• perturbazioni
• metodo della media
• risonanza
• metodo di Melnikov

Si consideri il sistema dinamico integrabile

dφ/dt = ω(I)
dI/dt = 0, ...................(1)

in cui I ∈ R^k sono integrali primi del sistema, φ ∈ T^n sono variabili di fase e ω(I) è il vettore delle frequenze associato. Se sottoposto a una piccola perturbazione, il sistema (1) assume la forma

dφ/dt = ω(I) + εf (I, φ, ε),
dI/dt = εg(I, φ, ε), ............. (2)

con f , g funzioni 2π-periodiche in φ, e le variabili I compiono una lenta evoluzione. Il sistema (2) viene detto sistema perturbato, e spesso le variabili vengono distinte in variabili lente I_j e variabili rapide φ_i. Mentre per
intervalli di tempo dell’ordine di 1 la variazione ∆I(t) = |I(t) − I(0)| è dell’ordine O(ε), è interessante stimare l’evoluzione di I per tempi dell’ordine O(1/ε).
In questo caso per semplificare lo studio delle soluzioni del sistema (2) si cerca di eliminare la dipendenza da φ nell’equazione differenziale per I.
Il metodo della media consiste nel sostituire la funzione g con la sua media calcolata su Tn : si eliminano così le variabili rapide dal sistema. Il sistema mediato diventa

dJ/dt = εG(J),
G(J) =1/(2π)^n int_T^n g(J, φ, 0)dφ. .......(3)

Anche se l’idea alla base del metodo della media è intuitiva, non è facile dare una buona stima della separazione fra le soluzioni I(t) del sistema perturbato e quelle del sistema mediato. Solo in tempi relativamente recenti si è cercato
di dare una dimostrazione rigorosa dei risultati ottenibili applicando tale metodo. In questa tesi si tratta dettagliatamente il metodo della media per sistemi a due frequenze.

Nel primo capitolo si fornisce dapprima una dimostrazione del teorema
della media per sistemi a una sola frequenza, per poi introdurre le difficoltà che si presentano nel caso di sistemi a più frequenze. Attraverso alcuni esempi si mostra infatti come la presenza di risonanze, possibile soltanto nei sistemi a più frequenze, renda decisamente più difficile lo studio di tali sistemi. Si osserva inoltre come la geometria delle superfici di risonanza sia
più semplice nel caso di sistemi a due frequenze.

Nel secondo capitolo si enuncia e si dimostra un risultato dovuto ad Arnold ([1]). Affinché ́le soluzioni J(t) siano una buona approssimazione
delle soluzioni I(t) occorre che queste ultime non rimangano troppo a lungo in un intorno delle superfici di risonanza. Se si suppone verificata l’ipotesi
∃ c1 > 0 tale che
d/dt{ω_1 (I(t))/ω2 (I(t))}> c1 ε
si può dimostrare che la separazione fra soluzioni esatte e mediate che partono dalle stesse condizioni iniziali è al piu di ordine
O( (√ε) log^2 (ε)).

Oggetto del terzo capitolo è il lavoro di Neishtadt ([2]), che amplia il risultato di Arnold e trova stime ottimali per la separazione fra soluzioni esatte e mediate. L’ipotesi di Neishtadt richiede che, indicato con ω il rap-
porto fra le due frequenze, esista una costante che maggiori il modulo della derivata di ω lungo le soluzioni mediate. Sotto questa ipotesi si dimostra che, escluso un insieme di condizioni iniziali che ha misura al più O( √ε), la separazione fra soluzioni esatte e mediate è di ordine O( (√ε) log(1/ε)). Nel corso della dimostrazione risulta di notevole interesse l’introduzione di opportune “forme normali” che semplificano lo studio del sistema, in particolare
l’introduzione delle forme normali risonanti in un intorno delle superfici di risonanza. Grazie a questa formulazione, si riesce a indagare più facilmente sul comportamento delle soluzioni durante il passaggio attraverso le zone di
risonanza: si scopre così che le equazioni di un pendolo forzato e smorzato costituiscono un buon modello per descrivere tale passaggio.



Riferimenti Bibliografici:
[1] V.I. ARNOLD, Conditions of the applicability and estimates of the error of averaging method for systems wich pass through states of resonance
in the course of their evolution, Soviet Math. Dokl., Vol. 6 (1965), pp.331-334
[2] A.I. NEISHTADT, Passage through a resonance in the two-frequency problem, Soviet Phys. Dokl., Vol. 20 (1975), pp. 189-191