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I Quantum Graphs sono modelli unidimensionali atti a descrivere la propagazione di onde, di diversa natura, all’interno di sistemi mesoscopici nei quali un’unica dimensione spaziale è considerata rilevante. Da un punto di vista matematico essi sono varietà singolari dotate di un operatore hamiltoniano autoaggiunto e sono costituiti da quantum wires ideali che collegano fra loro un insieme di vertici.
L’elemento fondamentale nello studio dei quantum graphs è il grafo a stella, composto da lati di lunghezza infinita che si diramano da un unico vertice: questa struttura risulta alla base dello studio della teoria dello scattering sui grafi e una sua attenta analisi consente di descrivere diversi aspetti di sistemi unidimensionali più complessi.
In questo lavoro illustreremo dapprima la propagazione di onde libere sul grafo a stella, limitandone l’interazione esclusivamente al vertice: analizzeremo il forte legame esistente fra estensioni autoaggiunte dell’operatore laplaciano, condizioni al bordo per le funzioni d’onda e matrice di scattering, che risultano essere tre descrizioni equivalenti del comportamento al vertice (teoria di Kostrykin e Schrader).
Questa analisi ci consentirà di introdurre un campo scalare sul grafo a stella adottando un approccio algebrico in grado di codificare l’interazione al vertice all’interno delle regole di commutazione degli operatori di creazione e distruzione. Mediante le rappresentazioni di Fock e di Gibbs dell’algebra delle osservabili sarà possibile descrivere alcune caratteristiche fondamentali di questo sistema e, in particolare, analizzarne la densità di energia caratterizzata da un termine di Casimir, dipendente dalla presenza del vertice, e da un termine di Stefan Boltzman, legato alla temperatura.
La definizione di un campo scalare sul grafo a stella permette di analizzare le condizioni affinchè si verifichi invarianza di scala: verranno classificate le famiglie di punti critici in funzione delle condizioni al bordo e saranno descritti i flussi del gruppo di rinormalizzazione fra essi, indagando le loro proprietà di stabilità legate agli autovalori della matrice di scattering. Mostreremo che, nel caso più generale, l’unico punto fisso stabile in senso infrarosso è quello dato dalle condizioni di Dirichlet; al contrario, le altre famiglie di punti critici sono caratterizzate da direzioni instabili.
Una volta indagato il campo scalare studieremo la propagazione del campo fermionico sul grafo a stella. Sono possibili due distinti approcci: il primo basato sulla tecnica della bosonizzazione ed il secondo sulla definizione del campo spinoriale di Dirac. In entrambi i casi, dopo aver analizzato la propagazione libera, introdurremo un campo elettromagnetico esterno che ci consentirà di descrivere le proprietà di conducibilità elettrica del sistema.

La tecnica della bosonizzazione permette di risolvere in maniera esatta particolari sistemi interagenti (modello di Thirring) e, studiando la risposta linerare della corrente elettrica ad un campo esterno, si ottiene una forma per la conducibilità lineare nella matrice di scattering del campo scalare; questo consente di descrivere situazioni di incremento della conducibilità dovuto all’interazione al vertice e di analizzare il comportamento della corrente elettrica sia nel caso invariante di scala, sia lontano dai punti critici.

Il secondo possibile approccio al campo fermionico è quello di studiare direttamente l’equazione di Dirac sul grafo, introducendo spinori a quattro dimensioni che consentono di analizzare i gradi di libertà di spin. La definizione del campo di Dirac può essere costruita, analogamente al caso scalare, adottando la teoria delle estensioni autoaggiunte di operatori hermitiani sul grafo. Anche in questo caso è possibile scrivere delle relazioni che leghino la matrice di scattering alle condizioni al bordo per il campo, e modificare l’algebra degli operatori di creazione e distruzione in maniera da includere l’informazione sull’interazione.
In questo modo si può analizzare il comportamento della corrente elettrica sia fuori dall’equilibrio termodinamico (in maniera analoga alla teoria di Landauer Buttiker) sia a temperatura nulla in presenza di un campo esterno (risposta linerare). In entrambi i casi si ottiene una conducibilità elettrica quadratica nella matrice di scattering fermionica che può essere confrontata con quanto ottenuto mediante bosonizzazione.