• geometria di contatto
• esistenza strutture di contatto

La geometria di contatto è lo studio di una struttura geometrica su varietà differenziabili di dimensione dispari 2q+1, data da una distribuzione di iperpiani coorientabile nel fibrato tangente, che soddisfa una condizione massimale di non integrabilità. Questa distribuzione è pari al nucleo di una 1-forma α che, per definizione, è tale che α∧(dα)^{q}≠0.
Se ξ=kerα è una struttura di contatto sulla (2q+1)-varietà differenziabile M, dalla condizione di contatto α∧(dα)^{q}≠0 segue che dα è una forma simplettica sul sottofibrato ξ di TM. Questo implica l'esistenza di una struttura complessa J su ξ, unica a meno di omotopia. Quindi c'è una decomposizione di TM nella somma del q-fibrato vettoriale complesso (ξ,J) e di un fibrato lineare reale banale θ. La terna (ξ,J,θ) è detta struttura di quasi contatto ξ-compatibile.
Una delle questioni più importanti in geometria di contatto è stabilire quali varietà di dimensione dispari orientabili ammettano una struttura di contatto. E' noto che tutte le varietà aperte e le varietà chiuse di dimensione minore o uguale a 5 ammettono strutture di contatto, mentre, per varietà chiuse di dimensione strettamente maggiore di 5 la questione è ancora aperta. Eliashberg, Strom Borman e Murphy hanno appena annunciato di saper dimostrare questo risultato (“Existence and classification of overtwisted contact structures in all dimensions”).
Secondo un recente risultato di Bourgeois, data una varietà di contatto M, il prodotto MxSg$, dove Sg è una superficie di genere g almeno 1, ammette una struttura di contatto. In questa tesi mostreremo, facendo riferimento ad un recente articolo di Bowden, Crowley e Stipsicz, che il risultato di Bourgeois vale anche nel caso g=0. Più precisamente, presenteremo una dimostrazione del seguente teorema.

Sia M una (2q+1)-varietà di contatto chiusa. Allora il prodotto MxS^{2} ammette una struttura di contatto.

Per dimostrare questo teorema occorrono fondamentalmente tre risultati.
Il primo è quello di Bourgeois, che ci permette, fissata una struttura di contatto su M, di considerare una struttura di contatto ξ su MxT^{2}. Indicata quindi con φ una struttura di quasi contatto ξ-compatibile, mostreremo che è possibile costruire un cobordismo Y tra MxT^{2} e MxS^{2}, che ammette una struttura quasi complessa che estende φ.
In secondo luogo, abbiamo bisogno di un risultato che ci garantisca che il cobordismo Y si possa ottenere da MxT^{2} attaccando manici di indice al più q+2. Mostreremo che ciò equivale a richiedere che la coppia (Y,MxS^{2}) sia (q+1)-connessa, ipotesi nella quale ci porteremo mediante chirurgie all'interno di Y.
Infine, abbiamo bisogno di un risultato dovuto a Weinstein ed Eliashberg sulle chirurgie di contatto. Una chirurgia di contatto è una chirurgia su una varietà di contatto, che avviene lungo sfere isotrope con fibrato normale simplettico conforme banale in maniera tale che la varietà risultante ammetta una struttura di contatto, coincidente con quella iniziale fuori da un intorno in cui ha avuto luogo la chirurgia. Tale struttura di contatto è quella indotta dal campo di Liouville della varietà simplettica che si ottiene attaccando alla simplettizzazione della varietà di contatto iniziale un manico simplettico mediante un simplettomorfismo. Questa costruzione è dovuta a Weinstein. Il risultato di Eliashberg garantisce che, se si considera una chirurgia usuale lungo una sfera di dimensione al più q+1 in una (2q+3)-varietà di contatto e se la struttura di quasi contatto sulla varietà si estende ad una struttura quasi complessa sulla traccia della chirurgia, allora la chirurgia è realizzabile come chirurgia di contatto e dunque la varietà ottenuta ammette una struttura di contatto.
Applicando questo risultato al cobordismo Y, otterremo la tesi per il teorema sopra enunciato. Inoltre, modificando leggermente la dimostrazione, vedremo che è possibile supporre che la struttura di contatto ottenuta su MxS^{2} sia tale che, fissato p in M, la sottovarietà Mx{p} sia di contatto e contattomorfa ad M.
In conclusione, osserveremo che le stesse argomentazioni usate nella dimostrazione del teorema provano che, data una varietà di contatto M, sotto opportune ipotesi sulla varietà X, il prodotto MxX è una varietà di contatto. Questo ci permetterà di concludere che MxS^{i_{1}}x ... xS^{i_{n}} con i_{1}+...+i_{n}=2k ammette una struttura di contatto.