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In questa tesi mi occupo della teoria di campo di Chern-Simons (CS), una teoria di
gauge che non descrive un insieme di particelle, e le osservabili corrispondono ad
invarianti topologici.
La teoria di CS può essere risolta esattamente non solo in R3 (o S 3 ), ma in
qualsiasi 3-varietà M chiusa ed orientata. Questo risultato può essere ottenuto in due
differenti modi. Nel primo si utilizza un metodo combinatorico basato sulla chirurgia,
attraverso il quale è possibile ricostruire i valori di aspettazione in M a partire dai
risultati noti in R3 . Il secondo è l'approccio fisico standard, nel quale si danno i
campi, l'azione e le regole per l'integrazione funzionale in M. Mostreremo che i
risultati sono equivalenti.
Nel primo capitolo introduttivo vengono discussi alcuni aspetti generali della teoria come
le proprietà dell'azione, contenuto in particelle, anticipando alcuni risultati sui valori
d'aspettazione. Il secondo capitolo ha lo scopo di introdurre alcune nozioni di base di
teoria dei nodi che ritroveremo per tutto il resto del lavoro. Nel terzo capitolo
viene studiata la teoria in R3 utilizzando i metodi standard delle teorie di campo; in
particolare sono calcolati i propagatori e i funzionali generatori per le funzioni di
correlazione dei campi A e della curvatura F. Il significato delle osservabili è
inoltre discusso, e ne viene calcolato il valore d'aspettazione sia utilizzando uno
sviluppo perturbativo, che un approccio non perturbativo. A partire dal quarto
capitolo, viene discussa l'estensione della teoria in varietà M differenti da R3
(utilizzando la chirurgia di Dehn). In particolare, viene mostrato brevemente
come come sia possibile risolvere la teoria in M utilizzando i risultati noti in R3 (o
S 3 ). Il quinto capitolo è interamente dedicato allo studio delle connessioni di
gauge A in M mediante l'utilizzo della nozione di fibrato. Alla fine, si mostra che è
possibile esprimere A in termini di classi di Deligne-Beilinson.
Il sesto capitolo rappresenta la parte più importante di questo lavoro di tesi. Il funzionale d'azione di CS viene esteso da R3
ad una 3-varietà generica M.Viene studiata la struttura dello spazio delle configurazioni, ovvero delle orbite di gauge, per le connessioni U(1). L'integrazione funzionale è modellata sulla struttura delle orbite di gauge e si mostra che l'integrale funzionale assume la forma di una somma di integrali funzionali sulle 1-forme in presenza di configurazioni di background, che sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi del primo gruppo di omologia di M. Viene calcolato esplicitamente sia le funzioni di partizioni normalizzate che i valori di aspettazione utilizzando unicamente l'integrazione funzionale in una generica varietà. In particolare si mostra come sia possibile ottenere invarianti per 3-varietà direttamente dall'integrazione funzionale. L'ultimo capitolo è destinato agli esempi, e vengono confrontati i risultati ottenuti con l'integrazione funzionale e ottenuti mediante metodi combinatorici.