• mountain waves
• precipitazioni orografiche
• Scorer
• Brunt-Vasaila

Nonostante l'altezza media dei rilievi orografici sia piccola
rispetto allo spessore dell'atmosfera, questi giocano un ruolo
fondamentale nella dinamica atmosferica. Vi è una vasta classe
di fenomeni legati all'interazione atmosfera-orografia.

Le onde orografiche, note in letteratura come mountain
waves, sono variazioni del campo di velocità, pressione e
temperatura atmosferico, dovute all'interazione tra un vento medio
ed un rilievo orografico. Sono un tipo particolare di onde di
gravità, stazionarie, sostenute da una forza di richiamo
generata dalla differenza tra forza di gravità e forza di
Archimede. Quest'ultima è direttamente legata alla
stratificazione atmosferica, e alla stabilità di questa nei
confronti dei moti convettivi.

Lo studio di queste onde è fondamentale per comprendere la
dinamica atmosferica su piccola-media scala. La meteorologia
alpina, la difficile analisi e previsione dei fenomeni atmosferici
in un ambiente complesso come quello montano, è strettamente
legata alle onde orografiche. Uno degli effetti legati alla
variazione del campo di velocità è la presenza di forti venti,
Fohen e Bora, nel versante sottovento di catene montuose. Allo
stesso modo la maggiore intensità delle precipitazioni nel
versante sopravento, fenomeno noto come precipitazioni
orografiche, è direttamente legata alla presenza di queste onde
stazionarie.

Lo studio di questi fenomeni ha quindi anche applicazioni, quali
la previsione di eventi meteorologici intensi o catastrofici,
particolarmente rilevanti per le attività umane. Non a caso uno
dei primi filoni di ricerca nacque in campo aeronautico, data la
pericolosità di intensi vortici che si possono creare, a cielo
sereno, in prossimità di montagne, legati alle onde orografiche
di grande ampiezza.

La ``teoria lineare secca', onde di piccola ampiezza in
un'atmosfera priva di umidità, è stata affrontata ampiamente
da un punto di vista analitico a partire dagli anni '50. Piu
difficile risulta lo studio delle onde di grande ampiezza, data la
non linearità delle equazioni. Con l'avvento di calcolatori
sempre piu potenti la tendenza è stata quella di una ricerca
numerica delle soluzioni.

Nonostante la letteratura in materia fosse ormai esaustiva, il
ruolo dell'umidità nella dinamica delle onde orografiche non
venne mai affrontato in maniera quantitativa. Questo perché la
teoria secca riesce a spiegare, almeno qualitativamente, i vari
fenomeni che si generano nell'atmosfera.

Negli ultimi due decenni vari articoli hanno invece evidenziato
l'importanza fondamentale del ruolo dell'umidità nella dinamica
delle onde orografiche. Lo studio degli effetti umidi è quindi
ora uno dei principali filoni di ricerca della dinamica
atmosferica.

Le equazioni ``umide' sono in genere piu complicate da
risolvere analiticamente. La presenza dell'umidità
nell'atmosfera genera dei termini non lineari anche nello studio
delle onde di piccola ampiezza. Di conseguenza, escluso qualche
studio estremamente semplificato, in sostanza equivalente alla
dinamica secca, gli effetti dell'umidità sono sempre stati
affrontati per via numerica.

L'approccio analitico di questa tesi, sia per la parte secca che
per quella umida, si pone quindi in controtendenza rispetto alla
letteratura. Il motivo di questa scelta, che da un certo punto di
vista ci penalizza, costringendoci a ricercare le soluzioni di
sistemi semplici, è la ricerca di una piu profonda
comprensione fisica del fenomeno.

Nel primo capitolo viene analizzata la teoria lineare secca
cercando di porre in evidenza quelle che saranno le lunghezze
fondamentali del nostro sistema. Ordinando in maniera corretta
queste lunghezze giustifichiamo l'approssimazione di Boussinesq,
approssimazione sempre utilizzata ma abbastanza sibillina in
letteratura. Vengono inoltre ricavate le corrette condizioni al
bordo dell'equazione fondamentale del nostro sistema, l'equazione
di Scorer. Queste condizioni al bordo sono in parte legate
all'energia associata all'onda ed al suo trasporto. Viene quindi
studiato nei dettagli il legame tra trasporto di energia e
perturbazione orografica.

Nel secondo capitolo ricaviamo le soluzioni dell'equazione di
Scorer, sia nell'approssimazione flusso potenziale che di
perturbazione idrostatica. Lo studio del caso generale, oltre a
produrre una descrizione asintotica, lontano dall'ostacolo, della
soluzione, chiarisce in maniera corretta i termini di validità
delle approssimazioni precedentemente utilizzate. Da un'analisi
qualitativa delle soluzioni secche si riesce a vedere come la
presenza di onde stazionarie sia direttamente legata a fenomeni
quali la Bora e le precipitazioni orografiche.

Nel terzo capitolo viene studiata la dinamica umida.
Restringendoci ad un certo tipo di fenomeni, quali l'assenza di
precipitazioni, ricalcoliamo le lunghezze fondamentali del nostro
sistema e, in maniera del tutto analoga al caso secco, ricaviamo
la nuova equazione di Scorer. Equazione che, a seconda della
percentuale di umidità nell'atmosfera, puo essere equivalente
all'equazione secca, descrivendo in questo modo fenomeni del tutto
analoghi. Oppure puo presentare termini non lineari dovuti
all'umidità, termini che cambiano in maniera significativa la
dinamica delle onde orografiche. Ricaviamo anche in questo caso le
corrette condizioni al bordo, cercando, ancora una volta, di
comprenderne il significato fisico.

Nel quarto capitolo ricaviamo la soluzione analitica nel caso
piu interessante, caso in cui la presenza di umidità genera
termini non lineari nell'equazione di Scorer, dovuti alla
transizione di fase liquido-vapore. Data la non linearità
dell'equazione siamo costretti a ricavare la soluzione utilizzando
una tecnica ``inversa': costruiamo, partendo da una soluzione
secca nota, una soluzione umida consistente con le condizioni al
bordo e calcoliamo, a posteriori, la forma della montagna che
genera una tale onda. Confrontiamo quindi la soluzione cosi
ricavata con le soluzioni secche cercando di capire il ruolo
dell'umidità nella dinamica. Le soluzioni analitiche, seppur
piu semplici delle soluzioni numeriche, sono un ottimo strumento
di controllo su queste. Risulta infatti piu evidente la fisica
del problema, non filtrata dal particolare programma utilizzato
per ricavare la soluzione.

In tutta la nostra trattazione verrà sempre omessa la forza di
Coriolis, fondamentale nei fenomeni atmosferici su larga scala,
considerando scale spaziali dell'dei 50 chilometri. In questo
moto, considerando tutte le grandezze in gioco come invarianti
rispetto ad una direzione orizzontale, possiamo ridurci ad un
modello bidimensionale.