• geometria iperbolica

Molto è noto riguardo le superfici iperboliche (complete), e si hanno alcune informazioni riguardo le 3-varietà iperboliche; al contrario, le 4-varietà iperboliche sono ancora largamente sconosciute, ed esistono solamente poche costruzioni esplicite. Uno dei casi più semplici con cui cominciare è quello di 2-fibrati vettoriali E ! B su superfici compatte. Le superfici compatte B sono classificate dalla caratteristica di Eulero χ(B); inoltre, su una data superficie, i 2-fibrati vettoriali sono classificati dal numero di Eulero χ(E). Ci si può chiedere per quali coppie (χ(B); χ(E)) la 4-varietà E ammetta una struttura di varietà iperbolica; il fibrato banale χ(E) = 0 ammette facilmente una struttura di varietà iperbolica (almeno per χ(S) ≤ −2), mentre per un fibrato generico non è nota la risposta; si congettura che la condizione jχ(E)j ≤ jχ(B)j sia necessaria, ma tale questione è tuttora un problema aperto.
Nella tesi presento una costruzione che ha fornito i primi esempi noti di tali metriche con χ(E) 6= 0. La costruzione consiste nell’immergere in H4 dei poligoni regolari iperbolici in maniera estremamente simmetrica e quindi ricca di simmetrie. Lungo ogni lato sono incollati esattamente due poligoni, e in ogni vertice convergono diversi poligoni disposti secondo un particolare schema, dato da una curva in S3 detta template. Quozientando per un gruppo di simmetrie di tale oggetto, otteniamo quindi una 4-varietà iperbolica contenente una superficie compatta immersa in maniera totalmente geodetica a tratti.
Nel caso il template sia una curva non annodata, la 4-varietà ottenuta è un 2-fibrato vettoriale sulla superficie, ed è possibile calcolare esplicitamente il suo numero di Eulero (che risulta essere non zero, e che rispetta la condizione data dalla congettura aperta).
Un’altro lato interessante della costruzione emerge dallo studio dell’insieme limite in @H4 della superficie costruita: tale insieme risulta avere l’aspetto di un frattale basato sulla forma del template.