune matrici fondamentali. Presentiamo inoltre la dimostrazione della regola di Littlewood-Richardson che fornisce una caratterizzazione combinatoria del prodotto di due funzioni di Schur.

Definiamo quindi un isomorfismo isometrico fra l’anello delle funzioni simmetriche e l’algebra delle rappresentazioni del gruppo simmetrico equipaggiata con una particolare moltiplicazione. In tale isomorfismo le funzioni di Schur s_λ per tutte le partizioni λ di n corrispondono ai caratteri irriducibili di S_n, e i coefficienti della scrittura dei p_ν in termini degli s_λ risultano essere precisamente i valori di tali caratteri irriducibili nelle classi di coniugio degli elementi che hanno decomposizione in cicli di tipo ν. Diamo inoltre un cenno alla teoria del pletismo.

Nell’ultimo capitolo presentiamo lo studio relativo al seguente

Problema. Sia N_r = x_1^r + ··· + x_n^r per ogni r. Per quali tuple a_1,...,a_m i polinomi di Newton N_a_1,...,N_a_m generano l’intero campo delle funzioni simmetriche in x_1,...,x_n?

Iniziamo con alcuni risultati preliminari che ci dicono che è necessario che e m ≥ n, che a_1,...,a_m siano coprimi, e che la soluzione dipende solo dalla caratteristica del campo base. Dopo aver rivisto la teoria delle derivazioni, presentiamo quindi la dimostrazione di Dvornicich e Zannier del fatto che in due variabili i tre polinomi N_a, N_b, N_c con a,b,c positivi, distinti e coprimi sono sufficienti a generare l’intero campo simmetrico in caratteristica zero, risultato che è conseguenza dello studio del gruppo di Galois dei polinomi di Schur.

Segue lo studio del problema in caratteristica prima p, dove mostriamo che è sufficiente l’irriducibilità di una classe di tali polinomi per ottenere il risultato conclusivo, e che tale irriducibilità ha luogo qualora si richieda addizionalmente
che a,b,c,a−c,a−b,b−c siano tutti primi con p. Mostriamo una famiglia di controesempi qualora tali ipotesi non siano verificate.

Trattiamo inoltre alcuni aspetti del caso in più variabili, e in particolare un teorema di Kakeya che dice che gli n polinomi N_a_1,...,N_a_n generano l’intero campo simmetrico se l’insieme N^+ \ {a_1,...,a_n} è chiuso rispetto all’addizione. Per dimostrare questo risultato è di fondamentale importanza la caratterizzazione della scrittura delle funzioni di Schur s_λ in termini dei p_ρ.

Presentiamo inoltre un cenno della dimostrazione di Dvornicich e Zannier del fatto che in n variabili gli n + 1 polinomi N_a_1,...,N_a_{n+1} sono sempre sufficienti per generare l’intero campo simmetrico qualora a_1,...,a_{n+1} siano coprimi, e una dimostrazione alternativa del passo finale in analogia con quanto fatto in caratteristica positiva cui mostriamo come sia sufficiente l'irriducibilità di una classe di polinomi simmetrici per giungere alla conclusione.