• Calcolo delle variazioni
• teorema di Noether.

Il concetto di simmetria gioca un ruolo fondamentale tanto nella matematica quanto nella fisica. La traduzione formale di una simmetria è l'invarianza di un sistema rispetto a una famiglia di trasformazioni dipendenti da parametri. L'importanza di questa proprietà consiste nell'esistenza di leggi di conservazione, la cui tipica applicazione è la riduzione del numero di gradi di libertà di un sistema: tale procedimento può facilitare l'integrazione delle equazioni differenziali legate alle condizioni necessarie di ottimalità. Le equazioni della fisica matematica hanno una struttura variazionale, e la più generale espressione della relazione esistente fra simmetria ed esistenza di leggi di conservazione è il teorema di Noether.
La tesi si articola nel seguente modo.
1) Si illustrano i risultati classici: dapprima si deduce l'esistenza di un integrale primo del moto dall'invarianza di una lagrangiana L rispetto a una famiglia ad un parametro reale di diffeomorfismi di classe C^2 della coordinata q. Il medesimo risultato si raggiunge introducendo un opportuno funzionale d'azione e analizzandone l'invarianza rispetto a classi di trasformazioni C^2.
2) Generalizzando lo stesso metodo illustrato da Emmy Noether nel suo lavoro 'Invariante Variationsprobleme', concentrato più su gruppi di trasformazioni, abbiamo introdotto famiglie ad un parametro reale infinitesimo di trasformazioni di tempi e coordinate di classe C^2, deducendo anche in questo caso l'esistenza di un integrale primo a partire dall'invarianza del funzionale d'azione. Di questo risultato abbiamo dato due dimostrazioni: la prima di esse è basata sul calcolo della variazione prima del funzionale d'azione, la seconda invece discende da successive condizioni necessarie, fra cui quella di ottimalità di du Bois-Reymond per gli estremali.
3) Seguendo recentissimi articoli, abbiamo generalizzato il teorema di Noether a problemi variazionali e di controllo con un parametro di ritardo; la presenza di esso nelle variabili di stato e di controllo gioca un ruolo fondamentale nel modellizzare fenomeni fisici della vita reale e ha numerose e non banali applicazioni nella teoria dei campi. Il primo importante risultato è un'estensione delle naturali equazioni di Eulero-Lagrange a nuove equazioni, che devono essere soddisfatte da ogni estremale del funzionale d'azione con ritardo. Anche in questo caso, l'invarianza garantisce l'esistenza di un integrale primo lungo estremali di classe C^2. Abbiamo successivamente esteso tale risultato al caso in cui gli estremali siano di classe C^1 a tratti, derivando anche in questo caso un nuovo integrale primo.
4) Si è analizzata una formulazione hamiltoniana del problema di minimo del funzionale d'azione con ritardo, considerando ammissibili controlli di classe C^0 e curve di classe C^1. E' stato dimostrato nel dettaglio il teorema di Pontryagin con ritardo, dopo aver definito un'opportuna funzione hamiltoniana H, ed è stata dedotta una serie di condizioni necessarie sui minimi del problema esposto espresse da sistemi hamiltoniani e condizioni stazionarie. Infine, introducendo famiglie ad un parametro di trasformazioni di tempi, coordinate, controlli e co-stati, è stata dedotta l'esistenza di una costante del moto lungo gli estremali di Pontryagin di funzionali invarianti rispetto ad esse.