• filtrazioni di Fredholm
• teorema di Eells-Elworthy
• categoria layer
• operatori di Fredholm
• teorema di Bessaga
• teorema di Mukherjea-Quinn
• immersione chiusa in dimensione infinita
• varietà totalmente geodetica
• intorno tubolare
• spray
• teorema di Kuiper
• estensione degli omeomorfismi
• geodetica
• fibrati normali
• varietà di Hilbert
• omotopia in dimensione infinita
• varietà di dimensione infinita
• varietà di Banach
• embedding aperto
• immersione
• isotopie di intorni tubolari
• varietà Riemanniana
• metrica Riemanniana

L'obiettivo principale di questa tesi è quello di approfondire
un importante risultato in analisi globale nell'ambito delle varietà di dimensione infinita:
il teorema di embedding aperto di Eells-Elworthy. Esso asserisce che ogni varietà di classe
$C^\infty$, parallelizzabile, separabile, metrizzabile, modellata su uno spazio di Banach reale
di dimensione infinita, dotato di una base di Schauder può essere realizzata con un embedding
di classe $C^\infty$ come un sottoinsieme aperto dello spazio modello.
Particolare attenzione sarà rivolta al caso delle varietà modellate su uno spazio di Hilbert separabile,
essendo questo l'ambito preferenziale di applicazione di questo teorema.
Saranno fornite alcune modifiche e semplificazioni alla dimostrazione originale del teorema
al fine di rendere le varie costruzioni il più possibile geometriche e chiare.

La prima parte della tesi è dedicata alla rivisitazione di alcuni contributi alla teoria
dell'immersione prediligendo quei risultati con forti implicazioni topologiche che distinguono
gli spazi e le varietà di dimensione infinita dai corrispondenti oggetti finito-dimensionali.
Constateremo che la topologia differenziale in dimensione infinita è sostanzialmente diversa
e per certi aspetti è più semplice. Studieremo il teorema di Kuiper, secondo cui il gruppo generale
lineare di uno spazio di Hilbert reale $H$ di dimensione infinita è contraibile rispetto alla topologia
indotta dalla norma di $H$. In particolare, da questo teorema segue che il fibrato tangente di una varietà
modellata su uno spazio di Hilbert di dimensione infinita è banale, è diffeomorfo cioè ad un prodotto.
Poiché sul teorema di Kuiper si basano alcune fondamentali costruzioni utili per la dimostrazione del teorema
di embedding aperto, abbiamo ritenuto opportuno dimostrare con tutti i dettagli almeno uno degli ingredienti
fondamentali per ottenere questo importante risultato.

Un altro teorema in questa direzione è il risultato di Bessaga,
secondo cui la sfera unitaria di uno spazio di Hilbert di dimensione infinita è diffeomorfa all'intero spazio.
Chiaramente questo teorema è falso in dimensione finita.
Analizzando l'articolo originale di Bessaga si sono poi fornite alcune estensioni al caso delle varietà di Banach.

Completano questa panoramica una versione del teorema di Whitney in dimensione infinita
e la costruzione di una retrazione forte dalla palla unitaria chiusa sulla sfera unitaria di uno spazio di Hilbert separabile di dimensione infinita.

La seconda parte della tesi sarà dedicata alla dimostrazione
del teorema di embedding aperto con particolare enfasi al
caso delle varietà Hilbertiane. In particolare, in virtù
di questo teorema sarà possibile dotare ogni siffatta
varietà della metrica piatta.
La dimostrazione del teorema di embedding aperto
può essere suddivisa in due parti:
(1) Processo di riduzione al caso finito-dimensionale.
(2) Raffinamento delle tecniche layer introdotte e
determinazione di un embedding aperto. L'esposizione sarà
corredata di numerose osservazioni finalizzate all'estensione
del teorema di embedding aperto nella generalità delle varietà di Banach.
Allo scopo di rendere la trattazione il più possibile autosufficiente,
per comodità del lettore sono presentate delle appendici.
Esse coprono vari argomenti tra i quali la teoria lineare
e non-lineare degli operatori di Fredholm, alcuni teoremi
di isotopia strettamente necessari per le costruzioni
utili per la dimostrazione del teorema di embedding aperto
e la nozione di intorno tubolare corredata dei teoremi di esistenza
ed unicità nella generalità delle varietà di dimensione infinita.
Scopo delle appendici è anche quello di approfondire ed
esemplificare la teoria esposta nei due capitoli iniziali.