• formalismo ADM
• tensore di Weyl
• gauge sincrona
• dust
• gauge comovente

La teoria delle perturbazioni dello spazio-tempo si basa sulla stessa idea delle teorie perturbative di ogni tipo: si vuole trovare una soluzione approssimata di una qualche equazione di campo (le Equazioni di Einstein),
considerandola come una piccola deviazione da una certa soluzione nota di riferimento (il background: di solito la metrica di Friedmann-Robertson-Walker).<p>
In Relatività Generale le complicazioni nascono dal fatto che ciò che si deve perturbare non sono solo i campi in una certa geometria -campi relativi al contenuto di materia in senso stretto o campi scalari come l'inflatone e quelli dei modelli di Dark Energy-, ma la geometria stessa, ovvero la metrica.<p>
Nella tesi noi ci limitiamo allo studio delle perturbazioni in universi dominati da un fluido perfetto con pressione nulla, detto di "polvere", assunto irrotazionale. In gauge sincrona e comovente, presentiamo il calcolo al primo e al secondo ordine delle funzioni perturbative in quella che è nota come espansione in gradienti e confrontiamo tale tecnica di calcolo con la procedura perturbativa standard.<p>
La teoria standard prevede di perturbare una metrica di background di FRW intorno alle correzioni (piccole) a tale metrica, contenenti a priori tutti e tre i modi perturbativi: scalare, vettoriale e tensoriale. In altre parole,
si assume FRW come una buona approssimazione all'ordine zero per descrivere il nostro universo. La perturbazione è implementata attraverso funzioni dello spazio e del tempo, la cui forma in funzione del potenziale gravitazionale peculiare si determina ai vari ordini risolvendo iterativamente le Equazioni di Einstein (ci si ferma al secondo ordine).<p>
Nella tesi il punto di partenza è lo stesso di quello standard: si introducono le due variabili fisiche "espansione volumetrica" e "shear" e si
scrivono le Equazioni di Einstein in formalismo ADM. La procedura di perturbazione però diversa. Si parte da una metrica spaziale contenente
le funzioni perturbative Ψ e Χ della teoria standard, a loro volta contenenti tutti gli ordini di questa espansione: al tempo iniziale si ha a che fare con una metrica "seed" conforme a FRW
per un fattore esponenziale dipendente dal punto. Quindi si considera come parametro perturbativo non la grandezza dello scostamento dal background ma il contenuto di gradienti spaziali, cosicchè la metrica
all'ordine zero (così come ogni altro campo) è quella non contenente derivate spaziali. <p>
Conteggiare il contenuto dei gradienti nei diversi ordini equivale a considerare le lunghezze scala delle variazioni spaziali della metrica (e degli altri campi) più grandi, in diversa approssimazione, rispetto al tempo scala delle variazioni temporali delle stesse quantità: ne risulta un metodo di approssimazione non lineare per studiare come
le disomogeneità cosmologiche crescono a partire da perturbazioni iniziali, il nostro "seed" (generato dalle perturbazioni inflazionarie) su scale inizialmente molto maggiori del raggio di Hubble.<p>
Nella tesi, quindi, dopo aver descritto la dinamica della polvere irrotazionale, commentato la nostra scelta di gauge e riassunto le idee generali delle perturbazioni cosmologiche, otteniamo Ψ e Χ fino al secondo ordine risolvendo rispettivamente l'equazione di evoluzione dello scalare di espansione volumetrica e del tensore di shear, verifichiamo i vincoli sull'energia e sul momento, proseguiamo nel confronto con i risultati standard attraverso
un'opportuna procedura e infine mostriamo la forma che la parte magnetica del tensore di Weyl assume in questo approccio.