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Pierre de Fermat è ricordato soprattutto per l’Ultimo teorema di Fermat, la celebre congettura, dimostrata solo alla fine del XX secolo. Tuttavia il genio di Fermat si è rivelato in quasi tutti i campi indagati dalla matematica del suo tempo. Una delle sue scoperte più notevoli è l’enunciato del principio fondamentale della geometria analitica, esposto nel breve trattato "Ad locos planos et solidos isagoge", che inizia a circolare nella comunità matematica europea nel 1637.
Nell’Isagoge Fermat fa riferimento a un’altra sua opera, conclusa nel 1636: l’"Apollonii Pergaei Libri duo de locis planis restituti", nella quale il matematico francese prova a ricostruire il trattato "Sui luoghi piani" di Apollonio di Perga, un matematico greco vissuto a cavallo del III secolo a.C.. Questo riferimento diretto suggerisce l’esistenza di un legame tra la scoperta contenuta nell’"Isagoge" e il recupero del trattato di Apollonio.
Il trattato "Sui luoghi piani" di Apollonio è perduto già all’epoca di Fermat: ne sopravvive solo un compendio (epitome), contenuto nella "Collezione matematica" di Pappo, un altro matematico greco vissuto qualche secolo dopo Apollonio.
Tra il 1629 e il 1636, Fermat si dedica dunque al recupero del trattato di Apollonio, componendo l’"Apollonii Pergaei libri duo de locis planis retituti". Con questo lavoro Fermat prova ad applicare alla ricostruzione dei "Luoghi piani" l’"ars analytica", una sorta di traduzione in linguaggio simbolico dell’analisi geometrica dei matematici greci classici. Questa tecnica è stata elaborata da Viète, un altro matematico francese vissuto nella seconda metà del XVI secolo.
È dunque plausibile supporre che nel 1636 Fermat stia lavorando su entrambe le opere: la ricostruzione dei "Luoghi piani" e l’"Isagoge".
Questa coincidenza temporale suggerisce che le due opere siano legate. In che modo il recupero dei "Luoghi piani" di Apollonio si lega alla nascita dell’"Isagoge"? Lo studio dei problemi dei "Luoghi piani" probabilmente porta Fermat ad approfondire l’applicazione dell’"ars analytica", cioè dell’algebra, ai problemi di luogo e a elaborare l’"Isagoge". Infatti a Fermat non è chiaro da subito come applicare l’ars alla risoluzione dei teoremi di Apollonio e si blocca nella dimostrazione di un teorema in particolare. È possibile che la risoluzione di questo ultimo teorema abbia portato Fermat verso la scoperta del principio della geometria analitica. D’altra parte, è plausibile anche il viceversa: la scoperta del principio della geometria analitica può aver aiutato Fermat a completare la restituzione dei "Luoghi piani".
Nella tesi analizzeremo le due opere e faremo ipotesi su quali passaggi possano suggerire un legame tra esse. Per comprendere appieno lo stile e l’importanza del lavoro di Fermat, è inoltre necessario soffermarsi sulla sua vita, le influenze sui suoi studi e sulla matematica dei suoi tempi.
Nella prima parte della tesi daremo dei cenni sulla "Collezione matematica" di Pappo, insistendo in particolare sul Libro VII, in cui è contenuto l’epitome ai "Luoghi piani". La Collezione matematica ha avuto un’importanza fondamentale per lo sviluppo della matematica moderna. In particolare il Libro VII è stato il punto di partenza per molti matematici, tra cui Fermat. I problemi che Fermat sceglie, il modo in cui li studia e quali obiettivi si pone nella propria ricerca matematica dipendono dalle risorse della sua formazione matematica, quindi presenteremo un quadro storico della matematica del XVI e XVII secolo a tratteggiare la figura di Fermat: la vita, le influenze, le opere più importanti.
Finita questa parte introduttiva, entreremo nel vivo della questione, analizzando le due opere oggetto della tesi: la ricostruzione dei "Luoghi piani" e l’"Isagoge".
Analizzeremo i passaggi della ricostruzione dei "Luoghi piani" che potrebbero gettare luce sulla genesi del metodo contenuto dell’"Isagoge" ed esamineremo due ipotesi su quale sia il teorema che impedisce a Fermat di completare subito l’opera. Successivamente affronteremo l’"Isagoge": ne leggeremo l’introduzione e alcune proposizioni che illustrano il metodo elaborato da Fermat.
Infine dedicheremo un po’ di spazio alle conclusioni: non c’è un’evidenza su quando esattamente e in che modo Fermat abbia intuito la potenzialità di legare equazioni in due incognite a curve piane, né di quale sia la fonte che gli ha ispirato questo cambiamento fondamentale. Tuttavia, ci sono motivi per ritenere che la ricostruzione dei "Luoghi piani" di Apollonio abbia avuto un ruolo di primo piano nella nascita dell’"Isagoge".