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Questo lavoro di tesi tratta della formalizzazione e dell'utilizzo dei modelli Markoviani per la rappresentazione e l'analisi dei problemi di mobilità sociale.
La mobilità sociale è oggetto di studio di grande rilievo ormai da oltre mezzo secolo, sia negli Stati Uniti che in gran parte dei Paesi europei ed è in aumento l'impiego di processi stocastici nell'analisi di essa. In letteratura
esistono vari tentativi di approccio in questo senso e la tesi vuole fornire uno strumento per un'analisi probabilistica della mobilità sociale.
Le catene di Markov sono sistemi dinamici (nel nostro caso verranno considerati quelli a stati finiti) nei quali la transizione da uno stato all'altro avviene su base probabilistica, invece che deterministica. Esse forniscono un modello
matematico per descrivere sistemi soggetti a cambiamenti casuali di stato, la cui evoluzione temporale dipende solo dallo stato attuale e non dalla storia passata.
Per definizione, quindi, una catena di Markov è un processo stocastico discreto avente un insieme numerabile di stati e vericante le seguenti proprieta:
i. 'perdita di memoria', cioè la previsione statistica di un evento futuro è identica sia se effettuata conoscendo la storia passata ed il presente, sia se effettuata conoscendo solo il presente;
ii. 'omogeneità', cioè le probabilità condizionali, dette di transizione, sono stazionarie, quindi la dinamica stocastica non dipende dal tempo, ma agisce sempre con le stesse modalità.
A livello intuitivo, una catena di Markov (a stati finiti) può essere interpretata come la descrizione di un sistema (a tempo discreto) che può trovarsi ad ogni istante in un qualunque stato appartenente ad un assegnato insieme (finito) di stati e muoversi con una probabilità stazionaria, condizionata solo dallo stato in cui si trova e non dalle transizioni precedenti.
L'esposizione del lavoro è articolata in due parti.
La prima parte, comprendente il primo capitolo e il secondo capitolo, nella quale introdurremo alcune definizioni utili e risultati noti di calcolo delle probabilità e riassumeremo gli aspetti generali della teoria delle catene di
Markov; esporremmo le equazioni di Chapman-Kolmogorov, classificheremo gli stati di una catena ed analizzeremo le proprietà asintotiche delle catene finite.
La seconda parte, comprendente il terzo capitolo e il quarto capitolo, nella quale introdurremo la mobilità sociale come oggetto di studio ed analizzeremo le assunzioni basilari che consentiranno di formalizzare il modello tramite una catena di Markov. Mostreremo, a completezza del lavoro, alcune applicazioni del
modello generale ad esempi di mobilità occupazionale già presenti in letteratura e ad una nostra applicazione per un modello di carriera lavorativa.
I nostri risultati si basano sull'ipotesi che la matrice di transizione rimanga costante nel tempo e questo potrebbe sembrare lontano dalla realtà in cui condizioni sociali ed economiche subiscono cambiamenti. In realtà, occorre
osservare che le ambizioni degli individui rimangono focalizzate sui propri
obiettivi, anche se cambiano le condizioni esterne, quindi, sotto specifiche
ipotesi che esporremo dettagliatamente, i risultati possono essere considerati
una buona approssimazione della realtà.