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Nei primi due capitoli presentiamo alcuni tentativi di definire fasci di forme olomorfe su spazi complessi singolari, studiamo i casi in cui questi fasci tra loro coincidono e dimostriamo, sotto la forte ipotesi di contraibilità olomorfa, il lemma di Poincaré.
Nel terzo capitolo spostiamo l'attenzione sulla risoluzione dell'equazione di Cauchy-Riemann in presenza di singolarità, esponendo l'approccio di Henkin e Polyakov, tramite immersione in $\mathbb{C}^n$ e quello implicito di Fornaess e altri; quest'ultimo ha molti sviluppi, ma rimane sempre molto legato alla geometria della singolarità.
Nel quarto capitolo presentiamo la teoria delle forme e correnti metriche, introdotta da Ambrosio e da Kirchheim in un lavoro del 2000, sviluppandone alcuni aspetti in presenza di coordinate locali.
Infine, nel quinto capitolo definiamo le correnti di tipo (p,q) e dimostriamo un teorema di decomposizione per un certo tipo di correnti; così possiamo definire l'operatore $\overline{\partial}$ e studiare la risolubilità dell'equazione di Cauchy-Riemann su spazi complessi singolari, almeno in alcuni casi particolari.